1、专题专题 22 22 三等角相似模型三等角相似模型 一、单选题一、单选题 1如图，在矩形ABCD中，6BC ，E是BC的中点，连接AE， 3 tan 4 BAE，P是AD边上一动 点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D处，当APD是直角三角形时，PD的值为 （ ） A 2 3 或 6 7 B 8 3 或 24 7 C 8 3 或 30 7 D10 3 或18 7 【答案】B 【分析】 根据矩形的性质得到 AD=BC=6，BAD=D=B=90 ，根据勾股定理得到 AE= 2222 435ABBE ， 设 PD=PD=x， 则 AP=6-x， 当 APD是直角三角形时， 当ADP=9
2、0时， 当APD=90时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结论 【详解】 解：在矩形 ABCD中，AB=4，BC=6， AD=BC=6，BAD=D=B=90 ， E 是 BC 的中点， BE=CE=3， AE= 2222 435ABBE ， 沿过点 P 的直线将矩形折叠，使点 D 落在 AE 上的点 D处， PD=PD， 设 PD=PD=x，则 AP=6-x， 当 APD是直角三角形时， 当ADP=90时， ADP=B=90 ， ADBC， PAD=AEB， ABEPDA， APPD AEAB ， 6 54 xx ， x= 8 3 ， PD= 8 3 ； 当APD=90时， APD=
3、B=90 ， PAE=AEB， APDEBA， APPD BEAB ， 6 34 xx ， x= 24 7 ， PD= 24 7 ， 综上所述，当 APD是直角三角形时，PD= 8 3 或 24 7 ， 故选：B 【点睛】 本题考查了翻折变换 （折叠问题） ， 矩形的性质， 相似三角形的判定和性质， 正确的理解题意是解题的关键 2 如图， 正方形 ABCD边长为 4， 边 BC上有一点 E， 以 DE为边作矩形 EDFG， 使 FG 过点 A， 则矩形 EDFG 的面积是（ ） A16 2 B8 2 C8 3 D16 【答案】D 【分析】 先利用等角的余角证明ADFEDC， 再根据相似三角形的
4、判定方法证明 ADFCDE， 然后利用相似 比计算 DF与 DE 的关系式，最后根据矩形的面积公式求得矩形的面积便可. 【详解】 解：四边形 ABCD为正方形， ADCD4，ADCC90 ， 四边形 EDFG为矩形， EDFF90 ， ADF+ADE90 ，ADE+EDC90 ， ADFEDC， ADFCDE， ADDF DEDC ，即 4 4 DF DE ， DF 16 DE ， 矩形 EDFG 的面积为：DEDFDE 16 DE 16 故选：D 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质，根据矩形的性质求面积是解题重要一步 3如图，在矩形ABCD中，4AB ， 5AD ，E、F、G、H分别为
5、矩形边上的点，HF过矩形的中 心O，且HFADE为AB的中点，G为CD的中点，则四边形EFGF的周长为（ ） A3 5 B6 5 C8 3 D6 3 【答案】B 【分析】 连接EG，证明四边形EHGF是矩形，再证明AEHDHG，求得AH与DH的长度，由勾股定理求 得EH与HG，再由矩形的周长公式求得结果 【详解】 解：连接EG， 四边形ABCD是矩形， ABCD，/AB CD， E为AB的中点，G为CD的中点， AEDG，/AE DG， 四边形AEGD是平行四边形， ADEG， 矩形是中心对称图形，HF过矩形的中心O EG过点O，且OHOF，OEOG， 四边形EHGF是平行四边形， HFADE
6、G， 四边形EHGF是矩形， 90EHG， 90AD ， 90AHEAEHAHEDHG ， AEHDHG ， AEHDHG ， AHAE DGDH ， 设AHx，则5DHx， 1 2 2 AEDGAB， 2 25 x x ， 解得，1x 或 4， 1AH或 4， 当1AH 时，4DH ，则 22 1 45HEAHAE ， 2222 422 5HGDHDG ， 四边形EFGH的周长 2 (2 55)6 5； 同理，当4AH 时，四边形EFGH的周长2 (2 55)6 5； 故选：B 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明四边形EHGF是矩形 4如图，在
7、反比例函数 3 y x 的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限 内有一点C，满足ACBC，当点A运动时，点C始终在函数 k y x 的图象上运动，若5 AC AO ，则k 的值为（ ） A6 B12 C18 D24 【答案】B 【分析】 连接 OC，过点 A作 AEx 轴于点 E，过点 C作 CFy轴于点 F，通过角的计算找出AOECOF，结 合“AEO90 ， CFO90”可得出 AOECOF， 根据相似三角形的性质得出比例式， 再由5 AC AO ， 得出 1 2 AO CO ，可得出 CFOF的值，进而得到 k的值 【详解】 如图，连接 OC，过点 A作 AE
8、x轴于点 E，过点 C作 CFy轴于点 F， 由直线 AB 与反比例函数 3 y x 的对称性可知 A、B 点关于 O点对称， AOBO， 又ACBC， COAB， AOEAOF90 ，AOFCOF90 ， AOECOF， 又AEO90 ，CFO90 ， AOECOF， AEOEAO CFOFCO ， 5 AC AO ， 1 2 AO CO ， CF2AE，OF2OE， 又AEOE3， CFOF|k|4 312， k 12， 点 C在第二象限， k12， 故选：B 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，解题的关 键是求出 CFOF12解决
9、该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反 比例函数图象上点的坐标特征找出结论 二、解答题二、解答题 5定义：有两个相邻内角互余的凸四边形称为互余四边形，这两个角的夹边称为互余线 （1）在 ABC 中，AB=AC，AD 是 ABC 的角平分线，E、F分别是 BD，AD上的点，求证：四边形 ABEF 是互余四边形； （2）如图 2，在 5 4的方格纸中，A、B在格点上，请画出一个符合条件的互余四边形 ABEF，使 AB是互 余线，E、F在格点上； （3）如图 3，在（1）的条件下，取 EF中点 M，连接 DM并延长交 AB于点 Q，延长 EF交 AC于点 N，若 N 为
10、 AC 的中点，DE=2BE，如互余线 AB=10，求 BQ的长 【答案】 （1）详见解析； （2）详见解析； （3）3 【分析】 （1） 由等腰三角形的“三线合一“性质可得ADBC， 则可得DAB与DBA互余， 即FAB与EBA互 余，从而可得答案； （2）画出图形即可； （3）先由等腰三角形的“三线合一“性质可得BDCD、DMME，再判定 DBQECN ，从而列出比 例式，将已知线段的长代入即可得解 【详解】 解： （1）ABAC，AD是ABC的角平分线， ADBC， 90ADB， 90DABDBA， FAB与EBA互余， 四边形ABEF是邻余四边形； （2）如图所示，四边形 ABEF即为
11、所求； （答案不唯一） （3）ABAC，AD是ABC的角平分线， BDCD， 2DEBE， 3BDCDBE， 5CECDDEBE， 90EDF，点M是EF的中点， DMME， MDEMED ， ABAC， BC ， DBQECN ， 3 5 BQBD CNCE ， AB=10， 10ACAB N为 AC 的中点， 1 5 2 CNAC， 3 55 BQ 3BQ 【点睛】 本题考查了四边形的新定义， 综合考查了等腰三角形的“三线合一“性质、 相似三角形的判定与性质等知识点， 读懂定义并明确相关性质及定理是解题的关键 6如图，在ABC中，10ABAC，15BC ，点D为边BC上一点，且BDCD，点
12、E为AC中 点，ADEB （1）求BD的长 （2）求证：DADE 【答案】 （1）5； （2）证明见解析； 【分析】 （1）先证明出ABDDCE，得出 ABBD DCCE ，假设 BD为 x，则 DC=15-x，代入分式方程求出 BD 的长； （2）由（1）可知BC ，推出ABDDCE，得出结果； 【详解】 （1）10ABAC， BC ， ADEB ，180180ADEB， ADBEDCADBBAD，EDCBAD， ABDDCE， ABBD DCCE ， E为AC中点， 1 5 2 CEAC， 15BC ，设BDx，则15DCx， 即： 10 155 x x ，解得： 1 5x， 2 10 x
13、 ， BDCD， 5BD （2）由（1）可知5BDCE，10ABDC，BC ， 在ABD和DCE中， BDCE BC ABDC ，ABD SASDCE DADE 【点睛】 本题考查三角形全等的性质，三角形相似的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用 7如图，在ABC中，90ACB，CD是高，BE平分ABC ，BE分别与AC，CD相交于点E， F （1）求证：AEBCFB （2）求证： AEAB CECB （3）若5CE ， 2 5EF ，6BD，求AD的长 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3） 32 3 【分析】 （1）由题意易得90ACDBCD，进而可知ABCD ，
14、然后有ABECBE，进而问题得 证； （2）由题意易得CFEBCDCBEAABE ，进而有CECF， AEAB CFCB ，进而问题得 证； （3）如图，作CHEF于H，从而易得5EHFH，进而可得3DF ，8CDCFDF，然 后由ACDCBD可进行求解 【详解】 证明： （1）90ACB 90ACDBCD CD为AB边上的高， 90ADC 90AACD ABCD ， BE是ABC的平分线， ABECBE AEBCFB； （2）ABECBE，ABCD ， CFEBCDCBEAABE CEFAABE ， CEFCFE CECF AEBCFB AEAB CFCB AEAB CECB ； （3）如图
15、，作CHEF于H CECF，CHEF 5EHFH ， 2222 5( 5)2 5CHECEH 由BFDCFH， DFBD HFCH ， 6 52 5 DF 3DF，8CDCFDF， 由ACDCBD ADCD CDBD 8 86 AD 32 3 AD 【点睛】 本题主要考查相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键 8如图，四边形 ABCD 中，ADCD，DABACB90 ，过点 D 作 DEAC，垂足为 F，DE 与 AB 相交于点 E （1）求证：AB AFCB CD； （2）已知 AB15 cm，BC9 cm，P 是射线 DE 上的动点设 DPx cm（0
16、 x） ，四边形 BCDP 的面积 为 y cm2 求 y 关于 x 的函数关系式； 当 x 为何值时， PBC 的周长最小，并求出此时 y 的值 【答案】 （1）见解析； （2） 1 96327 2 yxx（）（0 x） ；当 25 2 x 时， PBC 的周长最小， 此时 129 2 y 【分析】 （1）由已知条件易证 DCFABC，可得 CDCF ABCB ，即可得 AB AFCB CD； （2）由勾股定理求得 AC=12，即可得 CFAF6，根据四边形 BCDP 的面积= DCP 的面积+ BCP的 面积即可得 y关于 x的函数关系式； 由题意可知 PBC的周长最小，就是 PBPC 最
17、小，当当 P、A、B三点共线时 PBPA最小这时求得 x、y的值即可 【详解】 （1）证明：ADCD，DEAC， DE垂直平分 AC AFCF，DFADFC90 ，DAFDCF DABDAFCAB90 ，CABB90 ， DCFDAFB 在 Rt DCF和 Rt ABC中， DFCACB90 ，DCFB DCFABC CDCF ABCB ，即 CDAF ABCB AB AFCB CD （2）解AB15 BC9 ACB90 AC 22 ABBC 22 159 12 CFAF6 y= 1 2 （x+9） 63x27（x0） BC9（定值） ， PBC的周长最小，就是 PBPC最小 由（1）可知，点
18、 C 关于直线 DE的对称点是点 A， PBPCPBPA，故只要求 PBPA最小 显然当 P、A、B 三点共线时 PBPA最小 此时 DPDE，PBPAAB 由（1） ，ADFFAE，DFAACB90 ，得 DAFABC 由 EFBC，得 AEBE 1 2 AB15 2 ，EF 9 2 AFBCADAB， 即 69AD15 AD10 Rt ADF中，AD10，AF6，DF8 DEDFFE8 9 2 25 2 当 x 25 2 时， PBC的周长最小，此时 y 129 2 9已知，如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AD的中点，EFEC交 AB于 F，连结 FC（ABAE） （1）求证：AEFD
19、CE （2）AEF与ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由 （3）设 AB k BC ，是否存在这样的k值，使得AEF与BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的 值；若不存在，说明理由 【答案】 （1）证明见解析； （2）相似，理由见解析； （3）存在，k= 3 2 【分析】 （1）根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等可得DEC=AFE，再根据A=D=90 可证得结论； （2）延长 FE 与 CD的延长线交于 G，证明 Rt AEFRt DEG（ASA） 由全等三角形的性质可得出 EF=EG证明 Rt EFCRt EGC（SAS） 得出AFE=EGC=EFC则可证得结
20、论； （3） 分两种情况讨论， 当AFE=BCF时根据一个三角形最多有一个直角排除， 当AFE=BFC， 设 BC=a， 则 AB=ka，由 AEFBCF，得出 AF= 1 3 ka，BF= 2 3 ka，再借助 AEFDCE即可证明 【详解】 解： （1）EFEC， FEC=90 ，即AEF+DEC=90 ， 四边形 ABCD为矩形， A=D=90 ， AEF+AFE=90 ， DEC=AFE， A=D=90 ， AEFDCE； （2） AEFECF证明如下： 延长 FE 与 CD 的延长线交于 G， E 为 AD的中点， AE=DE， AEF=GED，A=EDG， Rt AEFRt DEG
21、（ASA） EF=EG CE=CE，FEC=CEG=90 ， Rt EFCRt EGC（SAS） AFE=EGC=EFC 又A=FEC=90 ， AEF ECF； （3）存在 k值，使得 AEF与 BFC 相似 理由如下： 假定 AEF与 BFC 相似，则有两种情况： 当AFE=BCF，则有AFE 与BFC 互余，于是EFC=90 ，因此此种情况是不成立的； 当AFE=BFC，使得 AEF与 BFC 相似， 设 BC=a，则 AB=ka， AEFBCF， 1 2 AFAE BFBC =， AF= 1 3 ka，BF= 2 3 ka， AEFDCE， AEAF CDDE =，即 11 32 1
22、2 kaa kaa = ， 解得，k= 3 2 【点睛】 本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相 似三角形的判定定理和性质定理，能正确识图是解题的关键 10在ABC中，90ACB， 20AB ，12BC （1） 如图1， 折叠ABC使点A落在AC边上的点D处， 折痕交AC、AB分别于Q、H， 若 9 A B CD H Q SS ， 则HQ （2） 如图 2， 折叠ABC使点A落在BC边上的点M处， 折痕交AC、AB分别于E、F 若/FM AC， 求证：四边形AEMF是菱形 （3）如图 3，在（1） （2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使
23、得CMP!和 HQP 相似？若存在，求 出PQ的长；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）4； （2）证明见解析； （3）存在，满足条件PQ的值为 32 7 或 8 或 8 3 【分析】 （1）利用勾股定理求出 AC，设 HQx，根据 SABC=9SDHQ，构建方程即可解决问题； （2）由翻折的性质可得 AE=EM，AF=FM，然后证明出 AE=AF即可； （3） 设 AEEMFMAF4m， 则 BM3m， FB5m， 构建方程求出 m的值， 然后根据 QH=4， AQ=16 3 ， 求出 QC= 32 3 ，设 PQ=x，分两种情形分别求解即可解决问题 【详解】 （1）如图， 在ABC中，
24、90ACB，20AB ，12BC ， 22 201216.AC 设HQx， /HQ BC， AHQABC， AQHQ ACBC ，即 1612 AQx ， 4 3 AQx， 9 ABCDHQ SS ， 114 16 129 223 xx 整理得： 2 16x ， 解得： 1 4x ， 2 4x （舍去） ， 4HQ （2）如图 由翻折的性质可知：AEEM，AFFM，AFEMFE ， /FM AC， AEFMFE ， AEFAFE ， AE=AF， AEAFMFME， 四边形AEMF是菱形； （3）如图，连接 MP、HP， 设4AEEMFMAFm 则3BMm，5FBm， 4520mm，解得 20
25、 9 m 80 9 AEEM 8064 16 99 ECACAE， 22 16 3 CMEMEC 4QH ， 16 3 AQ 32 3 QC 设PQx， 当 HQPMCP 时， QHPQ CMPC ， 4 1632 33 x x 解得： 32 7 x 32 7 PQ ， 当 HQPPCM 时， QHPQ PCCM ， 4 3216 33 x x 解得：8x 或 8 3 8PQ 或 8 3 综上所述，满足条件PQ的值为 32 7 或 8 或 8 3 【点睛】 本题属于相似形综合题，考查了翻折变换、三角形的面积、菱形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的 判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构
26、建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属 于中考压轴题 11关于 x的方程 12(1)kx 和一元二次方程 2 (2)380k xmxm中，k，m均为实数，方 程的根为非负数 （1）求 k 的取值范围； （2）当 k 为最小整数时，方程有两根分别为1p和5p ，求 m的值； （3）在（2）的条件下，若直线 y=kx+1与 x 轴，y轴分别交于点 A，B，点 C是双曲线 2 y mx 在第一象限 图像上一动点，作 CDy轴交线段 AB 于点 E，作 CFx 轴交线段 AB于点 G，坐标原点为 O按要求补 全图形并完成： BG AE_； 求EOG的度数 【答案】 （1）k-1 且 k2；
27、（2）m=4； （3）1；EOG=45 【分析】 （1）先解方程，根据方程的根为非负数及一元二次方程的定义即可得答案； （2）由（1）可知 k-1，根据 k 为最小整数可知 k=-1，可得方程为 2 3380 xmxm，利用一元二 次方程根与系数的关系即可得答案； （3）根据（2）可得直线 AB和双曲线的解析式，根据题意作出图形，过点 E 作 EPx轴于 P，过 G作 GQy轴于 Q，设点 C坐标为（t， 1 2t ） ，由直线 AB 解析式可得 A、B两点坐标，可得 AOB 是等腰直角 三角形，进而可得 BQG和 EPA 是等腰直角三角形，可得 BG= 2QG，AE=2PE，即可得答案； 如
28、图，连接 OE、OG，由得 BG AE=1，OA=OB=1，OBA=OAB=45 ，可得 BGOA OBAE ，即可证明 BOG AEO，可得OGB=EOA，根据外角性质及角的和差关系可得EOG=OAB=45 【详解】 （1）12(1)kx ， x= 1 2 k ， 方程 12(1)kx 的根为非负数，方程 2 (2)380k xmxm是一元二次方程， 1 2 k 0，2-k0， 解得：k-1 且 k2 （2）由（1）可知 k-1， k为最小整数， k=-1， 方程为 2 3380 xmxm， 方程有两根分别为 1p和5p ， 1p+(5p )= 3 3 m ，即-m=-4， 解得：m=4 （
29、3）根据题意补全图形如下，过点 E作 EPx 轴于 P，过 G作 GQy轴于 Q，由（2）可知 k=-1，m=4， 直线 AB解析式为 y=-x+1，双曲线的解析式为 21 42 y xx ， 直线 y=kx+1与 x 轴，y轴分别交于点 A，B， A（1，0） ，B（0，1） ， OA=OB=1，OBA=OAB=45 ， AOB 是等腰直角三角形， EPx 轴，GQy轴， BQG和 EPA是等腰直角三角形， BG= 2GQ，AE=2PE， CDy轴，CFx 轴， GQ=CD，PE=CF， 设点 C坐标为（t， 1 2t ） ，则 CD=t，CF= 1 2t ， BG AE= 2t21 2t
30、=1 如图，连接 OE、OG， 由得 BG AE=1，OA=OB=1，OBA=OAB=45 ， BG= 1 AE ， BGOA OBAE ， BOG AEO， OGB=EOA， OGB=GOA+OAB，EOA=EOG+GOA， EOG=OAB=45 【点睛】 本题考查一元二次方程的定义、根与系数的关系；等腰直角三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性 质，如果两个三角形的两组对应边成比例，且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果一元二次方 程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根为 x1、x2，那么 x1+x2= b a ，x1x2= c a ；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关 键 12
31、 （问题情境）如图，在Rt ABC中，90ACB，ACBC，点D为AB中点，连结CD，点E 为CB上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC于点F易知BE与CF的数量关系为_ （探索发现） 如图， 在Rt ABC中，90ACB，ACBC， 点D为AB中点， 连结CD， 点E为CB 的延长线上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F （问题情境）中的结论还成立吗？请说明理由 （类比迁移） 如图， 在等边ABC中，4AB ， 点D是AB中点， 点E是射线AC上一点 （不与点A、 C重合） ，将射线DE绕点D逆时针旋转60交BC于点F当2CFCE时，CE _ 【答案】 【问题情境】BECF；
32、【探索发现】成立，理由见解析； 【类比迁移】33或17 【分析】 问题情境：根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 探索发现：根据线段的中点的定义得到 CDBD，求得DBCDCB45 ，得到CDFBDE，推出 CFBE； 类比迁移：根据等边三角形的性质得到AB60 ，求得BDFAED，设 CEx，则 CF2x，当 点 E 在线段 AC上时，如图，当点 E 在 AC的延长线上时，根据相似三角形的性质即可得到结论 【详解】 问题情境：证明：在 Rt ABC中，ACB90 ，ACBC，点 D为 AB中点， CDAB，CDBDAD 1 2 AB，BCDB45 ， BDC90
33、 ， EDF90 ， CDFBDE， 在 BDE与 CDF中， BDCF，BDCD，BDECDF， BDECDF（ASA） ， BECF； 探索发现:成立，理由如下： 在 Rt ABC中，D为 AB中点， CDBD， 又ACBC， DCAB， DBCDCB45 ， DEDF， EDF90 ， EDBBDFCDFBDF90 ， CDFBDE， ADFCDE， AFCE， CFBE； 类比迁移：ABC 是等边三角形， AB60 ， FDE60 ， BDF120ADE，AED120ADE， BDFAED， AEDBDF， ADAE = BFBD ， 点 D为 AB 中点，AB4， ADBD2，ACB
34、C4， CF2CE， 设 CEx，则 CF2x， 当点 E在线段 AC 上时， AE4x，BF42x， 24-x = 4-2x2 ， 解得：x3 3，x33（不合题意，舍去） ， CE3 3， 如图，当点 E 在 AC的延长线上时， AE4x，BF42x， 24+x = 4-2x2 ， 解得：x17， （负值舍去） ， CE17 综上所述，CE3 3或17， 故答案为：CE3 3或17 【点睛】 本题考查了几何变换综合题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的 识别图形是解题的关键 13如图， AB是O的直径， O过 AC 的中点 D， DEBC 于点 E，连接 B
35、D （1） 求证： AB = BC； （2） 求证：DEAB = ADBD 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【分析】 （1） 根据直径所对的圆周角为 90 可得ADB=BDC=90 ， 由 SAS证明 ABDCBD， 即可得 AB=BC； （2）由 ABDCBD可得C =A，再由DEC = ADB=90 可证 ECDDAB，从而得到 DECD BDAB ，因为 CD AD，所以 DEAB = ADBD 【详解】 证明： （1） AB 是O的直径， ADB=BDC=90 ， D 是 AC的中点， AD=CD， 又BD 是公共边， ABDCBD， C=A，ABBC （2）DEBC，AB是O
36、 的直径， DEC=ADB=90 ， 又C =A， ECDDAB， DECD BDAB ， CDAD， DEAB = ADBD 【点睛】 本题考查圆的综合题，应用到全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，掌握圆的性质 为解题关键 14在平面直角坐标系 xOy中，直线 1 yx6 2 与x轴、y轴分别交于点 A、B，与直线y x 相交于点 C (1)直接写出点 C 的坐标； (2)如图， 现将直角FCE绕直角顶点 C 旋转， 旋转时始终保持直角边 CF与x轴、y轴分别交于点 F、 点 D， 直角边 CE与x轴交于点 E. 在直角FCE旋转过程中， CD CE 的值是否会发生变化?若
37、改变，请说明理由；若不变，请求出这个值. 在直角FCE旋转过程中，是否存在以 C、E、F为顶点的三角形与 ODE相似?若存在，求出点 D 的坐 标；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1） （4，4） ； （2）不变，值为 1；存在，(0,84 2)或(0, 4 2) 【分析】 （1）联立两直线解析式，求方程组的解即可求得点 C的坐标； （2）过点 C作 CHy轴于点 H，过点 C作 CKx 轴于点 K，则可证明 CHDCKE，结合点 C的坐 标，可求得 CD CE 的值； 分 ODECEF和 ODECFE 两种情况，当 ODECEF时，利用相似三角形的性质可求得 O 为 EF中点，可求得 O
38、F的长，再证明 CHDFOD，利用相似三角形的性质可求得 OD的长，可求得 D 点的坐标； 当 ODECFE时， 过点C作CMy轴于点M， 过点C作CNx轴于点N， 利用 CMDCNE 可证得 OC=OD，则可求得点 D 的坐标 【详解】 解： （1）联立两直线解析式可得 1 6 2 yx yx ，解得 4 4 x y ， (4,4)C ； （2）不变； 如图 1，过点C作CHy轴于点H，过点C作CKx轴于点K，则4CHCK， 190DCK ，290DCK ， 12，且 CHDCKE ， CHDCKE， 4 1 4 CDCH CECK ； 存在， 1若ODE CEF，如图 2， 则OEDCFE
39、 ， DFDE，又ODEF， OFOE， 90FCE， 1 2 OCEF， 在Rt CHO中，由勾股定理得 4 2OC ， 4 2OEOFOC， 又/ /CHOF， CHDFOD， HDCH ODOF ，即 44 2 2 OD OD ， 84 2OD， (0,84 2)D； 2若ODE CFE，如图 3， 则CEOOED 过点C作CMy轴于点M，过点C作CNx轴于点N， 则4CMCN易证CMDCNE ， CEOCDM ，CDCE， CDE为等腰直角三角形， 45CED， 22.5CEOOEDCDM ， CMO为等腰直角三角形， 45COM， 22.5OCDCOMCDM ， OCDODC， OD
40、OC， 在Rt CMO中，由勾股定理得 4 2OC ， 4 2ODOC， (0, 4 2)D； 综上所述若以C、E、F为顶点的三角形与ODE相似，则D点坐标为(0,84 2)或(0, 4 2) 【点睛】 本题为相似三角形的综合应用，涉及知识点有函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角 形的性质及分类讨论思想等在（1）中联立函数解析式构成方程组是求函数图象交点的常用方法，在（2） 中利用相似三角形的性质得到关于 OD的方程求得 OD的长是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较 强，难度较大 15如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF 交CD于点F （1）求证：ABEDEF； （
41、2）连结BF，若ABEEBF，试确定点E的位置并说明理由 【答案】 （1）见解析； （2）点 E为 AD的中点理由见解析 【分析】 （1）根据同角的余角相等证明ABE=DEF，再由直角相等即可得出两三角形相似的条件； （2）根据相似三角形的对应边成比例，等量代换得出 ABAB DEAE ，即可得出 DE=AE 【详解】 （1）证明四边形 ABCD是正方形， A=D=90 ， AEB+ABE=90 ， EFBE， AEB+DEF=90 ， ABE=DEF 在 ABE和 DEF中， ABEDEF AD ABEDEF ； （2）ABEDEF， ABBE DEEF ， ABEEBF， ABBE AEE
42、F ， ABAB DEAE ， DE=AE， 点 E为 AD的中点 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据等角的余角相等证出两角相等是解决（1）的关键，根据相 似三角形的对应边成比例等量代换是解决（2）的关键 16如图，在ABC中，CDAB于D，BEAC 于E，试说明： （1）ABEACD （2）AD BCDE AC 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【分析】 （1）直接根据相似三角形的判定证明即可； （2）首先根据相似三角形的性质得出 AEAB ADAC ，进而证明 ADEACB，最后根据相似三角形的性质 即可证明 【详解】 解： （1）CDAB于 D，BEAC 于 E，
43、 AEB=ADC=90 ， 在 ABE和 ACD中 90ADCAEB AA ABEACD； （2） ABEACD， AEAB ADAC 在 ADE和 ACB中， AEAB ADAC AA ADEACB ADDE ACBC AD BC=DE AC 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键 17如图，在等边三角形 ABC中，BC8，过 BC 边上一点 P，作DPE60 ，分别与边 AB，AC 相交于 点 D 与点 E （1）在图中找出与EPC始终相等的角，并说明理由； （2）若 PDE 为正三角形时，求 BD+CE的值； （3）当 DEBC时，请用 BP
44、表示 BD，并求出 BD的最大值 【答案】 （1）BDPEPC，理由见解析； （2）8； （3）BD 2 8BPBP，BD 的最大值为 4 【分析】 （1）根据等边三角形的性质、三角形的外角性质解答； （2）证明 BDPCPE，根据全等三角形的性质得到 BDCP，BPCE，结合图形计算，得到答案； （3）证明 BDPCPE，根据相似三角形的性质列式求出 BP 与 BD 的关系，根据二次函数的性质求出 BD 的最大值 【详解】 解： （1）BDPEPC， 理由如下：ABC 为等边三角形， B60 ， DPE60 ， DPEB， DPC是 BDP 的外角， DPE+EPCB+BDP， EPCBDP
45、； （2）PDE 为正三角形， PDPE， 在 BDP和 CPE中， BC BDPCPE PDEP BDPCPE（AAS） ， BDCP，BPCE， BD+CECP+BPBC8； （3）DEBC， ABC为等边三角形， ADE为等边三角形， ADAE， BDCE， BC，EPCBDP， BDPCPE， BDBP PCCE ，即 8 BDBP BPBD 整理得，BD 2 8BPBP ， BP2+8BP（BP4）2+16， BD的最大值为 4 【点睛】 此题主要考查等边三角形的性质、三角形的外角性质、全等三角形的判断与性质、相似三角形的判断与性 质以及二次函数的性质，灵活运用知识点进行逻辑证明是解
46、题关键 18如图，正方形 ABCD的边长等于3，P是 BC边上的一动点，APB、APC的角平分线 PE、PF 分 别交 AB、CD于 E、F两点，连接 EF （1）求证： BEPCPF； （2）当PAB30 时，求 PEF 的面积 【答案】 （1）详见解析； （2） 2 3 2 3 【分析】 （1）由于 PE平分APB，PF平分APC，所以EPF90 ，然后根据相似三角形的判定即可求证 BEPCPF； （2）由题意可知BPE30 ，FPC60 ，根据含 30 度的直角三角形的性质即可求出答案 【详解】 （1）PE平分APB，PF平分APC， APE 1 2 APB，APF 1 2 APC， A
47、PE+APF 1 2 （APB+APC）90 ， EPF90 ， EPB+BEPEPB+FPC90 ， BEPFPC， BC90 ， BEPCPF； （2）PAB30 ， BPA60 ， BPE30 ， 在 Rt ABP 中， PAB30 ，AB3， BP1， 在 Rt BPE中， BPE30 ，BP1， EP 2 3 3 ， CP31，FPC60 ， PF2CP2 32， PEF的面积为： 1 2 PEPF2 2 3 3 【点睛】 本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，含 30度角的直角三角 形的性质，本题属于中等题型 19已知四边形ABCD是矩形 （1）
48、如图 1，EF、分别是ABCD、上的点，CE垂直平分BF，垂足为G，连接DG 求证：DGCG ； 若2BCAB，求DGC 的大小； （2）如图 2，6ABBC，MNP、 、分别是ABCDAD、上的点，MN垂直平分BP，点Q是CD 的中点，连接,MP PQ，若PQMP，直接写出CN的长 【答案】 （1）详见解析；30 ； （2） 4 3 【分析】 （1）过 G作 MNCD于 N，与 AB 交于点 M，则 MNAD，证明 AM=BM，再证明四边形 ADNM是矩 形，得 MN垂直平分 CD，再根据垂直平分线定理得结论； 连接 CF，证明 CF=2CD，延长 CD至 H，使得 DH=CD，连接 EH，
49、则 CF=CH，由垂直平分线的性质得 CF=HF=CH，得FCD=60 ，由余角性质得BCF的度数，进而求得GCD，再根据三角形内角和定理得 结果； （2）过 N点作 NKAB于点 K，得四边形 AKND是矩形，证明 ABPKNM，得 AP=KM，不妨设 BM=MP=x，则 AM=6-x，证明 APMDQP，列出 x的方程，求得 x的值便可得出结论 【详解】 解： （1）如图 1，过 G作 MNCD于 N，与 AB交于点 M，则 MNAD， CE垂直平分 BF， GB=GF， AM=BM， 四边形 ABCD是矩形， A=ADN=MND=90 ， 四边形 ADNM是矩形， DN=AM= 1 2 AB= 1 2 CD， MN 垂直平分 CD， DG=CD； 连接 CF，如图 1， CE垂直平分 BF， CF=CB BCG=FCG= 1 2 BCF， 四边形 ABCD是矩形， AB=CD，CDF=BCD=90 ，ADBC， BC=2AB， CF=2CD， 延长 CD至 H，使得 DH=CD，连接 EH，则 CF=CH， AD垂直平分 CH， FH=FC=CH， FCD=60 ， BCF=90 -FCD=30 ， BCG=FCG=15 ， GDC=GCD=BCD-BCG=75 ， CGD=180 -75 2=30 ； （2）过
