1、第 1 页（共 26 页） 2020-2021 学年浙江省宁波市镇海区九年级（上）期末数学试卷学年浙江省宁波市镇海区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意 1 （4 分）若25xy，则 x y 的值是( ) A 2 5 B 5 2 C 4 5 D 5 4 2 （4 分）抛物线 2 21yxx的对称轴是( ) A直线2x B直线1x C直线1x D直线2x 3 （4 分）如图，A、B是O上的两点，120AOB，3OA ，则劣弧AB的长是( ) A B2 C
2、3 D4 4 （4 分）从1 9这 9 个自然数中任选一个数，是 3 的倍数的概率是( ) A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 5 5 （4 分）如图，AB是圆O的直径，C、D、E都是圆上的点，其中C、D在AB下方， E在AB上方，则CD 等于( ) A60 B75 C80 D90 6 （4 分）已知点( ,)P a m，( , )Q b n都在反比例函数 1 y x 的图象上，且0ab，则下列 结论中，一定正确的是( ) 第 2 页（共 26 页） A0mn B0mn Cmn Dmn 7 （4 分） 已知ABC的各边长分别为 2、 5、 6， 与其相似的另一个A B C 的最大边为
3、18， 则ABC与A B C 的面积比等于( ) A1:3 B1:6 C1:9 D4:9 8 （4 分）已知二次函数 2 yaxbxc的图象开口向上（如图） ，它与x轴的两个交点分别 为( 1,0)、(3,0)对于下列结论：0c ；0b ；420abc其中正确的有( ) A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 9 （4 分）如图，在四边形ABCD中，90ACBCAD ，ACCB， 3 sin 5 ACD， 则tanBDC的值是( ) A 3 3 B 3 6 C 16 37 D 16 25 10 （4 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，以 RtABC 各边为斜边分别向外作等腰 RtADB
4、、等腰 RtAFC、等腰 RtBEC，然后将等腰 RtADB 和等腰 RtAFC 按如 图方式叠放到等腰 RtBEC 中，其中 BHBA，CICA，已知，S四边形GKJE1，S四边形 KHCJ8，则 AC 的长为（ ） 第 3 页（共 26 页） A2 B C4 D6 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）已知扇形的圆心角为120，半径为3cm，则这个扇形的面积为 2 cm 12 （5 分）如图，点A、B、C是半径为 4 的O上的三个点，若45BAC，则弦BC 的长等于 13 （5 分） 如图， 点D在ABC的BC边上， 且2CDBD， 点E是
5、AC边的中点， 连接AD， DE，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 14 （5 分）将二次函数 2 ()1yxkk的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 后，顶点恰好在直线21yx上，则k的值为 15 （5 分）如图，已知ABC的顶点A、B在反比例函数 2 3 (0)yx x 的图象上， 90ABC，30ACB，ACx轴， 点B在点A右下方， 若4AC ， 则点B的坐标为 第 4 页（共 26 页） 16（5 分） 如图， 等边三角形ACD的边长为 8， 点B在AC边延长线上， 且( 31)ACCB， 连结BD， 点E是线段BD上一点， 连结AE交DC于点F，
6、 若60AED， 则DE的长为 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 8 题，共题，共 80 分，其中分，其中 17、18、19 题各题各 8 分，分，20、21、22 题各题各 10 分，分，23 题题 12 分，分，24 题题 14 分）分） 17 （8 分）计算： （1） 2 2cos 45tan60sin30； （2）已知 1 2 a b ，求 ab ab 的值 18 （8 分） “只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间” 在新冠肺炎疫情期间，全 国人民万众一心，众志成城，共克时艰某社区有 1 名男管理员和 3 名女管理员，现要从中 随机挑选 2 名管理员参与“社区防控”宣
7、讲活动，请用列表法或树状图法求出恰好选到“1 男 1 女”的概率 19 （8 分）以下各图均是由边长为 1 的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均 在格点上 （1）在图中，:PA PD ； （填两数字之比） （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法 如图，在线段AB上找一点P，使 3 2 AP BP ； 如图，在线段BD上找一点P，使APBCPD 第 5 页（共 26 页） 20 （10 分）某数学小组开展了一次测量小山高度的活动，如图，该数学小组从地面A处出 发， 沿坡角为53的山坡AB直线上行一段距离到达B处， 再沿着坡角为22的山坡BC直线 上行 600 米到达C处，
8、 通过测量数据计算出小山高612CDm， 求该数学小组行进的水平距 离AD（结果精确到1 )m （参考数据：sin220.37 ，cos220.92 ，cos530.6 ， tan531.3) 21 （10 分）如图，直线 1 7 2 yx 与反比例函数(0) m ym x 的图象交于A，B两点， 与y轴交于点C，且点A的横坐标为 2 （1）求反比例函数的表达式； （2）求出点B坐标，并结合图象直接写出不等式 1 7 2 m x x 的解集； （3）点E为y轴上一个动点，若5 AEB S，求点E的坐标 22 （10 分）网络销售已经成为一种热门的销售方式某公司在某网络平台上进行直播销售 防疫包
9、，已知防疫包的成本价格为 6 元/个，每日销售量y（单位：个）与销售单价x（单 第 6 页（共 26 页） 位：元/个）满足一次函数关系，如表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成 本价且不高于 30 元，设公司销售防疫包的日获利为w（元) （日获利日销售额成本） x（元/个） 7 8 9 y（个) 4300 4200 4100 （1）请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，销售这种防疫包的日获利w最大？最大利润为多少元？ 23 （12 分）定义：如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形叫做平衡四边形 （1）如图 1，在四边形ABCD中，90DAB
10、，3AD ，4AB ，5AC 判断四边形ABCD是否是平衡四边形，请说明理由； 若ACD是等腰三角形，求sinDAC的值； （2）如图 2，在平衡四边形ABCD中，90DAB，ACBD交于点O，2AD ，若 12 CBOADO SS ，求AB的长 24 （14 分）如图 1，CD是O的直径，弦ABCD，垂足为点E，连结CA （1）若30ACD，求劣弧AB的度数； （2）如图 2，连结BO并延长交O于点G，BG交AC于点F，连结AG 若tan2CAE，1AE ，求AG的长； 设tanCAEx， GF y BF ，求y关于x的函数关系 第 7 页（共 26 页） 式 第 8 页（共 26 页） 2
11、020-2021 学年浙江省宁波市镇海区九年级（上）期末数学试卷学年浙江省宁波市镇海区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意 1 （4 分）若25xy，则 x y 的值是( ) A 2 5 B 5 2 C 4 5 D 5 4 【解答】解：25xy， 5 2 x y 故选：B 2 （4 分）抛物线 2 21yxx的对称轴是( ) A直线2x B直线1x C直线1x D直线2x 【解答】解：因为抛物线 222 2121
12、2(1)2yxxxxx ， 所以对称轴是直线1x 故选：C 3 （4 分）如图，A、B是O上的两点，120AOB，3OA ，则劣弧AB的长是( ) A B2 C3 D4 【解答】解：由题意可得，劣弧AB的长是：120 3 2 180 故选：B 4 （4 分）从1 9这 9 个自然数中任选一个数，是 3 的倍数的概率是( ) A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 5 【解答】解：1 9这九个自然数中，是 3 的倍数的数有：3、6、9，共 3 个， 第 9 页（共 26 页） 从1 9这九个自然数中任取一个，是 3 的倍数的概率是： 1 39 3 故选：B 5 （4 分）如图，AB是圆O的直
13、径，C、D、E都是圆上的点，其中C、D在AB下方， E在AB上方，则CD 等于( ) A60 B75 C80 D90 【解答】解：连接OE， 根据圆周角定理可知： 1 2 CAOE， 1 2 DBOE， 则 1 ()90 2 CDAOEBOE， 故选：D 6 （4 分）已知点( ,)P a m，( , )Q b n都在反比例函数 1 y x 的图象上，且0ab，则下列 结论中，一定正确的是( ) A0mn B0mn Cmn Dmn 【解答】解：点( ,)P a m，( , )Q b n都在反比例函数 1 y x 的图象上，且0ab， 点P在第二象限，点Q在第四象限， mn； 第 10 页（共
14、26 页） 故选：D 7 （4 分） 已知ABC的各边长分别为 2、 5、 6， 与其相似的另一个A B C 的最大边为 18， 则ABC与A B C 的面积比等于( ) A1:3 B1:6 C1:9 D4:9 【解答】 解：ABC的各边长分别为 2、 5、 6， 与其相似的另一个A B C 的最大边为 18， 两三角形的相似比为6:181:3， ABC与A B C 的面积比 2 (1:3)1:9， 故选：C 8 （4 分）已知二次函数 2 yaxbxc的图象开口向上（如图） ，它与x轴的两个交点分别 为( 1,0)、(3,0)对于下列结论：0c ；0b ；420abc其中正确的有( ) A3
15、 个 B2 个 C1 个 D0 个 【解答】解：抛物线与y轴的交点坐标在x轴下方， 0c ，所以正确； 抛物线开口向上， 0a，所以正确； 抛物线与x轴的两个交点分别为( 1,0)，(3,0)， 抛物线的对称轴为直线1x ，即1 2 b a ， 20ba ，所以正确； 2x 时，0y ， 420abc，所以正确 故选：A 第 11 页（共 26 页） 9 （4 分）如图，在四边形ABCD中，90ACBCAD ，ACCB， 3 sin 5 ACD， 则tanBDC的值是( ) A 3 3 B 3 6 C 16 37 D 16 25 【解答】解：如图，过点D作DEBC交BC的延长线于E，过点C作C
16、HBD于H 90ACBCAD ，DEEC， 90ACEE ， 四边形ACED是矩形， ADCE，ACDE， 3 sin 5 AD ACD CD ， 可以假设3AD k，5CD k，则4ACBCDE k， 7BEBCCE k， 2222 (4 )(7 )65BDDEBEkkk， 11 22 CBD SBC DEBD CH ， 16 65 65 CHk， 2222 16 6537 65 (5 )() 6565 DHCDCHkk， 16 65 16 65 tan 3737 65 65 CH BDC DH 故选：C 第 12 页（共 26 页） 10 （4 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，以
17、 RtABC 各边为斜边分别向外作等腰 RtADB、等腰 RtAFC、等腰 RtBEC，然后将等腰 RtADB 和等腰 RtAFC 按如 图方式叠放到等腰 RtBEC 中，其中 BHBA，CICA，已知，S四边形GKJE1，S四边形 KHCJ8，则 AC 的长为（ ） A2 B C4 D6 【解答】解：设 ADDBa，AFCFb，BECEc， ABa，ACb，BCc， BAC90， AB2+AC2BC2， 2a2+2b22c2， a2+b2c2， 将等腰 RtADB 和等腰 RtAFC 按如图方式叠放到等腰 RtBEC， BGGHa， S四边形GHCES四边形GKJE+S四边形KHCJ9， （
18、a+c） （ca）9， c2a218， b218， b3， ACb6， 故选：D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）已知扇形的圆心角为120，半径为3cm，则这个扇形的面积为 3 2 cm 第 13 页（共 26 页） 【解答】解：扇形的面积 2 2 1203 3 360 cm 故答案是：3 12 （5 分）如图，点A、B、C是半径为 4 的O上的三个点，若45BAC，则弦BC 的长等于 4 2 【解答】解：连接OB，OC 2BOCBAC ，45BAC， 90BOC， 4OBOC， 22 444 2BC， 故答案为：4 2 13 （5 分）
19、 如图， 点D在ABC的BC边上， 且2CDBD， 点E是AC边的中点， 连接AD， DE，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 1 3 【解答】解：设阴影部分的面积是x， 点E是AC边的中点， 2 ACD Sx ， 第 14 页（共 26 页） 2CDBD， 3 ACD Sx ， 则这个点取在阴影部分的概率是 1 33 x x 故答案为： 1 3 14 （5 分）将二次函数 2 ()1yxkk的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 后，顶点恰好在直线21yx上，则k的值为 0 【解答】解：二次函数 2 ()1yxkk的顶点坐标为( ,1)k k， 将 2 ()1
20、yxkk的图象向右平移 1 个单位，向上平移 2 个单位后顶点坐标为 (1,3)kk 根据题意，得32(1)1kk， 解得0k 故答案是：0 15 （5 分）如图，已知ABC的顶点A、B在反比例函数 2 3 (0)yx x 的图象上， 90ABC，30ACB，ACx轴，点B在点A右下方，若4AC ，则点B的坐标为 (3，2) 【解答】解：过点B作BDAC于点D， 在Rt ACB中，cos2 3BCACACB， 在Rt BCD中， 3 cos2 33 2 CDBCACB， 1 3 2 BDBC， 431ADACCD， 设 2 3 ( ,)A m m ， 2 3 ( ,)B n n ， 第 15
21、页（共 26 页） 依题意知0nm，故BDnm， 2 32 3 AD mn ， 于是 3 2 32 3 1 nm mn ， 解得： 2 3 3 m n ， 故点B的坐标为(3，2)， 故答案为：(3，2) 16（5 分） 如图， 等边三角形ACD的边长为 8， 点B在AC边延长线上， 且( 31)ACCB， 连结BD，点E是线段BD上一点，连结AE交DC于点F，若60AED，则DE的长为 8 6 3 【解答】解：如图，作DHAC于点H， ADC是等边三角形， 第 16 页（共 26 页） 8ADDCAC， 1 4 2 AHCHAC， 2222 844 3DHDCCH， ( 31)ACCB， 8
22、 4( 31) 31 CB ， 4( 31)44 3BHCBCH， 2222 (4 3)(4 3)4 6BDDHBH， 在ADE和BAD中，60AEDBAD ，ADEBDA， ADEBAD， DEAD ADBD ， 2 648 6 34 6 AD DE BD 故答案为： 8 6 3 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 8 题，共题，共 80 分，其中分，其中 17、18、19 题各题各 8 分，分，20、21、22 题各题各 10 分，分，23 题题 12 分，分，24 题题 14 分）分） 17 （8 分）计算： （1） 2 2cos 45tan60sin30； （2）已知 1 2
23、 a b ，求 ab ab 的值 【解答】解： （1）原式 2 21 2()3 22 1 13 2 1 3 2 ； （2） 1 2 a b ， 2ba， 21 23 abaa abaa 18 （8 分） “只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间” 在新冠肺炎疫情期间，全 国人民万众一心，众志成城，共克时艰某社区有 1 名男管理员和 3 名女管理员，现要从中 第 17 页（共 26 页） 随机挑选 2 名管理员参与“社区防控”宣讲活动，请用列表法或树状图法求出恰好选到“1 男 1 女”的概率 【解答】解：树状图如下图所示， 由树状图知共有 12 种等可能结果，其中恰好选到“1 男 1 女”的
24、有 6 种结果， 所以恰好选到“1 男 1 女”的概率是 61 122 19 （8 分）以下各图均是由边长为 1 的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均 在格点上 （1）在图中，:PA PD 3:1 ； （填两数字之比） （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法 如图，在线段AB上找一点P，使 3 2 AP BP ； 如图，在线段BD上找一点P，使APBCPD 【解答】解： （1）如图中，/ /ABCD， 3 1 PAAB PDCD ， 故答案为：3:1 （2）如图中，点P即为所求作 如图中，点P即为所求作 第 18 页（共 26 页） 20 （10 分）某数学小组开展了一
25、次测量小山高度的活动，如图，该数学小组从地面A处出 发， 沿坡角为53的山坡AB直线上行一段距离到达B处， 再沿着坡角为22的山坡BC直线 上行 600 米到达C处， 通过测量数据计算出小山高612CDm， 求该数学小组行进的水平距 离AD（结果精确到1 )m （参考数据：sin220.37 ，cos220.92 ，cos530.6 ， tan531.3) 【解答】解：过B作BECD于E，过B作BHAD于H，如图所示： 则四边形BEDH是矩形， DEBH，BEDH， 在Rt ACE中，600BC ，22CBE， sin22600 0.37222( )CEBCm，cos22600 0.92552
26、( )BEBCm， 552DHBEm， 612CDm， 612222390( )BHDECDCEm， 在Rt ABH中，53BAH， tan53 BH AH ， 390 300( ) 1.3 AHm， 300552852( )ADAHDHm， 答：该数学小组行进的水平距离AD约为852m 第 19 页（共 26 页） 21 （10 分）如图，直线 1 7 2 yx 与反比例函数(0) m ym x 的图象交于A，B两点， 与y轴交于点C，且点A的横坐标为 2 （1）求反比例函数的表达式； （2）求出点B坐标，并结合图象直接写出不等式 1 7 2 m x x 的解集； （3）点E为y轴上一个动点
27、，若5 AEB S，求点E的坐标 【解答】解： （1）把2x 代入 1 7 2 yx 得，6y ， (2,6)A， 反比例函数(0) m ym x 的图象经过A点， 2612m， 反比例函数的表达式为 12 y x ； （2）解 12 1 7 2 y x yx 得 2 6 x y 或 12 1 x y ， (12,1)B， 由图象可知，不等式 1 7 2 m x x 的解集是0 x 或212x； （3）设(0, )En， 第 20 页（共 26 页） 直线 1 7 2 yx 与y轴交于点C， (0,7)C， |7|CEn， 1 |7| (122)5 2 AEBBCEACE SSSn ， 解得，
28、6n 或8n ， (0,6)E或(0,8) 22 （10 分）网络销售已经成为一种热门的销售方式某公司在某网络平台上进行直播销售 防疫包，已知防疫包的成本价格为 6 元/个，每日销售量y（单位：个）与销售单价x（单 位：元/个）满足一次函数关系，如表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成 本价且不高于 30 元，设公司销售防疫包的日获利为w（元) （日获利日销售额成本） x（元/个） 7 8 9 y（个) 4300 4200 4100 （1）请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，销售这种防疫包的日获利w最大？最大利润为多少元？ 【解答】解： （1）
29、设yxbk， 根据题意，得： 74300 84200 b b k k ， 解得 100 5000b k ， 1005000(630)yxx 剟； （2）(6)( 1005000)wxx 2 100560030000 xx 2 100(28)48400 x， 1000， 当28x 时，w取得最大值，最大值为 48400， 答：当销售单价定为 28 元时，销售这种防疫包的日获利w最大，最大利润为 48400 元 23 （12 分）定义：如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形叫做平衡四边形 （1）如图 1，在四边形ABCD中，90DAB，3AD ，4AB ，5AC 第 21 页（共 26 页）
30、判断四边形ABCD是否是平衡四边形，请说明理由； 若ACD是等腰三角形，求sinDAC的值； （2）如图 2，在平衡四边形ABCD中，90DAB，ACBD交于点O，2AD ，若 12 CBOADO SS ，求AB的长 【解答】解： （1）四边形ABCD是平衡四边形， 理由如下：90DAB，3AD ，4AB ， 22 9 165BDADAB， BDAC， 四边形ABCD是平衡四边形； 如图1 1，当5CDAC时，过点C作CHAD于H， CDAC，CHAD， 3 2 AHDH， 22 991 25 42 CHACAH， 91 91 2 sin 510 CH DAC AC ， 如图12，当3ADCD
31、时，过点D作DGAC于G， 第 22 页（共 26 页） 3ADCD，DGAC， 5 2 AGCG， 22 2511 9 42 DGADAG， 11 11 2 sin 36 DG DAC AD ， 综上所述：sinDAC的值为 11 6 或 91 10 ； （2）四边形ABCD是平衡四边形， ACBD， 12 CBOADO SS ， 12 ABCADB SS ， 11 12 22 ACOBBDOA， 设ABx， 222 4BDACADABx， ACBD， 90AODAOBDAB ， 90DAOBAODAOADO ， BAOADO ， ADOBDA， ADDOAO BDADAB ， 2 2 2
32、4 DOAO x x ， 2 4 4 DO x ， 2 2 4 x AO x ， 第 23 页（共 26 页） 2 2 4 x BODBDO x ， 2 22 22 112 4412 22 44 xx xx xx ， (4)(6)0 xx， 1 4x （舍去） ， 2 6x ， 6AB 24 （14 分）如图 1，CD是O的直径，弦ABCD，垂足为点E，连结CA （1）若30ACD，求劣弧AB的度数； （2）如图 2，连结BO并延长交O于点G，BG交AC于点F，连结AG 若tan2CAE，1AE ，求AG的长； 设tanCAEx， GF y BF ，求y关于x的函数关系 式 【解答】解： （1
33、）如图 1，连接OA，OB， CD是O的直径，弦ABCD， 第 24 页（共 26 页） ADBD， AODBOD ， 30ACD， 60AOD， 120AOB， 劣弧AB的度数是120； （2）CDAB， 1AEBE，90AEC， 在Rt AEC中，tan2 CE CAE AE ， 2CE， 设OEx，则2OCxOB， 在Rt OEB中，由勾股定理得： 222 OBOEBE， 即 22 (2)1xx， 解得： 3 4 x ， 3 4 OE， OGOB，AEBE， OE是AGB的中位线， 3 2 2 AGOE； BG是O的直径， 90BAG， 第 25 页（共 26 页） 90BAGBEO ，
34、 / /OCAG， CGAC ， GFAOFC ， GAFOCF， FGAG OFOC ， GF y BF ，且2GFBFOG， 1 2 y OGGF y ， OFOGGF， 1 2 y OFGF y ， 2 1 FGy OFy ， 如图 3，连接OA， OAOC，2AGOE， 222 1 AGOEOEy OCOCOAy ， tan CE CAEx AE ， CEx AEOAOE， OAOE AE x ， Rt AOE中， 222 OAOEAE， 222 () OAOE OAOE x ，即 2222 2 1 (2)OAOEOAOA OEOE x ， 第 26 页（共 26 页） 两边同时除以 2 OA，得： 22 2 1 1()(1) OEOE OAxOA ， 设 OE a OA ，则原方程变形为： 22 2 1 (21)10aaa x ， 2 222 121 (1)10 a a xxx ， 22 11 (1)(1)(1)0aa xx ， 1 1a （舍)， 2 2 2 1 1 x a x ， 2 2 1 1 OEx OAx ， 2 2 2(1)2 11 xy xy ， 2 11 22 y x
