1、 考纲展示 考情汇总 备考指导 (1)正弦定理和余弦定 理 掌握正弦定理、余弦定 理，并能解决一些简单 的三角形度量问题. 2017 年 1 月 T20 2018 年 1 月 T11 2019 年 1 月 T20 2020 年 1 月 T15 本章的重点是正弦定理、余弦定理及其在 解三角形中的应用，难点是综合应用正、 余弦定理解三角形，学习本章时，要注意 把三角恒等变换与正、 余弦定理结合起来， 同时注意应用三角形的性质解决问题. 本章的重点是正弦定理、余弦定理及其在 解三角形中的应用，难点是综合应用正、 余弦定理解三角形，学习本章时，要注意 把三角恒等变换与正、 余弦定理结合起来， 同时注意
2、应用三角形的性质解决问题. (2)应用 能够运用正弦定理、余 弦定理等知识和方法解 决一些与测量和几何计 算有关的实际问题. 本章的重点是正弦定理、余弦定理及其在 解三角形中的应用，难点是综合应用正、 余弦定理解三角形，学习本章时，要注意 把三角恒等变换与正、 余弦定理结合起来， 同时注意应用三角形的性质解决问题. 本章的重点是正弦定理、余弦定理及其在 解三角形中的应用，难点是综合应用正、 余弦定理解三角形，学习本章时，要注意 把三角恒等变换与正、 余弦定理结合起来， 同时注意应用三角形的性质解决问题. 正弦定理的应用 基础知识填充 正弦定理及其变式 (1)正弦定理： a sin A b si
3、n B c sin C2R.(R 为ABC 外接圆半径) (2)正弦定理的变式：sin Asin Bsin Cabc. 最新模拟快练 1(2019 珠海市学考模拟)在ABC 中，BCa5，ACb3，则 sin Asin B 的值是( ) A5 3 B3 5 C3 7 D5 7 A sin A sin B a b 5 3. 2 (2019 肇庆高一月考)在ABC 中， 若 a2， b2 3， A30 ， 则 B 为( ) A60 B60 或 120 C30 D30 或 150 B 由正弦定理可知 a sin A b sin B，sin B bsin A a 2 31 2 2 3 2 ，B(0 ，
4、 180 )，B60 或 120 . 3(2019 江门市学考模拟)在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c，已知 a 2，b 3，B60 ，那么 A 等于( ) A135 B90 C45 D30 C 由 a sin A b sin B得 sin A asin B b 2 3 2 3 2 2 ，0 A180 ，A45 或 135 . 又ab，AB，A45 . 4(2018 肇庆市高二检测)在ABC 中，a5，b3，则sin A sin B的值是( ) A5 3 B3 5 C3 7 D5 7 A 由正弦定理得sin A sin B a b 5 3. 5(2018 深圳市高二
5、月考)已知ABC 的三边分别为 a，b，c，满足 acos A bcos B，则此三角形的形状是( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等腰或直角三角形 D等腰直角三角形 C 因为 acos Abcos B，所以由正弦定理得： sin Acos Asin Bcos B，即 sin 2Asin 2B， 所以 2A2B 或 2A2B，即 AB 或 AB 2，因此选 C 6(2019 广州市学考模拟)在ABC 中，若 BC 5，sin C2sin A，则 AB . 2 5 由正弦定理得：ABsin C sin ABC2BC2 5. 余弦定理的应用 基础知识填充 1余弦定理及推论 (1)余弦定理： a2
6、b2c22bccos A， b2a2c22accos B， c2a2b22abcos C (2)推论：cos Ab 2c2a2 2bc ，cos Ba 2c2b2 2ac ，cos Ca 2b2c2 2ab . 特别关注：转化化归思想的应用(即边化角及角化边) 2三角形的面积公式 S1 2absin C 1 2acsin B 1 2bcsin A 学考真题对练 1(2018 1 月广东学考)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a 3，b2，c 13，则 C( ) A5 6 B 6 C2 3 D 3 A 由余弦定理，得 cos Ca 2b2c2 2ab 3 222 132
7、 2 32 3 2 ，又 0C，C5 6 ，故选 A 2(2020 1 月广东学考)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 A 4，b4，且ABC 的面积为 2，则 a( ) A2 3 B 10 C2 2 D 6 B 由 SABC1 2bcsinA 2c2， 得 c 2， a216224 2cos 418810， 故 a 10，故选 B 正、余弦定理的应用原则 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理； 如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明 显时，则要考虑两个定理都有可能用到 (2)三角形解的个数的判断：已知两
8、角和一边，该三角形是确定的，其解是唯 一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的 有界性和大边对大角定理进行判断 最新模拟快练 1(2019 韶关市学考模拟)ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 若 a 7，b3，c2，则 A( ) A30 B45 C60 D90 C a 7，b3，c2，由余弦定理得，cos Ab 2c2a2 2bc 947 232 1 2， 又由 A(0 ，180 )，得 A60 . 2(2020 广东学考模拟)在ABC 中，已知 a5，b5 3.C30 ，则角 C 的 对边 c 的长为( ) A5 13 B5 11 C5 7
9、 D5 D a5，b5 3.C30 ， 由余弦定理：c2a2b22abcosC 可得：c2257525 3cos30 225. c5.故选 D 3(2019 中山市学考模拟)在ABC 中，若 AB 13，BC3，C120 ， 则 AC( ) A1 B2 C3 D4 A 在ABC 中，若 AB 13，BC3，C120 ，AB2BC2AC2 2AC BCcos C， 可得：139AC23AC，解得 AC1 或 AC4(舍去) 4 (2019 珠海市学考模拟)在ABC中， (ac)(ac)b(bc)， 则A . 2 3 (ac)(ac)b(bc)，a2c2b2bc，即 a2b2c2bc， 又在ABC
10、 中， 由余弦定理得 a2b2c22bccos A， 由得：cos A1 2，又 A(0，)，A 2 3 . 5(2018 广州市高中二年级学生学业水平模拟测试)已知ABC 中，角 A、B、 C 的对边分别为 a、b、c，且 a2，B135 ，SABC4，则 b . 2 13 由题知，4SABC1 2acsin B 1 22c 2 2 ，解得 c4 2， b2a2c22accos B22(4 2)2224 2 2 2 52，所以 b 2 13. 6(2019 东莞高一月考)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a3，b4，c6，则 bccos Aaccos Babcos
11、C 的值是 61 2 bccos Aaccos Babcos Cb 2c2a2 2 a 2c2b2 2 a2b2c2 2 a2b2c2 2 1 2(3 24262)61 2 . 正余弦定理和三角函数的综合应用 学考真题对练 1(2019 1 月广东学考)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos A3 5，bc5. (1)求ABC 的面积； (2)若 bc6，则 a 的值 解 (1)cos A3 5，sin A 4 5，SABC 1 2bcsin A 1 25 4 52. (2)a2b2c22bccos Ab2c2253 5b 2c26(bc)22bc6 6225620
12、. a2 5. 2(2017 1 月广东学考)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a cos A b cos B. (1)证明：ABC 为等腰三角形； (2)若 a2，c3，求 sin C 的值 解 (1)证明： a cos A b cos B， 由正弦定理得， sin A cos A sin B cos B， 即 tan Atan B， 又A，B(0，)，AB，ABC 为等腰三角形 (2)由(1)知 AB，ab2，根据余弦定理，得 c2a2b22abcos C， 即 322222222cos Ccos C1 8. 又C(0，)，sin C 1cos2C1 1 8 2
13、63 8 . 最新模拟快练 1(2018 广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a2，c5，cos B3 5. (1)求 b 的值； (2)求 sin C 的值 解 (1)b2a2c22accos B4252253 517，b 17. (2)cos B3 5，sin B 4 5，由正弦定理 b sin B c sin C，得 17 4 5 5 sin C，sin C 4 17 17 . 2(2019 惠州市学考模拟) 在ABC 中，若 c cos Bb cos C，且 cos A2 3， 求 sin B 的值 解 由 c cos
14、Bb cos C，结合正弦定理得， sin Ccos Bsin Bcos C， 故 sin(BC)0，0B，0C， BC，BC0，BC，故 bc. cos A2 3，由余弦定理得 3a 22b2， 再由余弦定理得 cos B 6 6 ，又 0 B180 ， 故 sin B 30 6 . 3(2019 揭阳市学考模拟)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b， c，且 acos B3，bsin A4. (1)求边长 a； (2)若ABC 的面积 S10，求ABC 的周长 解 (1)由已知：acos B3，bsin A4，acos B bsin A 3 4，即 a sin A cos
15、 B b 3 4. 由正弦定理知 a sin A b sin B代入式得： b sin B cos B b 3 4，sin B 4 3cosB 由 acos B30 知：B 为锐角 根据 sin2Bcos2B1， 得 4 3cos B 2 cos2B1， cos B3 5，sin B 4 5， a 3 cos B5. (2)设ABC 底边 BC 上的高为 h，则 hcsin B， ABC 面积：S1 2 BC h 1 2 a csin B， 1 2acsin B10，c 210 54 5 5. 根据余弦定理 b2a2c22accos B52522553 520， b2 5，ABC 的周长 labc102 5.
