1、第1页 高高中中数数学学知知识识总总结结归归纳纳（打打印印版版） 引引言言 1 1. .课课程程内内容容： 必必修修课课程程由 5 个模块组成： 必必修修 1 1：集集合合、函函数数概概念念与与基基本本初初等等函函数数（指指、对对、幂幂函函数数） 必必修修 2 2：立立体体几几何何初初步步、平平面面解解析析几几何何初初步步。 必必修修 3 3：算算法法初初步步、统统计计、概概率率。 必必修修 4 4：基基本本初初等等函函数数（三三角角函函数数） 、平平面面向向量量、三三角角恒恒等等变变换换。 必必修修 5 5：解解三三角角形形、数数列列、不不等等式式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述
2、内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、 函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打 好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上 做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选选修修课课程程有 4 个系列： 系列 1：由 2 个模块组成。 选修 11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修 12：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列 2：由 3 个模块组成。 选选修修 2 21 1：常常用用逻逻辑辑用用语语、圆圆锥锥曲曲线线与与方方程程
3、、 空空间间向向量量与与立立体体几几何何。 选选修修 2 22 2：导导数数及及其其应应用用，推推理理与与证证明明、数数系系的的扩扩充充与与复复数数 选选修修 2 23 3：计计数数原原理理、随随机机变变量量及及其其分分布布列列，统统计计案案例例。系 列 3：由 6 个专题组成。 选修 31：数学史选讲。 选修 32：信息安全与密码。 选修 33：球面上的几何。选 修 34：对称与群。 选修 35：欧拉公式与闭曲面分类。 选修 36：三等分角与数域扩充。系 列 4：由 10 个专题组成。 选选修修 4 41 1：几几何何证证明明选选讲讲。 选修 42：矩阵与变换。选 修 43：数列与差分。 选
4、选修修 4 44 4：坐坐标标系系与与参参数数方方程程。 选选修修 4 45 5：不不等等式式选选讲讲。 选修 46：初等数论初步。 选修 47：优选法与试验设计初步。 选修 48：统筹法与图论初步。 选修 49：风险与决策。 选修 410：开关电路与布尔代数。 2 2. .重重难难点点及及考考点点： 重重点点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难难点点：函数、圆锥曲线 高高考考相相关关考考点点： 更多资料关注公众号：学起而飞 第2页 集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、 指
5、数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用 数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、 三角函数的图象与性质、三角函数的应用 平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等 式的应用 直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲 线的应用 直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱
6、柱、棱锥、球、空间 向量 排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用 概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 导数：导数的概念、求导、导数的应用 复数：复数的概念与运算 更多资料关注公众号：学起而飞 第3页 （1）集合的概念 高高中中数数学学 必必修修 1 1 知知识识点点 第第一一章章集集合合与与函函数数概概念念 1 1. .1 1集集合合 【1 1. .1 1. .1 1】集集合合的的含含义义与与表表示示 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集. （3）集合与
7、元素间的关系 对象a与集合M的关系是a M，或者a M，两者必居其一. （4）集合的表示法 自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 描述法：x|x具有的性质，其中x为集合的代表元素. 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合 叫做空集(). 【1 1. .1 1. .2 2】集集合合间间的的基基本本关关系系 （6）子集、真子集、集合相等 名称记号意义性质示意图 子集 A B （或 B A) A 中的任一元素都 属于 B (1)AA (2
8、) A (3)若A B且B C，则A C (4)若A B且B A，则A B A(B) B 或 A AB A B，且B 中至 少有一元素不属于 A （1） A（A 为非空子集） 真子集（或 BA） (2)若A B且B C，则A C BA 集合 相等 A B A 中的任一元素都 属于 B，B 中的任 一元素都属于 A (1)AB (2)BA A(B) （7）已知集合A有n(n 1)个元素，则它有2n个子集，它有2n1个真子集，它有2n1个非空子集，它 有2n 2非空真子集. （8）交集、并集、补集 【1 1. .1 1. .3 3】集集合合的的基基本本运运算算 名称记号意义性质示意图 交集 A B
9、 x | x A,且 x B （1）A A A （2）A （3）A B A A B B 更多资料关注公众号：学起而飞 第4页 并集 A B x | x A,或 x B （1）A A A （2）A A （3）A B A A B B 补集UA x| xU,且x A 1 A(UA) 痧 U( A B) (UA) (UB) 痧 U(A B)(UA)(UB) 2A( UA)U A 【补补充充知知识识】含含绝绝对对值值的的不不等等式式与与一一元元二二次次不不等等式式的的解解法法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式解集 | x | a(a 0)x | a x a | x | a(a 0)x | x a或x
10、 a | ax b | c,| ax b | c(c 0) 把ax b看成一个整体， 化成| x | a， | x | a(a 0)型不等式来求解 （2）一元二次不等式的解法 判别式 b2 4ac 0 0 0 二次函数 y ax2bx c(a 0) 的图象 O O L= O 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根 b b2 4ac x1,2 2a （其中x1 x2) x x b 12 2a 无实根 ax2 bx c 0(a 0) 的解集 x | x x1或x x2 x | x b 2a R ax2 bx c 0(a 0) 的解集 x | x1 x x2 （1）函数的概念 1 1.
11、.2 2函函数数及及其其表表示示 【1 1. .2 2. .1 1】函函数数的的概概念念 设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中 都有唯一确定的数f (x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫 做集合A到B的一个函数，记作f : A B 函数的三要素:定义域、值域和对应法则 更多资料关注公众号：学起而飞 第5页 只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 （2）区间的概念及表示法 设a, b是两个实数，且a b，满足a x b的实数x的集合叫做闭区间，记做a, b；满足a x b 的实数x的集合叫做开区间
12、，记做(a, b)；满足a x b，或a x b的实数x的集合叫做半开半闭 区 间 ， 分 别 记 做a,b)，(a,b； 满 足x a,x a,x b,x b的 实 数x的 集 合 分 别 记 做 a, ),(a, ),(, b, (, b) 注注意意：对于集合x | a x b与区间(a, b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须 ab， （前者可以不成立，为空集；而后者必须成立） （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： f (x)是整式时，定义域是全体实数 f (x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数 f (x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合 对数函
13、数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1 y tan x中，x k (k Z ) 2 零（负）指数幂的底数不能为零 若f (x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的 定义域的交集 对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f (x)的定义域为a, b，其复合函数f g (x)的 定义域应由不等式a g(x) b解出 对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论 由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义 （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数
14、值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最 小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提 问的角度不同求函数值域与最值的常用方法： 观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值 配配方方法法：将将函函数数解解析析式式化化成成含含有有自自变变量量的的平平方方式式与与常常数数的的和和，然然后后根根据据变变量量的的取取值值范范围围确确定定函函数数的的 值值域域或或最最值值 判别式法：若函数y f (x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程 a( y)x2 b( y)x c( y) 0，则在a( y) 0时，由于x, y
15、为实数，故必须有 b2( y) 4a( y) c( y) 0，从而确定函数的值域或最值 不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值 换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为 三角函数的最值问题 更多资料关注公众号：学起而飞 第6页 反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值 数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值 函数的单调性法 【1 1. .2 2. .2 2】函函数数的的表表示示法法 （5）函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之
16、间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之 间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 （6）映射的概念 设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有 唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B 的映射，记作f : A B 给定一个集合A到集合B的映射，且a A, b B如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫 做元素a的象，元素a叫做元素b的原象 1 1. .3 3函函数数的的基基本本性性质质 【1 1. .3 3. .1 1】单单调调性性与与最最大大（小小）值值 （1）函数的单调性
17、定义及判定方法 函数的 性 质 定义图象判定方法 如果对于属于定义域I 内 yy=f(X) f(x2) f(x1) o x1x2 x （1）利用定义 （2）利用已知函 数的单调性 （3）利用函数图象 （在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1、x2,当x x 1 1 x x 2 2时，都有f f ( ( x x 1 1) ) f f ( ( x x 2 2) ) ， 那么就说 f(x)在这个区 函数的 间上是增增 函函 数数 单调性 如果对于属于定义域I 内 yy=f(X) f(x1) f(x2) o x1x2x （1）利用定义 （2）利用已知函
18、数的单调性 （3）利用函数图象 （在某个区间图 象下降为减） （4）利用复合函数 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1、 x2，当x x 1 1 f f ( ( x x 2 2) ) ， 那么就说 f(x)在这个区 间上是减减 函函 数数 在在公公共共定定义义域域内内，两两个个增增函函数数的的和和是是增增函函数数，两两个个减减函函数数的的和和是是减减函函数数，增增函函数数减减去去一一个个减减函函数数为为 增增函函数数，减减函函数数减减去去一一个个增增函函数数为为减减函函数数 对对于于复复合合函函数数y fg(x)，令令u g(x)，若若y f (u)为为增增，u g(x)为为增增，则则y f
19、 g(x)为为增增； 若若y f (u)为为减减，u g(x)为为减减， 则则y f g(x)为为增增； 若若y f (u)为为增增，u g (x)为为减减， 则则 y f g(x)为为减减；若若y f (u)为为减减，u g(x)为为增增，则则y f g(x)为为减减 更多资料关注公众号：学起而飞 第7页 （2）打“”函数f (x) x a (a 0)的图象与性质 x f (x)分别在(, a、 a , )上为增函数，分别在 a , 0)、(0,a 上为减函数 （3）最大（小）值定义 一般地，设函数y f (x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的xI，都有f (x) M；
20、（2）存在x0 I，使得f (x0) M那么，我们称M是函 数f (x)的最大值，记作fmax(x) M 一般地，设函数y f (x)的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有 f (x) m； （2）存在x0I，使得 fmax(x) m f (x0) m 那么， 我们称m是函数f (x)的最小值， 记作 （4）函数的奇偶性 定义及判定方法 【1 1. .3 3. .2 2】奇奇偶偶性性 函数的 性 质 定义图象判定方法 如果对于函数 f(x)定义 域内任意一个 x， 都有 f( x ) = f f ( ( x x ) ) ,那么函数 f(x)叫做奇奇 函函 数数 （1）利用
21、定义（要 先判断定义域是否 关于原点对称） （2）利用图象（图 象关于原点对称） 函数的 奇偶性如果对于函数 f(x)定义 域内任意一个 x， 都有 f( x ) =f f ( ( x x ) ) ,那 么 函 数 f(x)叫做偶偶 函函 数数 （1）利用定义（要 先判断定义域是否 关于原点对称） （2）利用图象（图 象关于 y 轴对称） 若函数f (x)为奇函数，且在x 0处有定义，则f (0) 0 奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反 在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数） ，两个偶函数（或 奇函数）的积（或商）是
22、偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数 补补充充知知识识函函数数的的图图象象 （1）作图 利用描点法作图： 确定函数的定义域；化解函数解析式； 讨论函数的性质（奇偶性、单调性） ；画出函数的图 象利用基本函数图象的变换作图： y ox 更多资料关注公众号：学起而飞 第8页 h0,右移|h|个单位k0,下移|k|个单位 1,缩 A1,伸 将x轴下方图象翻折上去 保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象 a 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本 初等函数的图象 平移变换 y f (x) h 0 ,左 移h 个单 位 y f (x h)
23、 y f (x) k 0 ,上 移k 个单 位 y f (x) k 伸缩变换 y f (x)0 1, 伸 y f ( x) y f (x)0 A1, 缩 y Af (x) 对称变换 yf (x)x 轴 y f (x) yf (x) 原 点 y f (x) y f (x) y轴 y f (x) yf (x) 直 线 yxy f 1(x) yf (x) 去 掉 y轴 左边 图 象 yf (| x|) y f (x) 保 留 x轴 上 方 图 象 y | f (x)| （2）识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义 域、值域、单调性、奇偶性，注意
24、图象与函数解析式中参数的关系 （3）用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获 得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法 第第二二章章基基本本初初等等函函数数( () ) 2 2. .1 1指指数数函函数数 【2 2. .1 1. .1 1】指指数数与与指指数数幂幂的的运运算算 （1）根式的概念 如果xn a,a R,x R,n 1，且n N，那么x叫做a的n次方根当n是奇数时，a的n次 方根用符号 n a表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号 表示；0 的n次方根是 0；负数a没有n次方根 表示，负的n次方根用符号 na
25、 式子 na 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数当n为奇数时，a为任意实数；当n为 偶数时，a 0 根 式 的 性 质 ：(na )n a； 当n为 奇 数 时 ， a； 当n为 偶 数 时 ， | a | a （2）分数指数幂的概念 (a 0) (a 0) m 正数的正分数指数幂的意义是：a n 0 nam(a 0, m, n N , 且n 1)0 的正分数指数幂等于 m 1 m 1 正数的负分数指数幂的意义是：a n ( )nn( )m(a 0, m, n N ,且 n 1)0 的负分数 aa na nan nan 更多资料关注公众号：学起而飞 第9页 指数幂没有意义注注意意口口诀
26、诀：底数取倒数，指数取相反数 （3）分数指数幂的运算性质 aras ar s(a 0,r,sR)(ar)s ars(a 0,r,sR) (ab)r arbr(a 0, b 0, r R) 【2 2. .1 1. .2 2】指指数数函函数数及及其其性性质质 （4）指数函数 函数名称指数函数 定义函数y ax(a 0且a 1)叫做指数函数 图象 a 10 a 1 y 1 y O y a x (0, 1) x y a x y 1 O y (0, 1) x 定义域R 值域(0, ) 过定点图象过定点(0,1)，即当x 0时，y 1 奇偶性非奇非偶 单调性在R上是增函数在R上是减函数 函数值的 变化情况
27、 ax 1 (x 0) ax 1 (x 0) ax 1 (x 0) ax 1 (x 0) ax 1 (x 0) ax 1 (x 0) a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低 （1）对数的定义 2 2. .2 2对对数数函函数数 【2 2. .2 2. .1 1】对对数数与与对对数数运运算算 若ax N (a 0,且a 1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x logaN，其中a叫做底数，N叫 做真数 负数和零没有对数 对数式与指数式的互化：x logaN ax N (a 0, a 1, N 0) （2）几个重要的对数恒等式 loga1 0，logaa 1，l
28、ogaab b （3）常用对数与自然对数 更多资料关注公众号：学起而飞 aa M 常用对数：lg N，即log10N；自然对数：ln N，即logeN（其中e2.71828） （4）对数的运算性质如果a 0,a 1,M 0,N 0，那么 加法：logaM logaN loga(MN) 数乘：nlog M log M n(nR) 减法：logaM logaN loga N aloga N N log M nn log b M(b 0,nR)换底公式：log N logbN (b 0,且b 1) ba 【2 2. .2 2. .2 2】对对数数函函数数及及其其性性质质 logba （5）对数函数
29、函数 名称 对数函数 定义函数y logax(a 0且a 1)叫做对数函数 图象 a 10 a 1 y O x 1 y logax (1,0) x y O x 1 y logax (1, 0) x 定义域(0, ) 值域R 过定点图象过定点(1,0)，即当x 1时，y 0 奇偶性非奇非偶 单调性在(0, )上是增函数在(0, )上是减函数 函数值的 变化情况 logax 0 ( x 1) logax 0 ( x 1) logax 0 (0 x 1) logax 0 ( x 1) logax 0 ( x 1) logax 0 (0 x 1) a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第
30、四象限内，a越大图象越靠高 (6)反函数的概念 设函数y f (x)的定义域为A，值域为C，从式子y f (x)中解出x，得式子x ( y)如果对 于y在C中的任何一个值，通过式子x ( y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 x ( y)表示x是y的函数，函数x ( y)叫做函数y f (x)的反函数，记作x f 1( y) ，习惯上改 第10页 更多资料关注公众号：学起而飞 第11页 写成y f 1(x) （7）反函数的求法 确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式y f (x)中反解出x f 1( y) ； 将x f 1( y) 改写成y f 1(x) ，并注明反函数的定
31、义域 （8）反函数的性质 原函数y f (x)与反函数y f 1(x) 的图象关于直线y x对称 函数y f (x)的定义域、值域分别是其反函数y f 1(x) 的值域、定义域 若P(a, b)在原函数y f (x)的图象上，则P(b, a)在反函数y f 1(x) 的图象上 一般地，函数y （1）幂函数的定义 f (x)要有反函数则它必须为单调函数 2 2. .3 3幂幂函函数数 一般地，函数y x叫做幂函数，其中x为自变量，是常数 （2）幂函数的图象 更多资料关注公众号：学起而飞 第12页 （3）幂函数的性质 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象
32、分布在第一、 二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函 数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在(0, )都有定义，并且图象都通过点(1,1) 单调性：如果 0，则幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数如果 0，则幂函数的图 象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴 奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当 q （其中p, q互 p qq 质，p和q Z） ，若p为奇数q为奇数时，则y x p是奇函数，若 p为奇数q为偶数时，则y x p是偶 q 函数，若p为偶数q为奇数时，则y
33、x p是非奇非偶函数 图象特征：幂函数y x,x(0,)，当1时，若0 x 1，其图象在直线y x下方，若x 1， 其图象在直线y x上方，当1时，若0 x 1，其图象在直线y x上方，若x 1，其图象在直线 y x下方 补补充充知知识识二二次次函函数数 （1）二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x) ax2 bx c(a 0)顶点式：f (x) a(x h) 2 k (a 0) 两根式： f (x) a(x x1)(x x2)(a 0)（2）求二次函数解析式的方法 已知三个点坐标时，宜用一般式 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式 若已知抛物线与x轴有两
34、个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f (x)更方便 （3）二次函数图象的性质 二次函数f (x) ax2bxc(a 0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x b ,顶点坐标是 2a ( b 2a 4ac b2 ,) 4a 当a 0时，抛物线开口向上，函数在(, 4ac b2 上递减，在 2a b ,)上递增，当x b 时， 2a2a bb fmin(x) ；当a 0时，抛物线开口向下，函数在(,上递增，在,)上递减， 4a2a2a b 更多资料关注公众号：学起而飞 第13页 b y a 0 f (k) 0 O x1 x2 k x x b 2a y x b 2a O x1x2 k x a 0
35、f (k) 0 当x 2a 时，fmax(x) 4ac b2 4a 二次函数f (x) ax2 bx c(a 0)当 b2 4ac 0时，图象与x轴有两个交点 M(x,0),M (x ,0),|MM |x x | 11221212 | a| （4）一元二次方程ax2bxc 0(a 0)根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不 够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用， 下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布 设一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的两实根为x ,x，
36、且x x令f (x) ax2 bx c，从以 1212 下四个方面来分析此类问题：开口方向：a对称轴位置：x b 2a 值符号 kx1x2 判别式：端点函数 y f (k) 0 a 0 O kx1 x2 x x b 2a y x b 2a k O x1x2x f (k) 0 a 0 x1x2k x1kx2af(k)0 y a 0 Ok x1x2 f (k) 0 x y f (k) 0 x1O k x2x a 0 k1x1x2k2 更多资料关注公众号：学起而飞 第14页 x 0 f ( b ) 1 y a 0 f (k1) 0 x1k2 Ok1 x2 x f (k2) 0 y f (k1) 0
37、O x1 k1 k2 x2x a 0f (k2) 0 y f (k1) 0 x1 a 0 f (k2) 0 x2 Ok1 k2 x x b 2a yx b 2a k1 Ox1 k2 x2x f (k1) 0 a 0 f (k ) 0 2 有且仅有一个根x1（或x2）满足k1x1（或x2）k2f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0 或f(k2)=0 这两种情况是否也符合 k1x1k2p1x2p2 此结论可直接由推出 （5）二次函数f (x) ax2bxc(a 0)在闭区间p,q上的最值 设f (x)在区间p,q上的最最大大值值为为M，最最小小值值为为m，令x0 (pq) 2 （）当a
38、0时（开口向上） bbbb 若 p，则m 2a f (p) 若p q，则m 2a f () 2a 若 q，则m 2a f (q) f ( b ) 2a bb 若 2a x0，则M f (q) 2a x0，则M f ( p) x0 f ( b ) 2a 2a ()当a 0时(开口向下) bbbb 若 p，则M 2a f (p) 若p q，则M 2a f () 2a 若 q，则M 2a f (q) f ( b ) 2a f ( b ) 2a 更多资料关注公众号：学起而飞 第15页 bb f ( b ) 2a f ( b ) 2a f ( b ) 2a 若 2a x0，则m f (q) 2a x0，
39、则m f ( p) f ( b ) 2a f ( b ) 2a x0 x0 第第三三章章 函函数数的的应应用用 一、方程的根与函数的零点 1 、函数零点的概念： 对于函数y f (x)(xD)， 把使f (x) 0成立的实数x叫做函数 y f (x)(x D)的零点。 2、函数零点的意义：函数y 与x轴交点的横坐标。即： f (x)的零点就是方程f (x) 0实数根，亦即函数y f (x)的图象 方程f (x) 0有实数根函数y 3、函数零点的求法： f (x)的图象与x轴有交点函数y f (x)有零点 求函数y f (x)的零点： 1（代数法）求方程f (x) 0的实数根； 2（几何法）对于
40、不能用求根公式的方程，可以将它与函数y 函数的性质找出零 点 4、二次函数的零 点： 二次函数y ax 2 bx c(a 0) f (x)的图象联系起来，并利用 ），方程ax 2 bx c 0 有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数 有两个零点 ），方程ax 2 bx c 0有两相等实根（二重根） ，二次函数的图象与x轴有一个交点， 二次函数有一个二重零点或二阶零点 ），方程ax 2 bx c 0 无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点 高高中中数数学学 必必修修 2 2 知知识识点点 第第一一章章空空间间几几何何体体 1.1柱柱、锥锥、台台、球球的的结结构构特特征
41、征 （1 1）棱棱柱柱：定定义义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 更多资料关注公众号：学起而飞 第16页 （ 由这些面所围成的几何体。 分分类类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表表示示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE AB CDE 或用对角线的端点字母，如五棱柱AD 几几何何特特征征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面 的截面是与底面全等的多边形。 （2 2）棱棱锥锥 定定义义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分分类
42、类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表表示示：用各顶点字母，如五棱锥P AB CDE 几几何何特特征征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。 （3 3）棱棱台台：定定义义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分分类类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表表示示：用各顶点字母，如五棱台P AB CDE 几几何何特特征征：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点 （4 4）圆圆柱柱：定定义义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲
43、面所围成的几何体 几几何何特特征征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。 （5 5）圆圆锥锥：定定义义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几几 何何特特征征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。 （6 6）圆圆台台：定定义义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几几何何特特征征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。 （7 7）球球体体：定定义义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几几何何特特征征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心
44、的距离等于半径。 1.2空空间间几几何何体体的的三三视视图图和和直直观观图图 1三视图： 正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下 2画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3空空间间几几何何体体的的表表面面积积与与体体积积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2圆柱的表面积S 2rl 2r2
45、3 圆锥的表面积 S rlr2 4 圆台的表面积S rl r 2 Rl R2 （二）空间几何体的体积 5球的表面积S 4 R2 1柱体的体积V S底 h2锥体的体积 V 1 Sh 3底 3 台体的体积 V 1 3 S上S下) h4球体的体积S上S下 更多资料关注公众号：学起而飞 第17页 A L AB V 4 R 3 3 第第二二章章 直直线线与与平平面面的的位位置置关关系系 2.1 空空间间点点、直直线线、平平面面之之间间的的位位置置关关系系 2.1.1 1平面含义：平面是无限延展的 2平面的画法及表示 （ 1 ）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成 45 0，且横边画
46、成邻边的 2 倍长（如图） （ 2 ）平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四边形的 四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。 3三个公理： （1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 DC AL BL A B 公理 1 作用：判断直线是否在平面内 （2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A、B、C 三点不共线 = 有且只有一个平面， 使 A、B、C。 公理 2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有
47、一条过该点的公共直线。 符号表示为：P =L，且 PL 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据P 2.1.2空空间间中中直直线线与与直直线线之之间间的的位位置置关关系系 1空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设 a、b、c 是三条直线 ab cb =ac 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。 3等角定理：空间中如果两个角
48、的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4注意点： a与 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直 线中的一条上； = L A C B L 更多资料关注公众号：学起而飞 第18页 a b 。 两条异面直线所成的角 (0， )； 当两条异面直线所成的角是2直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 2.1.4 空空间间中中直直线线与与平平面面、平平面面与与平平面面之之间间的的位位置置关关系系 1、直线与平面有三
49、种位置关系： （1）直线在平面内 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a来表示 aa=Aa 2.2.直直线线、平平面面平平行行的的判判定定及及其其性性质质 2.2.1直直线线与与平平面面平平行行的的判判定定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简 记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a b=a ab 2.2.2平平面面与与平平面面平平行行的的判判定定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这
50、两个平面平行。 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； 符号表示： ab = a b （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 2.2.4 直直线线与与平平面面、平平面面与与平平面面平平行行的的性性质质 1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a aab = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行 P 更多资料关注公众号：学起而飞 第19页 L p 平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理 4） 符号
