1、二轮大题专练二轮大题专练 10数列（讨论奇偶）数列（讨论奇偶） 1数列数列 n a 中，中， 1 1a ， ， 2 3 2 a ，前，前n项和项和 n S满足 满足 2* 1 2 () nn SSnn nN （1）证明：）证明： 2 n a 为等差数列；为等差数列； （2）求）求 101 S 解：（1）证明： 2* 1 1 2() 2 nn SSnnnN 2* 1 1 (1)2(1)( 2 nn SSnnnN ，2)n ： * 1 21( nn aannN ， 2)n * 21 23() nn aannN ： * 2 2( nn aanN ， 2)n * 22(1) 2( nn aanN ，
2、2)n 2 n a 是以 3 2 首项，2 为公差的等差数列， （2）解：由（1）得 2 n a 是以 3 2 首项，2 为公差的等差数列， 同理可得 21 n a 是以 3 a为首项，2 为公差的等差数列， 又 3 37 221 22 a ， 前 101 项的偶数项和为 35049 5022525 22 S 偶 ， 前 101 项的奇数项和为 1 75049 5022626 22 Sa 奇 ， 101 5151SSS 偶奇 2已知等差数列已知等差数列 n a 的前的前n项和为项和为 n S， ， 42 4SS ， * 2 21() nn aanN （）求（）求 n a 的通项公式；的通项公式
3、； （）设数列（）设数列 n b 满足满足 * 12 3(21)() n bbnbn nN，记数列，记数列 1 4 ( 1)n n n n b a 的前的前n项和项和 为为 n T，求 ，求 n T 解：（）设等差数列 n a 的公差为d，由 42 4SS ， 可得 11 464(2)adad ，即 1 2ad 记为 又因为 * 2 21() nn aanN， 取1n ，所以 21 21aa，即 1 1ad 记为， 由可得 1 1a ，2d 故 n a 的通项公式为 21 n an （）由 12 3(21) n bbnbn ， 可得 1 1b 且 121 3(23)1(2) n bbnbnn
4、上述两式作差可得 1 (2) 21 n bn n ， 由 1 1b 可知 * 1 () 21 n bnN n 所以 1 4411 ( 1)( 1)( 1) () (21)(21)2121 nnnn n n bn annnn 当n为偶数时 111111111 (1)()()()() 3355723212121 n T nnnn ， 12 1 2121 n n T nn 当n为奇数时， 1111111 (1)()()() 335572121 n T nn 122 1 2121 n n T nn 故 2 21 22 21 n n n n T n n n 为偶数 为奇数 3已知数列已知数列 n a 满
5、足：满足： 1 (1)(2)(1)(2)(*) nn nanannnN ，且，且 1 4a （1）求）求 2 a、 、 3 a的值，并证明数列 的值，并证明数列 1 n a n 为等差数列；为等差数列； （2）令）令 1 1234 ( 1)n nn Saaaaa ，求，求 n S 解：（1）证明：依题意，由递推公式， 可得当1n 时， 21 2323aa， 即 2 2126a ，解得 2 9a ， 当2n 时， 32 3434aa ，即 3 33612a ，解得 3 16a ， 由 1 (1)(2)(1)(2) nn nanann ，两边同时乘以 1 (1)(2)nn ， 可得 1 1 21
6、nn aa nn ， 1 4 2 22 a ，数列 1 n a n 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列， （2）解：由（1），可得 21 (1)1 1 n a nn n ， 2 (1) n an，*nN， 当n为偶数时， 1 1234 ( 1)n nn Saaaaa 12341nn aaaaaa 222222 2345(1) nn (23) (23)(45) (45)(1) (1)nnnn 2345(1)nn (21) 2 nn 2 13 22 nn ， 当n为奇数时， 1 1234 ( 1)n nn Saaaaa 123421nnn aaaaaaa 2222222 2345(1)(1)n
7、nn 2 (23) (23)(45) (45)(1) (1)(1)nnnnn 2 2345(1)(1)nnn 2 (1)(2) (1) 2 nn n 2 13 2 22 nn， 2 2 13 2, 22 13 , 22 n nnn S nn n 为奇数 为偶数 4已知首项为已知首项为 3 2 的等比数列的等比数列 n a 不是递减数列，其前不是递减数列，其前n项和为项和为 * () n S nN，且，且 33 Sa ， 55 Sa ， 44 Sa 成等差数列成等差数列 （）求数列（）求数列 n a 的通项公式；的通项公式； （）设（）设 * 1 () nn n TSnN S ，求数列，求数列
8、n T 的最大项的值与最小项的值的最大项的值与最小项的值 解：（）设等比数列的公比为q， 33 Sa ， 55 Sa， 44 Sa成等差数列 55334455 ()()SaSaSaSa 即 53 4aa ，故 25 3 1 4 a q a 又数列 n a 不是递减数列，且等比数列的首项为 3 2 1 2 q 数列 n a 的通项公式 11 313 ()( 1) 222 nn n n a （）由（）得 1 1, 1 2 1() 12 1, 2 n n n n n S n 为奇数 为偶数 当n为奇数时， n S随n的增大而减小，所以 1 3 1 2 n SS 故1 1 11325 0 236 n
9、n SS SS 当n为偶数时， n S随n的增大而增大，所以 2 3 1 4 n SS 故2 2 11347 0 4312 n n SS SS 综上，对于 * nN，总有 715 126 n n S S 剟 故数列 n T 的最大项的值为 5 6 ，最小项的值为 7 12 5已知等差数列已知等差数列 n a 的公差为的公差为 2，其前，其前n项和项和 2* 2 ( n Spnn nN， )pR （1）求）求p的值及的值及 n a 的通项公式；的通项公式； （2）在等比数列）在等比数列 n b 中，中， 21 ba ， 32 4ba ，令，令 * (21)( ) (2 ) n n n ank c
10、kN bnk ，求数列，求数列 n 的前的前n项和项和 n T 解：（1）根据题意，等差数列 n a 中 2 2 n Spnn， 当2n时，有 22 1 2 (1)2(1)22 nnn aSSpnnp nnpnp ， 则 1 2 (1)2 n ap np ， 1 22 nn aap ， 1p ， 3(1)221 n ann， （2） 21 3ba ， 32 49ba ， 3q ， 221 2 3 33 nnn n bb q ， 当2nk， * kN时， 21 12342121321242 ()()(3741)(3273) k nkkkk Tabababaaabbbk (341)3(1 9 )3
11、(91)(1)3(31) (21) 21 9828 kkn kkn n kk ； 当21nk， * kN时， 1n 是偶数， 1 11 (1)(2)3(31)(1)(2)33 3 2828 nn n nnn nnnn TTb ， * * (1)3(31) ;2 , 28 (1)(2)33; 21, 28 n n n n n nk kN T nn nkkN 6在在 5 35S ， 13 310aa ， 11 3 n ana 这三个条件中任选一个，补充在下面问题这三个条件中任选一个，补充在下面问题 中并作答中并作答 已知已知 n a 是各项均为正数的等差数列，其前是各项均为正数的等差数列，其前n项
12、和为项和为 n S， ，_，且，且 1 a， ， 4 1 2 a， 9 a成等比数 成等比数 列列 （1）求数列）求数列 n a 的通项公式；的通项公式； （2）设）设( 1)n nn ba ，求数列，求数列 n b 的前的前n项和项和 n T 解：（1）由题意，设正项等差数列 n a 的公差为 (0)d d ，则 41 3aad ， 91 8aad ， 1 a， 4 1 2 a， 9 a成等比数列， 2 419 1 () 2 aa a ，即 2 111 1 (3 )(8 ) 4 ada ad ， 化简，得 22 11 32690aadd， 即 11 (3)(9 )0adad ， 数列 n a
13、 是各项均为正数的等差数列， 1 90ad ，即 1 30ad ， 方案一：选条件 51 54 535 2 Sad ，即 1 27ad ， 联立 1 1 27 30 ad ad ，解得 1 1 3 a d ， 13(1)32 n ann ，*nN， 方案二：选条件 131 34210aaad ，即 1 25ad ， 联立 1 1 25 30 ad ad ，解得 1 1 3 a d ， 13(1)32 n ann ，*nN， 方案三：选条件 111 3 n aandna ，化简整理，得( 3)0dn ， *nN，30d，即3d ， 1 30ad ， 1 1a， 13(1)32 n ann ，*n
14、N， （2）由题意及（1），可得 ( ) i当n为偶数时，1n 为奇数， 12nn Tbbb 12321nnn aaaaaa 21431 ()()() nn aaaaaa 2 n d 3 2 n ， ( )ii当n为奇数时，1n 为偶数， 12nn Tbbb 12321nnn aaaaaa 214312 ()()() nnn aaaaaaa 1 (32) 2 n dn 31 22 n ， 31 , 22 3 , 2 n nn T n n 为奇数 为偶数 7已知等差数列已知等差数列 n a 的前的前n项和为项和为 n S，数列 ，数列 n b 是等比数列，满足是等比数列，满足 1 3a ， 1
15、1b ， 22 10bS ， 523 2aba （）求数列（）求数列 n a 和和 n b 通项公式；通项公式； （）令（）令 2 , , n n n n S c bn 为奇数 为偶数 ，设数列，设数列 n c 的前的前n项和项和 n T，求 ，求 n T 解：（）设数列 n a 的公差为d，数列 n b 的公比为q， 则由 1 3a ， 1 1b ， 22 10bS ， 523 2aba ， 得 1 3310 4232 qd adqd ，解得2d ， 2q ，（4 分） 21 n an， 1 2n n b （6 分） （）解：由（）可得， (2) n Sn n ， 则 1 2 , 2 2,
16、n n n n nc n 为奇数 为偶数 ，即 1 11 , 2 2, n n n cnn n 为奇数 为偶数 ，（7 分） 当n为奇数时， 352 11111 (1)(2222) 3352 n n T nn 1 2 12(14)211 1 21432 n n nn ，（10 分） 当n为偶数时， 31 11111 (1)(222) 3352 n n T nn 2 12(14 ) 1 114 n n 1 211 31 n n （13 分） 8已知已知 n a 为等差数列，为等差数列， n b 为等比数列，为等比数列， 11 1ab， ， 543 5()aaa ， 543 4()bbb （）求（
17、）求 n a 和和 n b 的通项公式；的通项公式； （）记（）记 n a 的前的前n项和为项和为 n S，求证： ，求证： 2 21( *) nnn S SSnN ； （）对任意的正整数（）对任意的正整数n，设，设 2 1 1 32 , , nn nn n n n ab n a a c a n b 为奇数 为偶数 求数列求数列 n c 的前的前2n项和项和 解：（）设等差数列 n a 的公差为d，等比数列 n b 的公比为q， 由 1 1a ， 543 5()aaa ，则145dd，可得1d ， 11 n ann ， 1 1b ， 543 4()bbb ， 432 4()qqq， 解得 2q
18、 ， 1 2n n b ； （）证明：法一：由（）可得 (1) 2 n n n S ， 2 1 (1)(2)(3) 4 nn S Sn nnn ， 222 1 1 ()(1) (2) 4 n Snn ， 2 21 1 (1)(2)0 2 nnn S SSnn ， 2 21( *) nnn S SSnN ； 法二：数列 n a 为等差数列，且 n an ， (1) 2 n n n S ， 2 (2)(3) 2 n nn S ， 1 (1)(2) 2 n nn S ， 2 2 22 1 (3)3 1 (1)(2)32 nn n S Sn nnn Snnnn ， 2 21( *) nnn S SSn
19、N ； （），当n为奇数时， 111 2 (32)(32)222 (2)2 nnn nn n nn abn c a an nnn ， 当n为偶数时， 1 1 1 2 n n n n an c b ， 对任意的正整数n，有 2222 21 11 222 ()1 212121 n nn c n kk k kk kk ， 和 2 23 11 2113521 44444 nn n n c k k kk k ， 由 1 4 可得 2 231 1 1132321 44444 n nn nn c k k ， 得 2 231 1 3122221 444444 n nn n c k k ， 2 1 565 994 n n n c k k ， 因此 2 2212 111 4654 21949 n nnn n n ccc n kkk kkk 数列 n c 的前2n项和 4654 21949 n n n n
