1、第 1 页（共 4 页） 第 2 页（共 4 页） 绝密启用前绝密启用前 2020-2021 学年全国 I 卷区优生联赛试卷 理理 科科 数数 学学 注意事项：注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题 卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一、选择题：
2、本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. . 1.已知实数a满足 3 2 1 ai i i (i为虚数单位)，设复数(1)(1)zaai，则下列结论错误的是 （ ） A.z为纯虚数 B. | 2z C.z的虚部小于 0 D.0zz 2.设全集 UxN*|1x6，集合 A1，2，3，5，则满足() U AB 1，2的集合 B 共有 （ ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 3.如图，在矩形 ABCD 中，点 E
3、 为 CD 边上一动点(不包括端点)，将 ADE 沿 AE 翻折成 PAE，使得平面 PAE平面 ABCE. 给出下列两个结论： 在平面 ABCE 内过点 C 有且只有一条直线与平面 PAE 平行； 在 CD 边上存在点 E 使得 PEAB. 则下列判断正确的是（ ） A. 正确， 错误 B. 错误， 正确 C. ， 都正确 D. ， 都错误 4.宋代著名类书太平御览记载： “伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦.”乾为天，坤为地，震为雷， 坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情. 如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为 除凶避灾的吉祥
4、图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中 “ ”为阳爻，“ ”为阴爻. 现从八卦中任取两卦，已知取出的 两卦中有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为（ ） A. 4 7 B. 3 7 C. 5 6 D. 2 3 5.若椭圆上存在点 P，使得点 P 到椭圆的两个焦点的距离之比为 21，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则下列椭 圆中为“倍径椭圆”的是 （ ） A. 22 1 1615 xy B. 22 1 910 xy C. 22 1 2521 xy D. 22 1 3336 xy 6.函数 2 41 ( ) 2 x x f x 的图象关于 （ ） A.点(2，0)对称 B.直线
5、x2 对称 C.点(2，0)对称 D.直线 x2 对称 7.在钝角 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a，b，c， 已知 abc，且 B60 ，则 a c 的取值范围是 （ ） A.( 1 2 ，) B.(1，) C.( 3 2 ，) D.(2，) 8.设 64210 01210 (1) (1)xaxaa xa xa x，若 2 9a ，则 12310 aaaa的值为 （ ） A. 63 B. 64 C. 65 D.65 9.设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在不等式组 10 30 1 xy xy y 表示的平面区域内运动，则 2121 2()zxxyy 的最大 值为 （
6、） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 10.如图，函数( )sin()f xx(0，0 2 )在一个周期内的图象(不包括端点)与 x 轴，y 轴的交点分 别为 A，B，与过点 A 的直线另相交于 C，D 两点，E 为图象的最高点，O 为坐标原点，则()BCBDOE （ ） A. 4 9 B.14 9 C. 2 9 D. 4 9 11.已知点 P(2，2)，若圆 C： 222 (5)(6)(0)xyrr上存在两点 A，B，使得2PAAB，则 r 的取值范围是 （ ） A. (0，5) B. (0， 5 2 ) C. 1，5) D. 5 5, ) 2 12.已知互不相等的三个实数 a，b，c
7、 都大于 1，且满足lglglglg aa ac cb ，则 a，b，c 的大小关系可能是 （ ） A. cba B. bca C. cab D. bac B A E D C O x y D A B C P E 第 3 页（共 4 页） 第 4 页（共 4 页） 第卷第卷 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.已知|a|1，|b|2，且(a2b)a3，则向量 a 与 b 的夹角为 . 14.已知sin()2 3sin() 2 ，则tan() 3 的值为 . 15.设直线 ykx 与双曲线 C： 22 22
8、1(0,0) xy ab ab 相交于 A，B 两点，P 为 C 上不同于 A，B 的一点， 直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，若 C 的离心率为 2，则 k1 k2 . 16.如图，三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，PAPC， ABC 是边长为 6 的正三角形，二面角 PACB 大小为 120 ， 则球 O 的表面积等于 . 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分, ,解答应写出文字说明解答应写出文字说明, ,证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. .第第 17172121 题为必考题，每个试题考生都必题为必考题，每个试题考生都必 须作答，第须作答，第 222
9、2，2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分. . 17.（12 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，已知当 n2 时， 1 2 nn aa ，且 4a3为 S4，S5的等比中项. （1）求数列an的首项 a1的值； （2）设 2 1 2 n n n nn a b a a ，求数列bn的前 n 项和 n T. 18.（12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1的底边长和侧棱长都为 2，点 D 在棱 BB1上运动(不包括端点). （1）若 D 为 BB1的中点，证明：CDAC1； （2）设面 AC1D 与面 A
10、BC 所成的二面角大小为 ( 为锐角)，求 cos 的取值范围. 19.（12 分）今年五月，某医院健康管理中心为了调查成年人体内某种自身免疫力指标，从在本院体检的人群 中随机抽取了 100 人，按其免疫力指标分成如下五组：(10，20，(20，30，(30，40，(40，50，(50， 60，其频率分布直方图如图 1 所示. 今年十月，某医药研究所研发了一种疫苗，对提高该免疫力有显著效果. 经临床检测，将自身免疫力指标比较低的成年人分为五组，各组分别按不同剂量注射疫苗后，其免疫力指标 y 与疫苗注射量 x 个单位具有相关关系，样本数据的散点图如图 2 所示. （1）健管中心从自身免疫力指标在
11、(40，60内的样本中随机抽取 3 人调查其饮食习惯，记 X 表示这 3 人中免 疫力指标在(40，50内的人数，求 X 的分布列和数学期望； （2）由于大剂量注射疫苗会对身体产生一定的副作用，医学部门设定：自身免疫力指标较低的成年人注射疫 苗后，其免疫力指标不应超过普通成年人群自身免疫力指标平均值的 3 倍. 以健管中心抽取的 100 人作为普 通人群的样本，据此估计，疫苗注射量不应超过多少个单位？ 附：附：对于一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn ，yn)，其回归直线 y bxa的斜率和截距的最小二乘 估计值分别为 11 2 22 11 ()() () nn iiii ii
12、nn ii ii xx yyx ynxy b xxxnx ，aybx. 20.（12 分）设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 M 在抛物线 C 上，O 为坐标原点，已知 | 2 3OM ，|MF|3. （1）求抛物线 C 的方程； （2）过焦点 F 作直线 l 交 C 于 A，B 两点，P 为 C 上异于 A，B 的任意一点，直线 PA，PB 分别与 C 的准线 相交于 D，E 两点，证明：以线段 DE 为直径的圆经过 x 轴上的两个定点. 21.（12 分）已知函数 2 ( )ln(1) 2 a f xxxx. （1）若 f(x)在(0，)内是减函数，求 a 的取值范围； （2
13、）已知 ln lim0 x x x ，若 0a1，求 f(x)的零点个数. （二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分分. .请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. . 22.（10 分）选修选修 4 44 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 tan 2sin() 4 cos x y ( 为参数，且 22 ). 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2 2 4 2cos . （1）求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； （2）设曲线 C1与 C2相交于 A，B 两点，点 P 的直角坐标为(0，1)，求|PA| |PB|的值. 23.（10 分）选修选修 4 45 5：不等式选讲：不等式选讲 已知函数( ) | 2|3|f xxax. （1）当 a1 时，求不等式 f(x)8 的解集； （2）若对任意 xR，f(x)2a1 恒成立，求实数 a 的取值范围. B A C A1 B1 C1 D B A C P O
