1、专题专题 0101 中点相关的辅助线问题中点相关的辅助线问题 1如图，在ABC中，ABAC，AD是中线，AE是角平分线，点F是AE上任意一点（不与A，E 重合） ，连接BF、CF给出以下结论： ABEB ACEC ； 1 () 2 DAEACBABC； 11 ()() 22 ABACADABAC；AB CFACBF其中一定正确的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1个 【分析】【分析】根据面积法可得 ABE ACE SAB SAC ， ABE ACE SBE SCE ，从而可得正确；由AD是中线，无法得出 1 () 2 DAEACBABC，故可判断错误；运用 SAS 证明ADCMDB得A
2、CMB，在 AMB中运用三角形三边关系可得结论，从而判断；在AB上截取ANAC，连接FN，运用SAS证 明AFNAFC得NFCF，在BNF中运用三角形三边关系可得结论，从而判断 【解析】【解析】过E作EGAB于G，EHAC于H，过A作AKBC于K， AE是BAC角平分线，EGAB，EHAC， EGEH， 1 2 1 2 ABE ACE AB EG SAB SAC AC EH ，AKBC， 1 2 ABE SBE AK ， 1 2 ACE SCE AK 1 2 1 2 ABE ACE BE AK SBE SCE CE AK ， ABEB ACEC ，故正确； 180BACACBABC180()B
3、ACACBABC ， AE平分BAC， 11 90() 22 BAECAEBACACBABC ， AD是中线，无法得出 1 () 2 DAEACBABC，故错误； 延长AD到M使DMAD，连接BM， AD是中线，BDCD， 在ADC和MDB中， ADMD ADCMDB BDCD ，()ADCMDB SAS ，ACMB 在AMB中，ABBMAMABBM 2AMADDMAD，ACBM，2ABACADABAC 11 ()() 22 ABACADABAC，故正确； 在AB上截取ANAC，连接FN， AE是角平分线，NAFCAF， 在AFN和AFC中， ANAC NAFCAF AFAF ，()AFNAF
4、C SAS ，NFCF， 在BNF中，BFNFBN， BNABANABAC，BFCFABAC， 即AB CFACBF，故正确； 综上正确故选 B 【小结】【小结】此题主要考查了三角形的中线， 角平分线以及全等三角形的判定与性质， 关键是正确画出辅助线 2如图，在ABC 中，AB=8，AC=5，AD是ABC的中线，则 AD的取值范围是（ ） A3AD13 B1.5AD6.5 C2.5AD7.5 D10AD， BD- CD 【分析】【分析】 （1）延长 AD至 E，使 DE=AD，连接 CE，利用“SAS”证明CDEADB，再利用三角形的三 边关系证明即可； （2）在 AB 上截取 AG=AC，连
5、接 DG，利用“SAS”证明ADCADG，再根据三角形三边关系即可证 明 AB- AC BD- CD 【解析】【解析】 （1）如图，延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 CE， 在CDE与ADB中， ADDE ADBEDC BDCD ，CDEADB（SAS） ，AB=CE， AB+AC=AC+CEAE=2AD，即 AB+AC2AD； （2）在 AB 上截取 AG=AC，连接 DG， AD 是角平分线，1=2， 在ADC 和ADG 中，12 ACAG ADAD ，ADCADG(SAS)，DC=DG， AB- AC = AB- AG=BG BD- DG = BD- CD 【小结】【小结】本题主
6、要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，添加辅助线构建全等三角形是解 题的关键 16 在ABC中， C90 ， ACBC， D 是 AB的中点， E为直线 AC上一动点， 连接 DE， 过点 D作 DFDE， 交直线 BC于点 F，连接 EF （1）如图 1，当点 E是线段 AC的中点时，AE2，BF1，求 EF的长； （2）当点 E在线段 CA 的延长线上时，依题意补全图形 2，用等式表示 AE，EF，BF之间的数量关系，并 证明 【分析】【分析】 （1）由三角形的中位线定理得 DEBC，DE 1 2 BC，进而证明四边形 CEDF是矩形得 DECF， 得出 CF，再根据勾股定理得
7、结果； （2）过点 B作 BMAC，与 ED 的延长线交于点 M，连接 MF，证明ADEBDM得 AEBM，DE DM，由垂直平分线的判定定理得 EFMF，进而根据勾股定理得结论 【解析】【解析】 （1）D是 AB的中点，E 是线段 AC的中点， DEBC，DE 1 2 BC， ACB90 ， DEC90 ， DFDE， EDF90 ， 四边形 CEDF是矩形， DECF 1 2 BC， CFBF1， CEAE2， EF 2222 125CFCE ； （2）AE2+BF2EF2 证明：过点 B 作 BMAC，与 ED 的延长线交于点 M，连接 MF， 则AEDBMD，CBMACB90 ， D
8、点是 AB 的中点， ADBD， 在ADE 和BDM 中， AEDBMD ADEBDM ADBD ，ADEBDM（AAS） ，AEBM，DEDM， DFDE， EFMF， BM2+BF2MF2， AE2+BF2EF2 【小结】【小结】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定， 关键在于构造全等三角形 17 如图 1， 已知正方形ABCD和等腰Rt BEF，EFBE，90BEF，F是线段BC上一点， 取DF 中点G，连接EG、CG （1）探究EG与CG的数量与位置关系，并说明理由； （2）如图 2，将图 1 中的等腰Rt BEF绕点B顺时针旋转090，则
9、（1）中的结论是否仍然成 立？请说明理由； （3）在（2）的条件下，若2AD ，求2GEBF的最小值 【分析】【分析】 （1）首先根据正方形和等腰直角三角形的性质得出B、E、D三点共线，然后利用直角三角形斜 边中线的性质即可证明EGCG， 然后利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出90EGC， 从而证明EGCG； （2）延长CG至H，使GHCG，连接HF交BC于M，连接EH、EC，首先通过 SAS 证明 HFGCDG，从而利用全等三角形的性质及平行线的判定证明/HF CD，进而可利用正方形和等 腰直角三角形的性质证明BECFEH，从而可证明结论仍然成立； （3）连接AH，首先根据题意确
10、定当A、H、G，C在同一直线上时，2GEBF有最小值，此时BE在 BC上，然后根据平行四边形的判定及性质得出2GEBF有最小值就是AC的长，最后利用勾股定理求 解即可 【解析】【解析】 （1）EGCG且EGCG 理由如下：如图 1，连接BD 正方形ABCD和等腰Rt BEF， 45EBFDBC， B、E、D三点共线 90DEF，G为DF的中点，90DCB， 1 2 EGDFCGDG 2EGFEDG ，2CGFCDG 290EGFCGFEDC ，即90EGC， EGCG （2）仍然成立 理由如下：如图 2，延长CG至H，使GHCG，连接HF交BC于M，连接EH、EC GFGD，HGFCGD，HG
11、CG，HFGCDG SAS， HFCD，GHFGCD，/HF CD ABCD是正方形，HFBC，HFBC BEF是等腰直角三角形， BEEF，EBCHFE，BECFEH SAS， HEEC，BECFEH，90BEFHEC ，ECH为等腰直角三角形 又CGGH，EGCG且EGCG （3）如下图，连接AH， 当A、H、G，C在同一直线上时，2GEBF有最小值，此时BE在BC上， /FH AB，/AC BF， 四边形ABFH是平行四边形，AHBF，由（2）知CG GH，2GEBFCHAHAC， 即2GEBF有最小值，就是AC的长，由勾股定理得 22 222 2AC 【小结】【小结】本题主要考查四边形
12、综合，掌握平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，正方形的性质， 全等三角形的判定及性质是解题的关键 18如图，在 ABC 中，AB=AC，D 为线段 BC的延长线上一点，且 DB=DA，BEAD 于点 E，取 BE的 中点 F，连接 AF (1)若 AC= 15，AE=3，求 BE的长； (2)在（1）的条件下，如果D=45 ，求 ABD的面积 (3)若BAC=DAF，求证：2AF=AD； 【分析】【分析】 （1）在 RtAEB中，利用勾股定理即可解决问题； （2）由D45 可证得 BEDE，再利用三角的面积公式计算即可； （3）如图，延长 AF至 M点，使 AFMF，连接 BM，首先证明
13、AEFMFB，再证明ABMACD 即可 【解析】【解析】 （1）解：ABAC，AC 15， AB15， BEAD，AE3， 在 RtAEB 中， 2222 ( 15)( 3)2 3BEABAE ； （2）解：BEAD，D45 ， EBDD 45 ， BEDE2 3， ADAE+DE32 33 3， 11 3 32 39 22 ABD SAD BE； （3）证明：如图，延长 AF至 M点，使 AFMF，连接 BM， 点 F为 BE的中点， EFBF， 在AEF和MBF 中， AFFM AFEBFM EFBF ，AEFMBF（SAS） ，FAEFMB， AEMB， EAB+ABM180， ABM1
14、80BAD， 又ABAC，DBDA， ABCACBBAD， ACD180ACB， ABMACD 又BACDAF， BACMACDAFMAC， 12 在ABM 和ACD 中， 12 ABAC ABMACD ，ABMACD（ASA） ，AMAD， 又AMAF+MF2AF， 2AFAD 【小结】【小结】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是中线延 长一倍，作出正确的辅助线构造全等三角形，属于常考题型 19阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，AD为ABC中线，点 E 在 AC 上，BE交 AD于点 F，AEEF求证：ACBF 经过讨论，同学们得
15、到以下两种思路： 思路一如图， 添加辅助线后依据 SAS可证得ADCGDB， 再利用 AEEF可以进一步证得GFAE AFEBFG，从而证明结论 思路二如图，添加辅助线后并利用 AEEF 可证得GBFGAFEFAE，再依据 AAS可以进一 步证得ADCGDB，从而证明结论 完成下面问题： （1）思路一的辅助线的作法是： ； 思路二的辅助线的作法是： （2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不 需要写出证明过程） 【分析】【分析】 （1）依据 SAS可证得ADCGDB，再利用 AEEF 可以进一步证得GFAEAFE BFG，从而证明结论 作 B
16、GBF交 AD 的延长线于点 G利用 AEEF 可证得GBFGAFEFAE，再依据 AAS 可 以进一步证得ADCGDB，从而证明结论 （2）作 BGAC交 AD的延长线于 G，证明ADCGDB（AAS） ，得出 ACBG，证出GBFG， 得出 BGBF，即可得出结论 【解析】【解析】 （1）延长 AD至点 G，使 DGAD，连接 BG，如图，理由如下： AD为ABC中线， BDCD， 在ADC和GDB 中， =AD DG ADCGD CDBD B ，ADCGDB（SAS） ，ACBG， AEEF，CADEFA， BFGG，GCAD， GBFG， BGBF， ACBF 故答案为：延长 AD至点
17、 G，使 DGAD，连接 BG； 作 BGBF交 AD 的延长线于点 G，如图 理由如下：BGBF，GBFG， AEEF，EAFEFA，又EFABFG，GEAF， 在ADC和GDB 中， CADG ADCG CDBD DB ，ADCGDB（AAS） ，ACBG，ACBF； 故答案为：作 BGBF交 AD 的延长线于点 G； （2）作 BGAC交 AD的延长线于 G，如图所示：则GCAD，AD为ABC中线，BDCD， 在ADC和GDB 中， CADG ADCG CDBD DB ，ADCGDB（AAS） ，ACBG， AEEF，CADEFA， BFGEFA，GCAD，GBFG，BGBF，ACBF
18、【小结】【小结】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有 四个定理：AAS、ASA、SAS、SSS，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题 20已知：如图，在ABC中，90C，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且EDFD 于D.求证： 222 AEBFEF . 【分析】【分析】通过倍长线段DE，将AE、BF、EF转化到BGF中，再证BGF为直角三角形. 【解析】【解析】延长ED至G，使DGDE，连结BG、FG， ADBD，ADEBDG， ADEBDG， AEBG，ADBG ， ACBG， 180CFBG ，90FBG， 222
19、BGBFGF， 又EDFD，EDGD， EFGF， 222 AEBFEF . 【小结】【小结】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关 键. 21如图所示，在ABC中，AD为中线，90 ,2BADABAD，求DAC的度数 【分析】【分析】延长 AD至 E，使DEAD，连结CE，则AD BED C，根据全等三角形的性质得 EC=AB， 90EBAD ，由 AB=2AD 可得 EC=AE，可得AEC 是等腰直角三角形，即可得DAC的度数 【解析】【解析】延长 AD 至 E，使DEAD，连结CE， BD=CD，ADB=EDC ADBEDC， EC=AB，9
20、0EBAD ， AB=2AD，DEAD AB=AE=EC AEC是等腰直角三角形， DAC=45 . 故答案为 45 . 【小结】【小结】本题考查全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构建全等三角 形和等腰直角三角形. 专题专题 02 02 截长补短截长补短 1、如图，AC 平分BAD，CEAB 于点 E，B+D=180 ，求证：AE=AD+BE. 解析：如图，在 EA 上取点 F,使 EF=BE,连接 CF, CEAB CF=CB CFB=B AFC+CFB=180 ，D+B=180 D=AFC AC 平分BAD 即DAC=FAC 在 ACD 和 ACF 中 D
21、=AFC DAC=FAC AC=AC ACD ACF（AAS） AD=AF AE=AF+EF=AD+BE 2、如图，已知在 ABC 中，C=2B,1=2，求证：AB=AC+CD 解析：在 AB 上取一点 E,使 AE=AC, 连接 DE, AE=AC,1=2，AD=AD ACD AED CD=DE,C=3 C=2B 3=2B=4+B 4=B，DE=BE,CD=BE AB=AE+BE AB=AC+CD 3、如图，在五边形 ABCDE 中，AB=AE,BC+DE=CD,B+E=180 ，求证：AD 平分CDE. 解析： 延长 CB 至点 F,使 BF=DE,连接 BF=DE,连接 AF,AC 1+
22、2=180 ，E+1=180 2=E AB=AE,2=E,BF=DE ABF AED F=4，AF=AD BC+BF=CD 即 FC=CD 又AC=AC ACF ACD F=3 F=4 3=4 AD 平分CDE. 4、 已知四边形ABCD中， ABC+ADC=180 ， AB=BC， 如图， 点P,Q分别在线段AD,DC上， 满足PQ=AP+CQ, 求证：PBQ=90 -1 2ADC 解析： 如图，延长 DC，在上面找一点 K，使得 CK=AP，连接 BK, ABC+ADC=180 BAD+BCD=180 BCD+BCK=180 BAD=BCK 在 BAP 和 BKC 中 AP=CK BAP=
23、BCK AB=BC BPA BKC（SAS） ABP=CBK,BP=BK PQ=AP+CQ PQ=QK 在 BPQ 和 BKQ 中 BP=BK BQ=BQ PQ=KQ BPQ BKQ(SSS) PBQ=KBQ PBQ=1 2ABC ABC+ADC=180 ABC=180 -ADC 1 2ABC=90 - 1 2ADC PBQ=90 -1 2ADC 5、如图，在 ABC 中，B=60 ， ABC 的角平分线 AD、CE 相交于点 O，求证：AE+CD=AC. 解析： 由题意可得AOC=120 AOE=DOC=180 -AOC=180 -120 =60 在 AC 上截取 AF=AE，连接 OF，如
24、图 在 AOE 和 AOF 中， AE=AF OAE=OAF OA=OA AOE AOF（SAS） AOE=AOF， AOF=60 COF=AOC-AOF=60 又COD=60 ， COD=COF 同理可得： COD COF（ASA） CD=CF 又AF=AE AC=AF+CF=AE+CD 即 AE+CD=AC 6、如图所示，ABCD,BE,CE 分别是ABC,BCD 的平分线，点 E 在 AD 上，求证：BC=AB+CD. 解析： 在 BC 上取点 F，使 BF=AB BE,CE 分别是ABC,BCD 的平分线 ABE=FBE,BCE=DCE ABCD A+D=180 在 ABE 和 FBE
25、 中 AB=FB ABE=FBE BE=BE ABE FBE（SAS） A=BFE BFE+D=180 BFE+EFC=180 EFC=D 在 EFC 和 EDC 中， EFC=D BCE=DCE CE=CE EFC EDC（AAS） CF=CD BC=BF+CF BC=AB+CD 7、四边形 ABCD 中，BDAB,AD=DC,DEBC,BD 平分ABC （1） 证明：BAD+BCD=180 （2） DE=3,BE=6,求四边形 ABCD 的面积. 【解析】 （1）过点 D 作 BA 的垂线，得 DMADEC（HL） ABC+MDE=180 ，ADC=MDE ABC+ADC=180 BAD+
26、BCD=180 （2）S 四边形 ABCD=2S BED=18 8、已知：在 ABC 中，AB=CD-BD,求证：B=2C. 【解析】在 CD 上取一点 M 使得DM=DB 则 CD-BD=CM=AB AMD=B=2C 9、如图， ABC 中，BDAC 于点 D，CEAB 于点 E，且 BD,CE 交于点 F，点 G 是线段 CD 上一点，连 接 AF，GF，若 AF=GF,BD=CD. 求CAF 的度数 判断线段 FG 与 BC 的位置关系，并说明理由. 【解析】 （1）延长 AF 与 BC 交于点 M，可知 AFBC BD=DC，BDDCFBC=45 AF=FG，FDAGAFD=GFD=4
27、5 AFGF CAF=45 （2）由（1）可证 FGBC 10如图，在 ABC 中，A60 ，BD，CE 分别平分ABC 和ACB，BD，CE 交于点 O，试判断 BE， CD，BC 的数量关系，并加以证明 证明：在 BC 上截取 BFBE，连接 OF. BD 平分ABC， EBOFBO. EBO FBO. EOBFOB. A60 ，BD，CE 分别平分ABC 和ACB， BOC180 OBCOCB180 1 2ABC 1 2ACB180 1 2(180 A)120 . EOBDOC60 . BOF60 ，FOCDOC60 . CE 平分DCB， DCOFCO. DCO FCO. CDCF.
28、BCBFCFBECD. 11如图，AD/BC，DCAD，AE 平分BAD，E 是 DC 的中点问：AD，BC，AB 之间有何关系？并说 明理由 解：ABADBC.理由：作 EFAB 于 F，连接 BE. AE 平分BAD，DCAD，EFAB， EFDE. DECE， ECEF. Rt BFERt BCE(HL) BFBC 同理可证：AFAD. ADBCAFBFAB，即 ABADBC. 12如图，已知 DEAE，点 E 在 BC 上，AEDE，ABBC，DCBC，请问线段 AB，CD 和线段 BC 有 何大小关系？并说明理由 解：线段 AB，CD 和线段 BC 的关系是： BCABCD. 理由：
29、在 DCE 中， EDCDEC90 ， AEBDEC90 ， AEBEDC， 又EDAE，ABEECD90 ， ABE ECD(AAS)， ABEC，BECD， BCBEECCDAB. 13.如图，ABCD，BE，CE 分别是ABC 和BCD 的平分线，点 E 在 AD 上 求证：BCABCD. 证明：在 BC 上取点 F，使 BFBA，连接 EF，如图， BE，CE 分别是ABC 和BCD 的平分线， ABEFBE，ECFECD. ABE FBE(SAS)， ABFE， ABCD， AD180 ， BFED180 . BFEEFC180 ， EFCD. CDE CFE(AAS)， CFCD.
30、 BCBFCF， BCABCD. 14如图，在 Rt ABC 中，C90 ，BCAC，BCAB45 ，AD 平分BAC 交 BC 于 D， 求证：ABACCD. 证明：如图，延长 AC 到 E，使 CECD，连接 DE. 则ECDE45 ， BE. AD 平分BAC， 12， 在 ABD 和 AED 中， BE，21，ADAD， ABD AED(AAS) AEAB. AEACCEACCD， ABACCD. 15如图，在 ABC 中，ABC60 ，AD，CE 分别平分BAC，ACB，AD，CE 交于 O. (1)求AOC 的度数； (2)求证：ACAECD. (1)解：ABC60 ，AD，CE
31、分别平分BAC，ACB， AOC180 (OACOCA)180 1 2(BACACB)180 180 60 2 120 ； (2)证明：AOC120 ， AOE60 ， 如图，在 AC 上截取 AFAE，连接 OF， AD 平分BAC， BADCAD， AOAO， AOE AOF(SAS)， AOEAOF， AOE60 ，AOC120 ， AOFCODCOF60 . FOCDOC，COCO，DCOFCO， COF COD(ASA)， CFCD， ACAFCFAECD. 专题专题 03 03 和角平分线有关的辅助线和角平分线有关的辅助线 1 已知： 如图， BD 为 ABC的角平分线， 且 BD
32、=BC， E 为 BD 延长线上的一点， BE=BA， 过 E作 EFAB， F 为垂足下列结论：ABD EBC；BCE+BCD=180 ；AD=AE；BA+BC=2BF其中正确 的是（ ） A B C D 【答案】D 【分析】【分析】 根据 SAS证 ABD EBC，可得BCEBDA，结合BCDBDC可得正确；根据角的和差以 及三角形外角的性质可得DCEDAE，即 AEEC，由 ADEC，即可得正确；过 E 作 EGBC于 G 点，证明 Rt BEGRt BEF和 Rt CEGRt AEF，得到 BGBF和 AFCG，利用线段和差即可得到 正确 【解析】【解析】 解：BD 为 ABC的角平分
33、线， ABDCBD， 在 ABD和 EBC中， BDBC ABDCBD BEBA ， ABD EBC（SAS） ，正确； BD 为 ABC的角平分线，BDBC，BEBA， BCDBDCBAEBEA， ABD EBC， BCEBDA， BCEBCDBDABDC180 ，正确； BCEBDA，BCEBCDDCE，BDADAEBEA，BCDBEA， DCEDAE， ACE为等腰三角形， AEEC， ABD EBC， ADEC， ADAE正确； 过 E作 EGBC于 G点， E 是ABC的角平分线 BD 上的点，且 EFAB， EFEG（角平分线上的点到角的两边的距离相等） ， 在 Rt BEG和 R
34、t BEF中， BEBE EFEG ， Rt BEGRt BEF（HL） ， BGBF， 在 Rt CEG和 Rt AFE 中， AECE EFEG ， Rt CEGRt AEF（HL） ， AFCG， BABCBFFABGCGBFBG2BF，正确 故选 D 【小结】【小结】 本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的对应边、对应角相等的性质，等腰三角形的判定与性质，本 题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等的性质是解题的关键 2 如图，ABC中，135ACB，CD AB， 垂足为D， 若6AD，20BD， 则CD的长为 （ ） A2 2 B3 2 C 7 2 D4 【分析
35、】【分析】做,ACDBCD分别关于,AC BC的对称图形,ACEBCF延长,AE BF交于点G，连接CG, 构造正方形，再根据等量关系用勾股定理计算 【解析】【解析】 做,ACDBCD分别关于,AC BC的轴对称图形,ACEBCF延长,AE BF交于点G， 连接CG， 如图： ,ACEBCF是,ACDBCD的对称三角形 6,20,AEADBFBDCECDCF ,AECADCBFCBDC ACEACDBCFBCD CDAB 90ADCBDCAECBFC 又 135ACB 135ACEBCF 36013513590ECF 四边形CEGF是正方形 设CDCFGFCEGEx，在Rt GAB 中： 22
36、2 AG +BGAB即： 22 2 62026xx 解得： 12 4,30 xx （舍） CD的长为 4 【小结】【小结】本题是一道综合性较强的题目，整体图形的对称构造正方形是解决本题的关键 3 如图，Rt ACB中，90ACB ，ABC的角平分线AD、BE相交于点P， 过P作PFAD交BC 的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：135APB ；PFPA；AHBDAB； S四边形 2 3 ABDES ABP，其中正确的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可 【解析】【解析】在 ABC 中，ACB=90 ， CAB
37、+ABC=90 AD、BE分别平分BAC、ABC， BAD= 1 2 CAB，ABE= 1 2 ABC BAD+ABE= 111 +=()45 222 CABABCCABABC APB=180 -（BAD+ABE）=135 ，故正确； BPD=45 ， 又PFAD， FPB=90 +45 =135 APB=FPB 又ABP=FBP BP=BP ABP FBP（ASA） BAP=BFP，AB=AB，PA=PF，故正确； 在 APH与 FPD中 APH=FPD=90 ，PAH=BAP=BFP PA=PF APH FPD（ASA） ， AH=FD， 又AB=FB AB=FD+BD=AH+BD，故正确
38、； 连接 HD，ED， APH FPD， ABP FBP APHFPD SS， ABPFBP SS，PH=PD， HPD=90 ， HDP=DHP=45 =BPD HDEP， EPHEPD SS ABPBDPAEPEPDABDE SSSSS 四边形 () ABPAEPEPHPBD SSSS ABPAPHPBD SSS ABPFPDPBD SSS ABPFBP SS 2 ABP S 故错误， 正确的有， 故答案为：B 【小结】【小结】 本题考查了三角形全等的判定方法， 判定两个三角形全等的方法有： SSS、 SAS、 AAS、 ASA、 HL， 注意 AAA和 SAS 不能判定两个三角形全等 4
39、如图，ABC 的外角DAC 的平分线交 BC 边的垂直平分线于 P 点，PDAB 于 D，PEAC 于 E （1）求证：BDCE； （2）若 AB6cm，AC10cm，求 AD 的长 【分析】【分析】 （1）连接BP、CP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BPCP，根据角平 分线上的点到角的两边距离相等可得 DPEP，然后利用“HL”证明Rt BDP和RtCEPD全等，根据全等 三角形对应边相等证明即可； （2）利用“HL”证明Rt ADP和RtAEPD 全等，根据全等三角形对应边相等可得ADAE，再根据AB、 AC的长度表示出AD、CE，然后解方程即可 【解析】【解析】 （1）
40、证明：连接BP、CP， 点P在BC的垂直平分线上， BPCP， AP是DAC的平分线， DPEP=， 在Rt BDP和RtCEPD中， BPCP DPEP = = ， RtBDPRtCEP(HL)DD ，BDCE； （2）在Rt ADP和RtAEPD中， APAP DPEP = = ， Rt ADPRt AEP(HL)DD ，ADAE， 6ABcm，10ACcm， 610ADAE+=-，即610ADAD+=-，解得AD 2cm 【小结】【小结】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离 相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三
41、角形是解题的关键 5 （特例感知） （1） 如图 （1） ，ABC是O的圆周角， BC 为直径，BD 平分ABC交O于点 D，3CD，4BD ， 求点 D到直线 AB的距离 （类比迁移） （2）如图（2） ，ABC是O的圆周角，BC为O的弦，BD 平分ABC交O于点 D， 过点 D作DEBC，垂足为点 E，探索线段 AB，BE，BC 之间的数量关系，并说明理由 （问题解决）（3） 如图 （3） ， 四边形 ABCD为O的内接四边形，90ABC， BD平分ABC， 7 2BD ， 6AB，求ABC的内心与外心之间的距离 【分析】【分析】 （1）如图中，作DFAB于F，DEBC于E理由面积法求出D
42、E，再利用角平分线的 性质定理可得DFDE解决问题； （2）如图中，结论：2ABBCBE只要证明 ()DFADEC ASA ，推出AFCE， Rt BDFRt BDE(HL) ，推出AFBE即可解决问题； （3） 如图， 过点 D作 DFBA， 交 BA 的延长线于点 F， DEBC， 交 BC于点 E， 连接 AC， 作 ABC ABC 的内切圆，圆心为 M，N为切点，连接 MN，OM由（1） （2）可知，四边形 BEDF是正方形，BD是对角 线由切线长定理可知： 6 108 4 2 AN ，推出541ON ，由面积法可知内切圆半径为 2，在 Rt OMN中，理由勾股定理即可解决问题； 【解
43、析】【解析】 （1）如图中，作DFAB于F，DEBC于E 图 BDQ平分ABC，DFAB，DEBC， DFDE， BC是直径， 90BDC， 2222 435BCBDCD ， 11 22 BC DEBD DC， 12 5 DE， 12 5 DFDE （2）如图中，结论：2ABBCBE 图 理由：作DFBA于F，连接AD，DC BDQ平分ABC，DEBC，DFBA， DFDE，90DFBDEB， 180ABCADC，180ABCEDF， ADCEDF， FDACDE， 90DFADEC， ()DFADEC ASA ， AFCE， BDBD，DFDE， Rt BDFRt BDE(HL) ， BFB
44、E， 2ABBCBFAFBECEBE （3） 如图， 过点 D作 DFBA， 交 BA 的延长线于点 F， DEBC， 交 BC于点 E， 连接 AC， 作 ABC ABC 的内切圆，圆心为 M，N为切点，连接 MN，OM由（1） （2）可知，四边形 BEDF是正方形，BD是对角 线 图 7 2BD ， 正方形BEDF的边长为 7， 由（2）可知：28BCBEAB， 22 6810AC ， 由切线长定理可知： 6 108 4 2 AN ， 5 41ON ， 设内切圆的半径为r， 则 1111 10686 8 2222 rrr 解得2r =， 即2MN ， 在Rt OMN中， 2222 215O
45、MMNON 故答案为5 【小结】【小结】 本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形， 正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压 轴题 6在平面直角坐标系中，点5,0A ，0,5B，点 C为 x轴正半轴上一动点，过点 A 作AD BC交 y 轴于点 E （1）如图，若点 C 的坐标为（3，0） ，试求点 E的坐标； （2）如图，若点 C 在 x 轴正半轴上运动，且5OC ，其它条件不变，连接 DO，求证：OD平分ADC （3）若点 C 在 x 轴正半轴上运动，当2OCBDAO 时，试探索线段 A
46、D、OC、DC 的数量关系，并证明 【答案】 （1） （0，3） ； （2）详见解析； （3）AD=OC+CD 【分析】【分析】 （1）先根据 AAS 判定 AOE BOC，得出 OE=OC，再根据点 C的坐标为（3，0） ，得到 OC=2=OE，进 而得到点 E的坐标； （2）先过点 O作 OMAD于点 M，作 ONBC于点 N，根据 AOE BOC，得到 S AOE=S BOC，且 AE=BC，再根据 OMAE，ONBC，得出 OM=ON，进而得到 OD平分ADC； （3）在 DA 上截取 DP=DC，连接 OP，根据三角形内角和定理，求得PAO=30 ，进而得到OCB=60 ， 根据 S
47、AS判定 OPD OCD，得 OC=OP，OPD=OCD=60 ，再根据三角形外角性质得 PA=PO=OC， 故 AD=PA+PD=OC+CD 【解析】【解析】 （1）如图，ADBC，BOAO， AOE=BDE， 又AEO=BED， OAE=OBC， A（-5，0） ，B（0，5） ， OA=OB=5， AOE BOC， OE=OC， 又点 C 的坐标为（3，0） ， OC=3=OE， 点 E的坐标为（0，3） ； （2）如图，过点 O作 OMAD 于点 M，作 ONBC 于点 N， AOE BOC， S AOE=S BOC，且 AE=BC， OMAE，ONBC， OM=ON， OD 平分AD
48、C； （3）如所示，在 DA 上截取 DP=DC，连接 OP， 2OCBDAO ，ADC=90 PAO+OCD=90 ， DAC= 90 3 =30 ，DCA= 2 90 3 =60 PDO=CDO，OD=OD， OPD OCD， OC=OP，OPD=OCD=60 ， POA=PAO=30 PA=PO=OC AD=PA+PD=OC+CD 即：AD=OC+CD 【小结】【小结】 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形 的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解 7 如图， 在ABC中，ABAC，10
49、0A ，BD是ABC 的平分线， 延长BD至点E，DEAD， 试求ECA的度数 【答案】40 【分析】【分析】 在BC上截取BFAB，连接DF，通过证明ABDFBD SAS，可得18080DFCA ， 再通过证明DCEDCF SAS，即可求得40ECADCB 【解析】【解析】 解：如图，在BC上截取BFAB，连接DF， BDQ是ABC的平分线， ABDFBD ， 在ABD和FBD中， , , , ABFB ABDFBD BDBD ABDFBD SAS ， BFDA ，ADDF， DE=DF， 18080DFCA ， 又40ABCACB，60FDC， 18060EDCADBABDA ， EDCF
50、DC， 在DCE和DCF中， , , , DEDF EDCFDC DCDC DCEDCF SAS ， 故40ECADCB 【小结】【小结】 本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键 8如图，DC90 ，点 E是 DC的中点，AE平分DAB，DEA28 ，求ABE 的大小 【答案】28 【分析】【分析】 过点 E作 EFAB于 F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DE=EF，根据线段中点的定义可得 DE=CE， 然后求出 CE=EF， 再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出 BE平分ABC， 即可求得ABE 的度数 【解析】【解析】 如图
