1、 考纲展示 考情汇总 备考指导 (1)复数的概念 理解复数的基本概念 理解复数相等的充要条 件 了解复数的代数表示法 及其几何意义. 2018 年 1 月 T4 本章的重点是复数的相关 概念与复数的运算，难点 是复数的运算，解决本章 问题时要熟练掌握复数的 相关概念，把复数问题实 数化. (2)复数的四则运算 会进行复数代数形式的 四则运算 了解复数代数形式的 加、减运算的几何意义. 2017 年 1 月 T3 2019 年 1 月 T2 2020 年 1 月 T2 复数的相关概念 基础知识填充 复数的有关概念 (1)定义：形如 abi(a，b 是实数，i 是虚数单位)的数叫作复数，其中 a
2、叫作 实部，b 叫作虚部 (2)分类： 满足条件(a，b 为实数) 复数的分类 abi 为实数b0 abi 为虚数b0 abi 为纯虚数a0 且 b0 (3)复数相等：abicdiac 且 bd(a，b，c，dR) (4)共轭复数：abi 与 cdi 共轭ac，bd(a，b，c，dR) (5)模：向量OZ 的模叫作复数 zabi 的模，记作|z|，即|z| a2b2(a，b R) 学考真题对练 (2018 1 月广东学考)设 i 是虚数单位，x 是实数，若复数 x 1i的虚部是 2，则 x( ) A4 B2 C2 D4 D x 1i x1i 1i1i x 2 x 2i， x 22x4，故选 D
3、 解决复数概念问题的方法及注意事项： (1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的问 题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可 (2)解题时一定要先看复数是不是 abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部 最新模拟快练 1(2018 广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)若复数 z 满足 iz1 2(1 i)，则 z 的共轭复数的虚部是( ) A1 2i B1 2i C1 2 D1 2 C z 1 21i i 1 2i(1i) 1 2 1 2i，共轭复数为 1 2 1 2i，虚部为 1 2.故选 C 2(2019 佛山市学考模拟)设 a，bR
4、， “a0”是“复数 abi 是纯虚数”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 B 因为 a，bR，当“a0”时“复数 abi 不一定是纯虚数，也可能 b 0，即 abi0R”而当“复数 abi 是纯虚数”，则“a0”一定成立所 以 a，bR， “a0”是“复数 abi 是纯虚数”的必要不充分条件 3 (2019 中山市学考模拟)若复数 z 满足 i(z3)13i(其中 i 是虚数单位)， 则 z 的实部为( ) A6 B1 C1 D6 A iz3i13i，iz16i，z6i，故 z 的实部为 6. 4 (2018 广东省普通高中数学学业水平考试
5、模拟题)若纯虚数 z 满足(1i)z1 ai，则实数 a 等于( ) A0 B1 或 1 C1 D1 D (1i)z1aiz1ai 1i 1 2(1a) 1 2(a1)i，z 为纯虚数，有 1a 0 且 a10，则 a1 且 a1，故本题的正确选项为 D 5(2019 珠海高二期末检测)设(1i)x1yi，其中 x，y 是实数，则|xyi| 等于( ) A1 B 2 C 3 D2 B 由(1i)x1yi， 得 xxi1yi， 由复数相等得 x1， xy， 解得 x1， y1. 所以|xyi| x2y2 2，故选 B 6(2018 云浮市高二月考)已知复数 z 满足(1i)z2i，且 zai(a
6、R)为实数， 则 a( ) A1 B2 C1 D2 C 由(1i)z2i，解得 z1i，故 zai1(a1)i 为实数时，a 1. 7(2018 肇庆市高二月考)设(12i)xxyi，其中 x，y 是实数，则 y xi ( ) A1 B 2 C 3 D 5 D 法一：由(12i)xxyi 可得 x2xixyi，所以 y2x，即y x2， 所以 y xi |2i| 2 21 5. 法二：由(12i)xxyi 可知 12i1y xi， 所以y x2， 所以 y xi |2i| 2 21 5. 8(2019 深圳高二期中检测)设 mR，m2m2(m21)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m .
7、 2 由 m2m20， m210 即 m2. 9(2019 潮州高二月考)已知 aR，i 为虚数单位，若ai 2i为实数，则 a 的值 为 2 aR，ai 2i ai2i 2i2i 2a1a2i 5 2a1 5 a2 5 i 为实数， a2 5 0，a2. 10(2019 广州市学考模拟)如果复数2bi 12i(其中 i 为虚数单位，b 为实数)的实 部和虚部互为相反数，则 b . 2 3 由 2bi 12i 2bi12i 5 22bb4i 5 ，得 22bb4，得 b2 3. 复数的运算 基础知识填充 复数的运算 (1)运算法则：设 z1abi，z2cdi，a，b，c，dR (2)几何意义：
8、复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行 如图所示给出的平行四边形 OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意 义，即OZ OZ 1OZ 2，Z1Z2 OZ 2OZ 1. 学考真题对练 1(2019 1 月广东学考)设 i 为虚数单位，则复数 i(3i)( ) A13i B13i C13i D13i B i(3i)3ii23i1. 2(2020 1 月广东学考)复数(1i)i( ) A1i B1i C1i D1i A 复数(1i)iii21i，故选 A 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略： (1)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项
9、，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可 (2)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注 意把 i 的幂写成最简形式 (3)复数的运算与复数概念的综合题， 先利用复数的运算法则化简， 一般化为 a bi(a，bR)的形式，再结合相关定义解答 (4)复数的运算与复数几何意义的综合题先利用复数的运算法则化简，一般 化为 abi(a，bR)的形式，再结合复数的几何意义解答 (5)复数的综合运算分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算 顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算拓号里面的 最新模拟快练 1(2019梅州高二期中检测)设复数 z1，z2在复平面内的对应点关
10、于虚轴对 称，z12i，则 z1z2等于( ) A5 B5 C4i D4i A z12i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)， 又 z1与 z2在复平面内的对应点关于虚轴对称， 则 z2的对应点的坐标为(2,1)， 即 z22i，z1z2(2i)(2i)i245. 2(2020 广东学考模拟)复数 z2i i 的共轭复数是( ) A12i B12i C2i D2i A 由 z2i i i 2i i2 12i， 得复数 z2i i 的共轭复数是：12i故选 A 3(2018 广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)设复数 z1，z2在复平面内 的对应点关于实轴对称，z11i，则 z1z2( )
11、A2 B2 C1i D1i B 由题意，得 z11i，z21i，则 z1z2(1i)(1i)2；故选 B 4(2018 茂名市学考模拟)设复数 z 1 1ii(i 为虚数单位)，则|z|( ) A1 2 B 3 2 C 10 2 D2 C z 1 1ii 1i 1i1i i1 2 1 2ii 1 2 3 2i， 故|z| 1 4 9 4 10 2 . 5(2019 东莞市学考模拟)3i 1i等于( ) A12i B12i C2i D2i D 3i 1i 3i1i 1i1i 33ii1 2 2i. 6(2019 中山市学考模拟)若 z12i，则 4i z z 1等于( ) A1 B1 Ci Di
12、 C z12i，z z 5， 4i z z 1i. 7(2019 广州市学考模拟)若复数 z 满足 2z z 32i，其中 i 为虚数单位， 则 z 等于( ) A12i B12i C12i D12i B 设 zabi(a，bR)，则 z abi，2(abi)(abi)32i， 整理得 3abi32i， 3a3， b2， 解得 a1， b2， z12i. 8(2018 东莞市高二月考)复数22i 1i . 2i 22i 1i 21i 2 1i1i 2i. 复数的几何意义 基础知识填充 复数的几何意义 复数 zabi 与复平面内的点 Z(a，b)及平面向量OZ (a，b)(a，bR)是一 一对应
13、关系 最新模拟快练 1(2018 深圳市高二月考)实部为2，虚部为 1 的复数所对应的点位于复平 面的( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 B 由条件知复数在复平面内对应的点为(2,1)，位于第二象限 2(2019 惠州高二期末检测)设 z134i，z223i，则 z1z2在复平面内 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 D z1z257i，z1z2在复平面内对应的点位于第四象限 3(2019 珠海高二月考)在复平面内，O 是原点，OA ，OC ，AB 表示的复数分 别为2i,32i,15i，则BC 表示的复数为( ) A28i B44i C66
14、i D42i B BC OC OB OC (AB OA )44i. 4(2018 佛山学考模拟题)如图，在复平面内，若复数 z1，z2对应的向量分别 是OA ，OB ，则复数 z1z2所对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 A 易知 z112i，z21i，所以 z1z212i1i2i，则复数 z1 z2所对应的点为(2,1)，位于第一象限 5(2019 潮州市学考模拟)已知 i 为虚数单位，则 z i 12i在复平面内对应的 点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 B z i 12i i12i 12i2 2i 5 2 5 i 5，其对应的点
15、2 5， 1 5 位于第二象 限 6(2019 茂名市学考模拟)若复数 za3i i a 在复平面上对应的点在第二象 限，则实数 a 可以是( ) A4 B3 C1 D2 A 因为 za3i i a(3a)ai 在复平面上对应的点在第二象限，所以 3a0， 解得 a3. 因为复平面内的点、向量(始点为原点的向量)及向量对应的复数是一一对应 的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量 相等直接给出结论即可. 一、选择题 1若(xy)ix1(x，yR)，则 2x y 的值为( ) A1 2 B2 C0 D1 D 由复数相等的充要条件知， xy0， x10， 解得 x1，
16、 y1， xy0.2x y201. 2设复数 z 满足 zi3i，则 z ( ) A12i B12i C32i D32i C 由 zi3i 得 z32i，故 z 32i. 3已知复数 z1(a22)3ai，z2a(a22)i，若 z1z2是纯虚数，那么实 数 a 的值为( ) A1 B2 C2 D2 或 1 C 由 z1z2a22a(a23a2)i 是纯虚数，得 a22a0， a23a20， 得 a 2. 4已知 aR，i 是虚数单位若 za 3i，z z 4，则 a 等于( ) A1 或1 B 7或 7 C 3 D 3 A z z 4，|z|24，即|z|2.za 3i，|z|a232，a
17、1. 5设 f(z)|z|，z134i，z22i，则 f(z1z2)( ) A 10 B5 5 C 2 D5 2 D z1z255i， f(z1z2)f(55i)|55i|5 2. 6若 z43i，则 z |z|等于( ) A1 B1 C4 5 3 5i D4 5 3 5i D z43i，|z|5， z |z| 4 5 3 5i. 7已知 a，bR，i 是虚数单位，若 ai 与 2bi 互为共轭复数，则(abi)2 ( ) A54i B54i C34i D34i D ai 与 2bi 互为共轭复数，则 a2，b1， (abi)2(2i)234i，故选 D 8(2018 茂名市高二月考)复数 z
18、(32i)i 的共轭复数 z 等于( ) A23i B23i C23i D23i C 由复数 z(32i)i23i，得复数 z 的共轭复数 z 23i. 9设 zC，若 z2为纯虚数，则 z 在复平面上的对应点落在( ) A实轴上 B虚轴上 C直线 y x(x0)上 D以上都不对 C 设 zxyi(x，yR)，则 z2(xyi)2x2y22xyi. z2为纯虚数， x2y20， xy0， yx(x0) 101i 3 1i2等于( ) A1i B1i C1i D1i D 1i 3 1i2 1i1i2 2i 1i1i 22i 2i 22i 2i 1i i 1i. 11已知1i 2 z 1i(i 为
19、虚数单位)，则复数 z 等于( ) A1i B1i C1i D1i D 由1i 2 z 1i，知 z1i 2 1i 2i 1i1i. 12若 i 为虚数单位，图 3 中复平面内点 Z 表示复数 z，则表示复数 z 1i的点 是( ) AE BF CG DH D 由题图知复数 z3i， z 1i 3i 1i 3i1i 1i1i 42i 2 2i.表示 复数 z 1i的点为 H. 13若复数 zsin 3 5 cos 4 5 i 是纯虚数，则 tan 的值为( ) A3 4 B3 4 C4 3 D4 3 B 复数 zsin3 5 cos 4 5 i 是纯虚数， sin 3 50，cos 4 50，
20、 cos 4 5，则 tan sin cos 3 4.故选 B 14 “复数 z3ai i (aR)在复平面内对应的点在第三象限”是“a0”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 A z3ai i 3aii i i a3i.z 在复平面内对应的点在第三象限， a0.“复数 z3ai i 在复平面内对应的点在第三象限”是 “a0”的充分不必要条件故选 A 15设 z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A若|z1z2|0，则 z1 z2 B若 z1 z2，则 z1z2 C若|z1|z2|，则 z1 z1z2 z2 D若|z1|z2|，则 z21
21、z22 D A 中，|z1z2|0，则 z1z2，故 z1 z2，成立B 中，z1 z2，则 z1 z2成立C 中，|z1|z2|，则|z1|2|z2|2，即 z1z1z2z2，C 正确D 不一定成立， 如 z11 3i，z22，则|z1|2|z2|，但 z2122 3i，z224，z21z22. 二、填空题 16已知复数 z(1i)(12i)，其中 i 是虚数单位，则 z 的模是 10 z(1i)(12i)12ii213i， |z| 1232 10. 17若3bi 1i abi(a，b 为实数，i 为虚数单位)，则 ab . 3 3bi 1i 3bi1i 2 1 2(3b)(3b)i 3b
22、2 3b 2 i. a3b 2 ， b3b 2 ， 解得 a0， b3 .ab3. 18已知 a，bR，i 是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则a b的值为 2 因为(1i)(1bi)1b(1b)ia，又 a，bR，所以 1ba,1b 0，得 a2，b1，所以a b2. 19已知复数 z 3i 1 3i2， z 是 z 的共轭复数，则 zz . 1 4 由 z 3i 21 3i 3 4 1 4i，得 z 3 4 1 4i， 所以 zz 3 4 1 4i 3 4 1 4i 3 16 1 16 1 4. 三、解答题 20计算：(1)1i2i i3 ； (2)12i 231i 2i ； (3) 1
23、i 1i2 1i 1i2； (4) 1 3i 3i2. 解 (1)1i2i i3 3i i 13i. (2)12i 231i 2i 34i33i 2i i 2i i2i 5 1 5 2 5i. (3) 1i 1i2 1i 1i2 1i 2i 1i 2i 1i 2 1i 2 1. (4) 1 3i 3i2 3ii 3i2 i 3i i 3i 4 1 4 3 4 i. 21已知复数 zbi(bR)，z2 1i是实数，i 是虚数单位 (1)求复数 z； (2)若复数(mz)2所表示的点在第一象限，求实数 m 的取值范围 解 (1)因为 zbi(bR)， 所以z2 1i bi2 1i bi21i 1i1i b2b2i 2 b2 2 b2 2 i. 又因为z2 1i是实数，所以 b2 2 0，所以 b2， 即 z2i. (2)因为z2i， mR， 所以(mz)2(m2i)2m24mi4i2(m24)4mi， 又因为复数(mz)2所表示的点在第一象限， 所以 m240， 4m0， 解得 m2，即 m(，2)
