1、同步练习同步练习 十十 万有引力理论的成就万有引力理论的成就 (30 分钟70 分) 一、选择题(本题共 10 小题,每题 4 分,共 40 分) 1.下列说法正确的是 ( ) A.海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的 B.天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的 C.海王星是人们经过长期的太空观测而发现的 D.天王星的运行轨道与由万有引力定律计算出的轨道存在偏差,其原 因是天王星受到轨道外的行星的引力作用,由此人们发现了海王星 【解析】选 D。由行星的发现历史可知,天王星并不是根据万有引力定 律计算出轨道而发现的;海王星不是通过观测发现,也不是直接由万有 引力定律计算出轨
2、道而发现的,而是人们发现天王星的实际轨道与理 论轨道存在偏差,然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道,从而 发现了海王星。由此可知,A、B、C 错误,D 正确。 2.(2018浙江 11 月选考)20 世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太 空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船,为了 测量自身质量,启动推进器,测出飞船在短时间 t 内速度的改变为 v 和飞船受到的推力 F(其他星球对它的引力可忽略)。飞船在某次航 行中,当它飞近一个孤立的星球时,飞船能以速度 v 在离星球的较高轨 道上绕星球做周期为 T 的匀速圆周运动。已知星球的半径为 R,引力常 量用 G 表示。则宇宙飞船
3、和星球的质量分别是 ( ) A., B., C., D., 【解析】选 D。根据牛顿第二定律可知 F=ma=m,所以 m=,飞船做圆 周运动的周期 T=,得半径为 R=,根据万有引力提供向心力可得 G=m,得 M=,故 D 正确。 3.据报道,目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器。探测器升空后, 先在近地轨道上以线速度v环绕地球飞行,再调整速度进入地火转移轨 道,最后再一次调整速度以线速度 v在火星表面附近环绕飞行。若认 为地球和火星都是质量分布均匀的球体,已知火星与地球的半径之比 为 12,密度之比为 57,设火星与地球表面的重力加速度分别为 g 和 g,下列结论正确的是( ) A.gg=
4、41 B.gg=107 C.vv= D.vv= 【解析】 选 C。 在星球表面的探测器受到的重力等于万有引力:G=mg, g= GR,则: = = =,故 A、 B 错误;探测器绕 地球表面运行和绕火星表面运行都是由万有引力充当向心力,根据牛 顿第二定律有: G=m,得:v=,M 为中心天体质量,R 为中心天体 半径,M= R 3,联立得:v= ,所以探测器绕火星表面运行和 绕地球表面运行线速度大小之比为: =,故 C 正 确,D 错误。 4.地球表面的平均重力加速度为 g,地球半径为 R,万有引力常量为 G, 用上述物理量估算出来的地球平均密度为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选
5、A。联立以下三式:G=mg、V= R 3、= ,解得:= 。 5.“嫦娥一号”发射后先在近地圆轨道绕行3周,再长途跋涉进入近月 圆轨道绕月飞行。若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的 , 月球半径为地球半径的 ,下列说法不正确的是 ( ) A.绕月与绕地飞行周期之比为 B.绕月与绕地飞行周期之比为 C.绕月与绕地飞行向心加速度之比为 16 D.月球与地球质量之比为 196 【解析】选 B。根据近地(近月)飞行时,重力提供圆周运动的向心力可 得: mg=mR,可得周期:T=2,根据已知条件:R月R地=14,g月g 地=16,代入上式解得周期之比:T月T地=,故 A 正确,B 错误; 根据近
6、地(近月)飞行时,重力提供圆周运动的向心力可得:a 向=g,所以 绕月与绕地飞行向心加速度之比为 16,故 C 正确;若不考虑星球自转 的影响,在星球表面重力和万有引力相等,可知:G=mg,所以 M=, 所以月球和地球的质量之比为:M月M地=g月 g地=196,故 D 正确。 6.我国古代神话传说中:地上的“凡人”过一年,天上的“神仙”过一 天。如果把看到一次日出就当作“一天”,某卫星的运行半径为月球绕 地球运行半径的,则该卫星上的航天员24 h内在太空中度过的“天” 数约为(已知月球的运行周期为 27 天) ( ) A.1 B.8 C.16 D.24 【解析】选 B。根据天体运动的公式=mr
7、 得=,解得卫星运行 的周期为 3 h,故 24 h 内看到 8 次日出,B 项正确。 7.据报道,最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星,其质量约为地球 质量的 6.4 倍,一个在地球表面重量为 600 N 的人在这个行星表面的重 量将变为 960 N。由此可推知,该行星的半径与地球半径之比约为 ( ) A.0.5 B.2 C.3.2 D.4 【解析】选 B。在忽略地球自转的情况下,万有引力等于物体的重力, 即 G地=G,同样在行星表面有 G行=G,解得=2,故该 行星的半径与地球的半径之比约为 2。 8.两颗互不影响的行星 P1、P2,各有一颗近地卫星 S1、S2绕其做匀速圆 周运动。图中纵
8、轴表示行星周围空间某位置的引力加速度 a,横轴表示 某位置到行星中心距离 r 平方的倒数,a-关系如图所示,卫星 S1、S2 的引力加速度大小均为 a0。则 ( ) A.S1的质量比 S2的大 B.P1的质量比 P2的大 C.P1的第一宇宙速度比 P2的小 D.P1的平均密度比 P2的大 【解析】选 B。万有引力充当向心力,故有 G=ma,解得 a=GM,故图 像的斜率 k=GM,因为 G 是恒量,M 表示行星的质量,所以斜率越大,行星 的质量越大,故 P1的质量比 P2的大,由于计算过程中,卫星的质量可以 约去,所以无法判断卫星质量关系,A错误,B正确;因为两个卫星是近地 卫星,所以其运行轨
9、道半径可认为等于行星半径,根据第一宇宙速度公 式v=可得v=,从题图中可以看出,当两者加速度都为a0时,P2 半径要比 P1小,故 P1的第一宇宙速度比 P2的大,C 错误;星球的密度 = =,故星球的半径越大,密度越小,所以 P1的平均密 度比 P2的小,D 错误。 9.(2020温州高一检测)登上火星是人类的梦想,“嫦娥之父”欧阳 自远透露:中国计划于 2020 年登陆火星。地球和火星公转视为匀速圆 周运动,忽略行星自转影响。根据表格,火星和地球相比 ( ) 行星 半径/m 质量/kg 轨道半径/m 地球 6.410 6 6.010 24 1.510 11 火星 3.410 6 6.410
10、 23 2.310 11 A.火星的公转周期较小 B.火星做圆周运动的加速度较小 C.火星表面的重力加速度较大 D.火星的第一宇宙速度较大 【解析】选 B。由表格数据知,火星的轨道半径比地球的大,根据开普勒 第三定律知,火星的公转周期较大,故 A 错误。根据 G=ma,得加速度 a=,则知火星做圆周运动的加速度较小,故 B 正确。在行星表面,由 g=可知火星表面的重力加速度较小,故 C 错误。 设行星的第一宇宙速 度为 v,则 G=m,得 v=。代入可得火星的第一宇宙速度较小,故 D 错误。 10.若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以 相同的速率平抛一物体,它们在水平方向
11、运动的距离之比为 2。已 知该行星质量约为地球的 7 倍,地球的半径为 R。 由此可知,该行星的半 径约为 ( ) A. R B. R C.2R D.R 【解析】选 C。对于任意一个行星,设其表面重力加速度为 g,根据平抛 运动的规律得:h= gt 2,得到:t= ,则水平射程 x=v0t=v0,可得该 行星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比= 。根据 G=mg,得 g=,可得=,解得行星的半径 R 行=R地 =R=2R,选项 C 正确,A、B、D 错误。 二、 计算题(本题共 2 小题,共 30 分。 要有必要的文字说明和解题步骤, 有数值计算的要标明单位) 11.(12 分)假设在
12、半径为 R 的某天体上发射一颗该天体的卫星,已知引 力常量为 G,忽略该天体自转。若卫星距该天体表面的高度为 h,测得卫 星在该处做圆周运动的周期为 T1,则该天体的密度是多少? 【解析】设卫星的质量为 m,天体的质量为 M。 卫星距天体表面的高度为 h 时,忽略自转有 G=m(R+h), M= = = 答案: 12.(18 分)在不久的将来,人类乘坐飞船去月球旅行或许会成为一种时 尚。已知地球表面的重力加速度为 10 N/kg,月球的质量约为地球质量 的,月球的半径约为地球半径的 ,试计算一个体重(连同装备)为 200 kg 的旅行者: (1)在航行到离地球表面等于半径高度处时所受的地球引力
13、是多少。 (2)在登上月球后所受的月球引力又是多少。 【解析】设地球的质量为 M,半径为 R。 (1)旅行者(连同装备)在地面所受引力 F1=G=mg=20010 N=2 000 N 旅行者(连同装备)在离地球表面等于半径高度处时所受的地球引力 F2=G=G=500 N (2)旅行者在月球上所受的月球引力 F3=G=G=mg=395 N 答案:(1)500 N (2)395 N (20 分钟30 分) 13.(3 分)据报道,科学家们在距离地球 20 万光年外发现了首颗系外 “宜居”行星。假设该行星质量约为地球质量的 6.4 倍,半径约为地球 半径的 2 倍。那么,一个在地球表面能举起 64
14、kg 物体的人在这个行星 表面能举起的物体的质量约为多少(地球表面重力加速度 g 取 10 m/s 2) ( ) A.40 kg B.50 kg C.60 kg D.30 kg 【解析】 选 A。 根据万有引力等于重力=mg,得:g=,因为行星质量 约为地球质量的 6.4 倍,其半径是地球半径的 2 倍,则行星表面重力加 速度是地球表面重力加速度的 1.6 倍,而人的举力 F 认为是不变的,则 在地球表面上:F=m0g,则人在行星表面:F=m1.6g,联立可以得 到:m= kg=40 kg,A 正确,B、C、D 错误。 14.(3 分)若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动,设其周 期为
15、 T,引力常量为 G,那么该行星的平均密度为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 B。设飞船的质量为 m,它做圆周运动的半径为行星半径 R, 则 G=m() 2R,所以行星的质量为 M= ,行星的平均密度 =,B 项正确。 15.(3 分)过去几千年来,人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内,行 星“51 Pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 Pegb” 绕其中心恒星做匀速圆周运动,周期约为 4 天,轨道半径约为地球绕太 阳运动半径的。该中心恒星与太阳的质量的比值约为( ) A. B.1 C.5 D.10 【解析】 选 B。 由 G=mr 得 M。 已知=,=,则=()
16、3 () 21,B 项正确。 16.(3 分)设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动,若测得土星到太阳的 距离为 R,土星绕太阳运动的周期为 T,万有引力常量 G 已知,根据这些 数据,不能求出的量有 ( ) A.土星线速度的大小 B.土星加速度的大小 C.土星的质量 D.太阳的质量 【解析】选 C。根据已知数据可求:土星的线速度大小 v=、土星的 加速度 a=R、太阳的质量 M=,无法求土星的质量,所以选 C。 17.(9 分)(2020朝阳区高一检测)2018 年 6 月 14 日 11 时 06 分,探月 工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制,进入环绕 距月球的地月拉格朗日 L2
17、点的 Halo 使命轨道,成为世界首颗运行在地 月 L2点 Halo 轨道的卫星。“鹊桥”可为卫星、飞船等飞行器提供数据 中继和测控服务,并实现科学数据实时下传至地面。若已知月球的质量 为M,万有引力常量为G,月球的半径为R,“鹊桥”卫星绕月球转n圈所 用的时间为 t,求: (1)“鹊桥”卫星的周期大小。 (2)“鹊桥”卫星离月球表面的高度大小。 (3)“鹊桥”卫星的线速度大小。 【解析】(1)由题意知,“鹊桥”卫星绕月球转 n 圈所用的时间为 t, 则其周期为:T= ; (2)根据万有引力提供向心力有:G=m(R+h) 解得:h=-R; (3)根据 v= 解得:v=。 答案:(1) (2)-
18、R (3) 18.(9 分)某宇航员在飞船起飞前测得自身连同宇航服等随身装备共重 840 N,在火箭发射阶段,发现当飞船随火箭以 a= 的加速度匀加速竖直 上升到某位置时(其中g为地球表面处的重力加速度),其身体下方体重 测试仪的示数为 1 220 N。已知地球半径 R=6 400 km。地球表面重力 加速度 g 取 10 m/s 2(求解过程中可能用到 =1.03,=1.02)。问: (1)该位置处的重力加速度 g是地面处重力加速度 g 的多少倍? (2)该位置距地球表面的高度 h 为多大? (3)地球的平均密度是多少? 【解析】(1)飞船起飞前,对宇航员受力分析有 G=mg,得 m=84 kg。 在 h 高度处对宇航员受力分析,应用牛顿第二定律有 F-mg=ma,得 =。 (2)根据万有引力公式可知,在地面处有=mg。 在 h 高度处有 =mg。 解以上两式得 h=0.02R=128 km。 (3)根据=mg 可得,地球质量 M= 地球的密度= 代入数据得=5.610 3 kg/m3 答案:(1)倍 (2)128 km (3)5.610 3 kg/m3
