1、【 ;百万教育资源文库 】 2016 年 普通高等学校招生全国统一考试 (上海卷 ) 数学（ 文史类 ） 答案解析 一、填空题 1.【答案】 2,4（ ） 【解析】 | 3 | 1 1 3 1 2 4x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，故不等式 | 3| 1x?的解集为 ,4（ ） . 【提示】先去掉绝对值符号，再进一步求解，本题也可利用两边平方的方法 . 【考点】绝对值不等式的基本解法 2.【答案】 3? 【解析】 3 2i 2 3iiz ? ? ? ， 故 z 的虚部等于 3? . 【提示】先 分母有理化， 化简，直接求得答案 . 【考点】复数的运算 ， 复数的概 念 3.【
2、答案】 255 【解析】 由 两平行线间的距离公式得 122 2 2 2| | 1 1 | 2 5521CCd ab? ? ? ?. 【提示】直接利用 两平行线间的距离公式 求得答案 . 【考点】两平行线 之 间 的 距离公式 4.【答案】 1.76 【解析】将这 5 位同学的身高按照从低到高排列为： 1.69 ， 1.72 ， 1.76 ， 1.78 ， 1.80 ，这五个数的中位数是 1.76 . 【提示】先 将这 5 位同学的身高按照从低到高排列 ， 最中间的数 就是 中 位数 . 【考点】中位数 5.【答案】 3? 【解析】 2( ) 1 6 s i n ( )f x a x ? ?
3、?， 其中 tan 4a? ， 故函数 ()fx的 最大值为 216 a? ， 由已知得，216 5a?， 解得 3a? . 【考点】 辅助角 公式 6.【答案】 2log ( 1)x? 【解析】将点 (3,9) 代入函数 )(1xf x a? 中得 2a? ，所以 2( 1) xfx? ，用 y 表示 x 得 2log ( 1)xy?，所【 ;百万教育资源文库 】 以 1 2( ) log ( 1)f x x? ?. 【提示】先将 点 (3,9) 代入函数 )(1xf x a? 求出 a 值 ，再将 x 与 y 互换转化成 反函数 . 【考点】反函数的概念 ，反函数 的求解 7.【答案】 2
4、? 【解析】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，令 2z x y? ，当直线 1122y x z?经过点 (0,1)P 时，z 取得最大值 2? . 【提示】 根据约束条件，画出相应的封闭区域 ,通过平移找到最优解 . 【考点】线性规划 8.【答案】 5,66【解析】化简 3sin 1 cos 2xx? 得： 23sin 2 2 sinxx? ，所以 22 sin 3 sin 2 0xx? ? ?，解得 1sin 2x? 或sin 2x? （舍去），又 0,2x? ，所以 566x? 或 . 【提示】先通过化简得到角的某种三角函数值，再结合角的范围求解 . 【考点】 三角方程 9.【答案】
5、 112 【解析】由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为 2n ，即 2 256n? ，所以 8n? ，又二项展开式的通项为 ? ? 8483 331 8 82 ( 2 )rr rr r rrT C x C xx? ? ? ? ? ?，令 84033r?，所以 2r? ，所以 3 112T? ，即常数项为 112 . 【提示】先根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，再综合运用二项展开式的系数的性质求解 . 【考点】二项式定理 10.【答案】 733【解析】 由已知 可设 3 5 7a b c? ? ?， ， ， 2 2 2 1c o s = 22a b cC ab?
6、 ?， 3sin2C?， 732 sin 3cR C?. O x y P 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 先 利用 三角公式化简三角恒等式，再利用正弦定理实现边角转化 . 【考点】正弦 定理， 余弦定理 11.【答案】 16【解析】将 4 种水果每两种分为一组，有 24C6? 种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为 16 . 【提示】 先 确定所研究对象的基本事件个数，再利用概率的计算公式求解 . 【考点】古典概型 12.【答案】 1, 2? 【解析】 由题意 ， 设 (cos ,sin )P ?， 0,? ，则 (cos ,sin )OP ? ，又 (1,1)BA? ，
7、 所以 c o s s i n 2 s i n 1 , 2 4O P B A ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 【提示】 先利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，再利用三角函数的图象和性质，得到 OPBA 的取值范围 . 【考点】 向量与 三角函数的综合应用 13.【 答案 】 (2, )? 【解析】 方程组无解等价于直线 1ax y?与直线 1x by?平行，所以 1ab? 且 1ab?. 又 a ， b 为正数，所以 22a b ab? ? ? ( 1)ab? ，即 ab? 的取值范围是 (2, )? . 【提示】 根据方程表示直线，得到方程组无解的条件
8、，进一步应用基本不等式解答 . 【考点】基本不等式的应用 . 14.【答案】 4 【解析】 当 1n? 时， 1 2a? 或 1 3a? ；当 2n? 时 ， 若 2nS? ， 1 2nS? ， 于是 0na? ，若 3nS ? ， 1 3nS? ，于是 0na? ， 从而存在 k ?N ，当 nk? 时， 0ka? .所以要涉及最多的不同的项数列 na 可以为：2,1, 1,0,0? ，从而可看出 max 4k ? . 【提示】 从 nS 与 na 的关系入手，推断数列的构成特点，注意 “ 数列 ?na 由 k 个不同的数组成 ” 和 “ k 的最大值 ” . 【考点】数列的 通 项与 求
9、和 【 ;百万教育资源文库 】 二 、 选择题 15.【答案】 A 【解析】 211aa? ? ? ， 2 11aa? ? ? 或 1a? ， 所以 p 是 q 的 充分 非必要 条件 . 【提示】 利用 不等式 的 性质 ， 结合充分条件和必要条件的定义进行判断 . 【考点】充要条件 ， 必要条件 ， 不等式的性质 . 16.【答案】 D 【解析】只有 11BC 与 EF 在同一平面内，是相交的，其他 A， B， C 选项 中的直线与 EF 都是异面直线，故选 D. 【提示】 以正方体为载体，直接分析直线与直线的位置关系 【考点】异面直线 17.【答案】 B 【解析】 5 s i n 3 s
10、 i n 3 2 s i n 33 3 3x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 5( , ) 3,3ab ?， 又 4 s i n 3 s i n 3 s i n 33 3 3x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 4( , ) 3,3ab ?，注意到 0,2)b? ，只有这两组 . 【提示】 根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式， 利用分类讨论的方法， 确定得到 ab， 的可能取值 . 【考点】三角函数 18.【答案】 D 【解析】因为 ( ) g ( ) ( ) (
11、 ) g ( ) ( ) () 2f x x f x h x x h xfx ? ? ? ? ? ， 所以 ( + ) g ( + ) ( + ) ( + ) g ( + ) ( + ) ( + ) 2f x T x T f x T h x T x T h x Tf x T ? ? ? ? ? ，又 ( ) ( )f x g x? 、 ( ) ( )f x h x? 、( ) ( )g x h x? 均是以 T 为周期的函数，所以 ( ) g ( ) ( ) ( ) g ( ) ( ) ( + ) = ( )2f x x f x h x x h xf x T f x? ? ? ? ? ，所以(
12、)fx是周期为 T 的函数，同理可得 ()gx、 ()hx 均是以 T 为周期的函数， 正确；增函数加减函数也可能为增函数，因此 不正确 . 【提示】 利用 函数周期性定义 ： ( + ) ( )f x T f x? 进行推 导，再 根据函数单调性的性质 进行 举反例排除法错误答案 . 【考点】 函数的 性质，命题的真假性 三、解答题 19.【答案】 （） 由题意可知，圆柱的 母线 长 1l? ，底面半径 1r? . 【 ;百万教育资源文库 】 圆柱的 体积 22= 11 V r l ? ? ? ?， 圆柱的 侧面积 2 2 1 1 2S rl? ? ? ? ?. （）设 过点 1B 的 母线
13、与下底面交于点 B，则 11OB OB ， 所以 COB? 或 其补角为 11OB 与 OB 所成的角 . 由 11AB 长为 3 ，可知1 1 1 3A O B A O B? ? ? ?，由 AC 长为 56 ，可知 56AOC?， 2C O B A O C A O B? ? ? ? ? ?，所以异面直线 11OB 与 OC 所成的角的大小为 2 . 【提示】 （ ）由题意可知，圆柱的高 1hl? ，底面半径 1r? .由此计算即得 . （ ）由 11/OB OB 得 COB? 或其补角为 11OB 与 OC 所成的角，再结合题设条件计算即得 . 【考点】几何体的体积 ， 空间角 . 20.
14、【答案】（ ）因为 C 上的点到直线 EH 与到点 F 的距离相等，所以 C 是以 F 为焦点、以 EH 为准线的抛物线在正方形 EFGH 内的部分，其方程为 2 4yx? (0 2)y? . （ ）依题意，点 M 的坐标为 1,14?.所求的矩形面积为 52 ，而所求的五边形面积为 114. 矩形面积与 “ 经验值 ” 之差的绝对值为 5 8 12 3 6?，而五边形面积与 “ 经验值 ” 之差的绝对值为11 8 14 3 12? ，所以五边形面积更接近于 1S 面积的 “ 经验值 ” . 【提示】 （ ）由 C 上的点到直线 EH 与到点 F 的距离相等，知 C 是以 F 为焦点、以 EH
15、 为准线的抛物线在正方形 EFGH 内的部分 . （ ）通过计算矩形面积，五边形面积，以及计算矩形面积与 “ 经验值 ” 之差的绝对值，五边形面积与 “ 经验值 ” 之差的绝对值，比较二者大小即可 . 【考点】抛物线的定义 ， 标准方程 的 应用 . 21.【答案】 （）设 ( , )AAAx y ，由 题 意， 2 2 2 2 42 ( c , 0 ) c 1 ( c 1 )AF b y b b? ? ? ? ?， ， 因为 1FAB 是等边三角形，所以 23cy? ，即 244(1 ) 3bb?，解得 2 2b? . 故双曲线的渐近线方程为 2yx? . （ ） 由已知， 2(2,0)F
16、. 【 ;百万教育资源文库 】 设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ，直线 :l ( 2)y k x?. 由 22 13( 2)yxy k x? ? ?，得 2 2 2 2( 3 ) 4 4 3 0k x k x k? ? ? ? ?. 因为 l 与双曲线交于两点，所以 2 30k ? ，且 236(1 ) 0k? ? ?. 由 212 24 3kxx k?， 212 2433kxx k ? ?，得 2212 223 6 ( 1)() ( 3)kxx k ? ?， 故 22 2 21 2 1 2 1 2 26 ( 1 )( ) ( ) 1 43kA B x x y y k
17、x x k ? ? ? ? ? ? ? ? ?，解得 2 35k? ，故 l 的斜率为 155?. 【提示】（）设 ( , )AAAx y ，根据 题设条件可以得到 244(1 ) 3bb?， 从而解得 2b 的 值。 （）设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ，直线 l： ( 2)y k x?与 双曲线方程联立，得到一元 二次 方程 ， 根据 l 与双曲线交于两点，可得 2 30k ? ，且 236(1 ) 0k? ? ， 由 | | 4AB? 构建 关于 k 的 方程进行求解。 【考点】双曲线的几何性质 ， 直线与双曲线的位置关系 ，直线方程的 标准方程 . 22.【 答案 】 （ ）因为 4A? ， 4B? ，所以 4 AB? ，从而 ?na 与 ?nb 不是无穷互补数列 . （ ）因为 4 16a? ，所以 16 16 4 20b ? ? ? . 所以 数列 ?nb 的前 16 项的和为： 2 3 4 51 2 0( 1 2 2 0 ) ( 2 2 2 2 ) 2 0 ( 2 2 ) 1 8 02? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. （）设 ?na 的 公差 为 d ， d ?N ， 则 16
