1、 绝密绝密启用前启用前 20192019 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 注意事项：注意事项： 1 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2 2作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中
2、，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1.设集合 A=x|x2-5x+60，B= x|x-1b，则 A. ln(ab)0 B. 3 a0 D. ab 【答案】C 【解析】 【分析】 本题也可用直接法，因为ab，所以0ab，当1ab时，ln()0ab，知 A 错，因为3xy 是增 函数， 所以33 ab ， 故 B错； 因为幂函数 3 yx是增函数，ab， 所以 33 ab， 知 C 正确； 取 1,2ab， 满足ab，12ab，知 D 错 【详解】取2,1ab，满足ab，ln()0ab，知 A 错，排除 A；因为9333 ab ，知 B错，排 除 B
3、； 取1 ,2ab， 满足ab，12ab， 知 D 错， 排除 D， 因为幂函数 3 yx是增函数，ab， 所以 33 ab，故选 C 【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算 能力素养，利用特殊值排除即可判断 7.设 ，为两个平面，则 的充要条件是 A. 内有无数条直线与 平行 B. 内有两条相交直线与 平行 C. ， 平行于同一条直线 D. ， 垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定 定理与性质定理即可作出判断 【详解】由面面平行的判定定
4、理知：内两条相交直线都与平行是/ /的充分条件，由面面平行性质 定理知，若/ /，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是/ /的必要 条件，故选 B 【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如： “若, / /abab，则/ /”此类的错误 8.若抛物线 y2=2px（p0）的焦点是椭圆 22 3 1 xy pp 的一个焦点，则 p= A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】 利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p的方程， 即可解出p， 或者利用检验排除的方法， 如2p 时，抛物线焦点为（1，0
5、） ，椭圆焦点为（2，0） ，排除 A，同样可排除 B，C，故选 D 【详解】因为抛物线 2 2(0)ypx p的焦点(,0) 2 p 是椭圆 22 3 1 xy pp 的一个焦点，所以 2 3() 2 p pp， 解得8p ，故选 D 【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养 9.下列函数中，以 2 为周期且在区间( 4 ， 2 )单调递增的是 A. f(x)=cos 2x B. f(x)=sin 2x C. f(x)=cosx D. f(x)= sinx 【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养画出各函数
6、图象，即可做出选 择 【详解】因为sin|yx图象如下图，知其不是周期函数，排除 D；因为coscosyxx，周期为2， 排除 C， 作出cos2yx图象， 由图象知， 其周期为 2 ， 在区间(,) 4 2 单调递增， A正确； 作出sin2yx 的图象，由图象知，其周期为 2 ，在区间(,) 4 2 单调递减，排除 B，故选 A 【点睛】利用二级结论：函数( )yf x的周期是函数( )yf x周期的一半；sinyx不是周 期函数； 10.已知 a（0， 2 ） ，2sin2=cos2+1，则 sin= A. 1 5 B. 5 5 C. 3 3 D. 2 5 5 【答案】B 【解析】 【分
7、析】 利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为 1 关系得出答案 详解】2sin2cos21， 2 4sincos2cos.0,cos0 2 sin0,2sincos ，又 22 sincos1， 22 1 5sin1,sin 5 ，又sin0， 5 sin 5 ，故选 B 【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负， 运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很 关键，切记不能凭感觉 11.设 F 为双曲线 C： 22 22 1 xy ab （a0，b0）的右焦点，O 为坐标原点，
8、以 OF为直径的圆与圆 x2+y2=a2 交于 P、Q两点若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为 A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】 准确画图，由图形对称性得出 P 点坐标，代入圆的方程得到 c 与 a 关系，可求双曲线的离心率 【详解】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQx轴， 又|PQOFc，|, 2 c PAPA为以OF为直径的圆的半径， A为圆心| 2 c OA , 2 2 c c P ，又P点在圆 222 xya上， 22 2 44 cc a，即 22 22 2 ,2 2 cc ae a 2e ，故选 A 【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难
9、度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避 免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练 习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来 12.设函数 ( )f x的定义域为 R，满足(1)2 ( )f xf x ，且当(0,1x时，( )(1)f xx x.若对任意 (,xm ，都有 8 ( ) 9 f x ，则 m 的取值范围是 A. 9 , 4 B. 7 , 3 C. 5 , 2 D. 8 , 3 【答案】B 【解析】 【分析】 本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置， 精准运算得到
10、解决 【详解】(0,1x时，( )= (1)f xx x，( +1)= ( )f x2 f x，( )2 (1)f xf x，即 ( )f x右移 1个单位， 图像变为原来的 2倍 如图所示：当23x时，( )=4 (2)=4(2)(3)f xf xxx，令 8 4(2)(3) 9 xx ，整理得： 2 945560xx， 12 78 (37)(38)0, 33 xxxx（舍） ，(,xm 时， 8 ( ) 9 f x 成 立，即 7 3 m ， 7 , 3 m ，故选 B 【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到 2 倍，导致题目 出错，需加深对抽象函数表达
11、式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13.我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估 计值为_. 【答案】098. 【解析】 【分析】 本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题 【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为10 0.9720 0.98 10 0.9939.
12、2，其中高铁个 数为 10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为 39.2 0.98 40 【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养侧重统计数据的概率估算，难度不大易 忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值 14.已知 ( )f x是奇函数，且当0x 时，( )eaxf x .若(ln2)8f，则a _. 【答案】-3 【解析】 【分析】 当0x 时0x ，( )() ax f xfxe 代入条件即可得解. 【详解】因为 ( )f x是奇函数，且当 0x 时0x ，( )() ax f xfxe 又因为ln2(0
13、,1)，(ln2)8f， 所以 ln2 8 a e ，两边取以e为底的对数得ln23ln2a，所以3a ，即3a 【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算渗透了数学运算、直观想象素养使用转化思想得出答 案 15.VABC的内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c.若 6,2 , 3 bac B， 则VABC的面积为_. 【答案】6 3 【解析】 【分析】 本题首先应用余弦定理，建立关于c的方程，应用 , a c的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题 目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查 【详解】由余弦定理得 222 2cosbacacB
14、 ， 所以 222 1 (2 )2 26 2 ccc c ， 即 2 12c 解得2 3,2 3cc （舍去） 所以24 3ac， 113 sin4 32 36 3. 222 ABC SacB 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误解答此类问 题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算 16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南 北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体” （图 1） .半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成 的多面体.半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为 4
15、8 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个 正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1则该半正多面体共有_个面，其棱长为_ 【答案】 (1). 共 26 个面. (2). 棱长为 21 . 【解析】 【分析】 第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决 【详解】由图可知第一层与第三层各有 9 个面，计 18 个面，第二层共有 8 个面，所以该半正多面体共有 18 826 个面 如图， 设该半正多面体的棱长为x， 则A B B E x， 延长BC与FE交于点G， 延长BC交正方体棱于H， 由半正多面体对称性可知，BGE为等腰直角三角形， 22 ,2( 21)1
16、 22 BGGECHxGHxxx， 1 21 21 x ，即该半正多面体棱长为 21 【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单， 稳中求胜是关键立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 2222、2323 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60
17、60 分。分。 17. 如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1. （1）证明：BE平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，求二面角 BECC1的正弦值. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 3 2 【解析】 【分析】 （1）利用长方体的性质，可以知道 11 BC 侧面 11 AB BA，利用线面垂直的性质可以证明出 11 BCEB， 这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出BE 平面 11 EBC； （2）以点B坐标原点，以 1 ,BC BA BB分别为 , ,x y z轴，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为 a， 1
18、 B Bb，求出相应点的坐标，利用 1 BEEC，可以求出, a b之间的关系，分别求出平面EBC、平 面 1 ECC的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角 1 BECC的余弦值的绝对值，最后利用同角 的三角函数关系，求出二面角 1 BECC的正弦值. 【详解】证明（1）因为 1111 ABCDABC D是长方体，所以 11 BC 侧面 11 AB BA，而BE 平面 11 AB BA， 所以 11 BEBC 又 1 BEEC， 1111 BCECC， 111 ,BC EC 平面 11 EBC，因此BE 平面 11 EBC； （2）以点B坐标原点，以 1 ,BC BA BB分别为 , ,
19、x y z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 1 (0,0,0),( ,0,0),( ,0, ),(0, , ) 2 b BC aC ab Ea， 因为 1 BEEC，所以 2 2 1 0(0, , ) ( , )002 224 bbb BE ECaaaaba， 所以(0, , )Ea a， 1 ( ,),(0,0,2 ),(0, , )ECaaa CCa BEa a， 设 111 ( ,)mx y z是平面BEC的法向量， 所以 11 111 0,0, (0,1, 1) 0.0. ayazm BE m axayazm EC ， 设 222 (,)nxy z是平面 1 ECC的法向量， 所以
20、 2 1 222 20,0, (1,1,0) 0.0. azn CC n axayazn EC ， 二面角 1 BECC余弦值的绝对值为 11 222 m n mn ， 所以二面角 1 BECC的正弦值为 2 13 1 ( ) 22 . 【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以 及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力. 18. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得 1分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发球权，先多得 2分的一方获 胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分 的概率为 0
21、.4，各球的结果相互独立.在某局双方 10:10 平后，甲先发球，两人又打了 X个球该局比赛结 束. （1）求 P（X=2） ； （2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率. 【答案】 （1）0.5； （2）0.1 【解析】 【分析】 (1)本题首先可以通过题意推导出2P X 所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每 种事件的概率并求和即可得出结果； (2)本题首先可以通过题意推导出 () 4P X =所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”， 然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果。 【详解】(1)由题意可知，2P X 所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球” 所
22、以 () 20.5 0.4 0.5 0.60.5P X =? (2)由题意可知， () 4P X =包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分” 所以 () 40.5 0.6 0.5 0.4+0.5 0.4 0.5 0.40.1P X =创创创= 【点睛】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出2P X 以及 () 4P X =所包含的事件是解决 本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题。 19. 已知数列an和bn满足 a1=1，b1=0， 1 434 nnn aab ， 1 434 nnn bba . （1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等
23、差数列； （2）求an和bn的通项公式. 【答案】 （1）见解析； （2） 11 2 2n n an=+ - ， 11 2 2n n bn=-+ 。 【解析】 【分析】 (1)可通过题意中的 1 434 nnn aab 以及 1 434 nnn bba 对两式进行相加和相减即可推导出数列 nn ab是等比数列以及数列 nn ab是等差数列； (2)可通过(1)中的结果推导出数列 nn ab以及数列 nn ab的通项公式，然后利用数列 nn ab以及数 列 nn ab的通项公式即可得出结果。 详解】(1)由题意可知 1 434 nnn aab ， 1 434 nnn bba ， 11 1ab+=
24、， 11 1ab， 所以 11 44323442 nnnnnnnn ababbaab + =+=-+-，即 () 1 112nnnn abab + +=， 所以数列 nn ab是首项为1、公比为 1 2 的等比数列， ( ) 1 1 2 n nn ab - +=， 因为 ()11 443434448 nnnnnnnn ababbaab + -=+ -=-+-， 所以 11 2 nnnn abab + =-+-，数列 nn ab是首项1、公差为2的等差数列，21 nn abn-=-。 (2)由(1)可知， ( ) 1 1 2 n nn ab - +=，21 nn abn-=-， 所以 () 11
25、1 22 2n nnnnn aababn=+-=+ - ， () 111 22 2n nnnnn bababn 轾 =+-=-+ 臌 。 【点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数 列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档 题。 20. 已知函数 1 1 ln x f xx x . （1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点； （2）设 x0是 f(x)的一个零点，证明曲线 y=ln x 在点 A(x0，ln x0)处的切线也是曲线 exy 的切线. 【答案】 （1）函数
26、( )f x在(0,1)和(1,)上是单调增函数，证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）对函数 ( )f x求导，结合定义域，判断函数的单调性； （2）先求出曲线 lnyx 在 00 A(,ln)xx处的切线l，然后求出当曲线 x ye切线的斜率与l斜率相等时，证 明曲线 x ye切线 l在纵轴上的截距与l在纵轴的截距相等即可. 【详解】 （1）函数 ( )f x的定义域为(0,1)(1,)， 2 2 11 ( )ln( ) 1(1) xx f xxfx xx x ，因为函数 ( )f x的定义域为(0,1)(1,)，所以( )0fx ，因 此函数 ( )f x在(0,1
27、)和(1,)上是单调增函数； 当(0,1)x，时，0,xy，而 1 1 112 ( )ln0 1 1 1 e f eee e ，显然当(0,1)x，函数 ( )f x有零 点，而函数 ( )f x在(0,1)x 上单调递增，故当(0,1)x时，函数 ( )f x有唯一的零点； 当(1,)x时， 22 22 22 1213 ( )ln0,()ln0 1111 eee f eef ee eeee ， 因为 2 ( )()0f ef e，所以函数 ( )f x在 2 ( ,)e e必有一零点，而函数 ( )f x在(1,)上是单调递增，故当 (1,)x时，函数( )f x有唯一的零点 综上所述，函数
28、 ( )f x的定义域(0,1)(1,)内有 2 个零点； （2）因为 0 x是( )f x的一个零点，所以 00 000 00 11 ()ln0ln 11 xx f xxx xx 1 lnyxy x ，所以曲线 lnyx 在 00 A(,ln)xx处的切线l的斜率 0 1 k x ，故曲线 lnyx 在 00 A(,ln)xx处的切线l的方程为： 00 0 1 ln()yxxx x 而 0 0 0 1 ln 1 x x x ， 所以l的方程为 00 2 1 x y xx ， 它在纵轴的截距为 0 2 1x . 设曲线 x ye的切点为 1 1 ( ,) x B x e，过切点为 1 1 (
29、,) x B x e切线 l， xx yeye，所以在 1 1 ( ,) x B x e处的切 线 l的斜率为 1 x e，因此切线 l的方程为 11 1 (1) xx ye xex， 当切线 l的斜率 1 1 x ke等于直线l的斜率 0 1 k x 时，即 1 10 0 1 (ln) x exx x ， 切线 l在纵轴的截距为 01 ln 1100 0 1 (1)(1 ln)(1 ln) xx bexexx x ，而 0 0 0 1 ln 1 x x x ，所以 0 1 000 112 (1) 11 x b xxx ，直线 , l l的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线 , l l重
30、合，故曲线 lnyx 在 00 A(,ln)xx处的切线也是曲线 x ye的切线. 【点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力. 21. 已知点 A(2,0)，B(2,0)，动点 M(x,y)满足直线 AM与 BM 的斜率之积为 1 2 .记 M 的轨迹为曲线 C. （1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交 C 于 P，Q两点，点 P在第一象限，PEx 轴，垂足为 E，连结 QE并延 长交 C于点 G. （i）证明：PQG是直角三角形； （ii）求PQG面积的最大值. 【答案】 （1）详见解析（2）详见解析 【解析】
31、【分析】 （1）分别求出直线AM与BM的斜率，由已知直线AM与BM的斜率之积为 1 2 ，可以得到等式，化简可 以求出曲线C的方程，注意直线AM与BM有斜率的条件； （2） （i）设出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，求出P，Q两点的坐标，进而求出点E的坐标，求出直 线QE的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出G的坐标，再求出直线PG的斜率，计算 PQPG kk 的值，就可以证明出PQG是直角三角形； （ii）由（i）可知,P Q G三点坐标，PQG是直角三角形，求出,PQ PG的长，利用面积公式求出PQG 的面积，利用导数求出面积的最大值. 【详解】 （1）直线AM斜率为(2) 2 y
32、x x ，直线BM的斜率为(2) 2 y x x ，由题意可知： 22 1 24,(2) 222 yy xyx xx ，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，不包括左 右两顶点的椭圆，其方程为 22 1,2 42 xy x ； （2） （i）设直线PQ的方程为ykx,由题意可知0k ,直线PQ的方程与椭圆方程 22 24xy联立,即 2 22 2 2 , , 21 24.2 . 21 x ykx k xyk y k 或 2 2 2 , 21 2 . 21 x k k y k ,点P在第一象限，所以 2222 2222 (,),(,) 21212121 kk PQ kkkk ，因此点E的坐
33、标为 2 2 (,0) 21k 直线QE的斜率为 2 QE k k，可得直线QE方程： 2 2 21 kk yx k ，与椭圆方程联立， 2 22 , 2 21 24. kk yx k xy ，消去y得， 22 22 2 2 4128 (2)0 21 21 k xk kx k k （*） ，设点 11 ( ,)G x y，显然Q点 的横坐标 2 2 21k 和 1 x是方程（*）的解 所以有 2 2 2 11 2 222 128 264 21 2 21(2) 21 k k k xx k kkk ，代入直线QE方程中，得 3 1 22 2 (2) 21 k y kk ，所以点G的坐标为 23 2
34、222 642 (,) (2) 21 (2) 21 kk kkkk ， 直线PG的斜率为; 3 32222 222 222 22 22 (2)1(2) 2121 642642(2) (2) 2121 PG kk kk kkkk k kkkk kkk , 因为 1 ()1, PQPG kkk k 所以PQPG，因此PQG是直角三角形； （ii）由（i）可知： 2222 2222 (,),(,) 21212121 kk PQ kkkk ， G的坐标为 23 2222 642 (,) (2) 21 (2) 21 kk kkkk ， 2 22 22222 22224 1 ()() 2121212121
35、 kkk PQ kkkkk ， 232 22 22222222 6422241 ()() (2) 2121(2) 2121(2) 21 kkkk k PG kkkkkkkk , 223 42 222 1414 18() 2252 (2) 2121 PQG k kkkk S kk kkk 42 422 8(1)(1)(232) (252) kkkk S kk ,因为0k ， 所以当0 1k时， 0S ， 函数 ( )S k单调递增， 当1k 时， 0S ，函数 ( )S k单调递减，因此当1k 时，函数( )S k有最大值，最大值为 16 (1) 9 S. 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以
36、及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面 积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了利用导数求函数最大值问题. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中， O为极点， 点 000 (,)(0)M 在曲线:4sinC上， 直线 l过点(4,0)A且与OM 垂直，垂足为 P. （1）当 0= 3 时，求 0 及 l的极坐标方程； （2）当 M在 C上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P点轨迹的极坐标方程. 【答案】 （1） 0 2 3，l的极坐标方程为sin()2 6 ； （2）4cos () 42 【解析】 【分析】 （1）先由题意，将 0= 3 代入4sin即可求出 0
37、 ；根据题意求出直线l的直角坐标方程，再化为极坐 标方程即可； （2）先由题意得到 P点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围. 【详解】 （1）因为点 000 (,)(0)M 在曲线:4sinC上， 所以 00 4sin4sin2 3 3 ； 即(2 3,) 3 M ，所以tan3 3 OM k ， 因为直线 l过点 (4,0)A 且与OM垂直， 所以直线l的直角坐标方程为 3 (4) 3 yx ，即340xy+； 因此，其极坐标方程为cos3 sin4，即 l的极坐标方程为sin()2 6 ； （2）设( , )P x y，则 OP y k x ， 4 AP y k
38、 x ， 由题意，OPAP，所以1 OPAP k k ，故 2 2 1 4 y xx ，整理得 22 40xyx， 因为 P在线段 OM上，M在 C 上运动，所以02,24xy， 所以，P点轨迹的极坐标方程为 2 4 cos0，即4cos () 42 . 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知( ) |2|().f xxa xxxa （1）当1a 时，求不等式( )0f x 的解集； （2）若(,1)x 时，( )0f x ，求a的取值范围. 【答案】 （1）(,1)； （2）1,) 【解析】 【分析】 （1）根据
39、1a ，将原不等式化为|1|2|(1)0xxxx，分别讨论1x ，12x，2x 三种情 况，即可求出结果； （2）分别讨论1a和1a 两种情况，即可得出结果. 【详解】 （1）当1a 时，原不等式可化为|1|2|(1)0xxxx； 当1x 时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x xx x，即 2 (10)x，显然成立， 此时解集为(,1)； 当12x时，原不等式可化为(1)(2)(1)0xxx x，解得1x ，此时解集为空集； 当2x 时，原不等式可化(1)(2)(1)0xxxx，即 2 (10)x，显然不成立；此时解集为空集； 综上，原不等式的解集为(,1)； （2）当1a时，因为(,1)x ，所以由( )0f x 可得()(2)()0ax xx xa， 即()(1)0xa x，显然恒成立；所以1a满足题意； 当1a 时， 2(),1 ( ) 2()(1), xa ax f x xax xa ，因为1ax时， ( )0f x 显然不能成立，所以1a 不满 足题意； 综上，a的取值范围是1,). 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.
