1、【 ;百万教育资源文库 】 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学试卷 (文史类 )答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 C 【解析】 22(1 i) 1 2i i 2i? ? ? ? ?. 【提示】将 2(1 i)? 展开 ， 化简，直接求得答案 . 【考点】复数的运算 . 2.【答案】 B 【解析】 1, 2,3, 4,5A ?Z ，故 AZ 中元素的个数为 5. 【提示】 把集合 |1 5A x x? ?的元素一一 列举出来 即可 . 【考点】集合中交集的运算 . 3.【答案】 D 【解析】 2 4yx? 的焦点坐标为 (1,0) . 【提示】 直接利用 抛物线的
2、定义 求解 . 【考点】抛物线的性质 . 4.【答案】 A 【解析】 为 得到函数 sin3yx?的 图 象 ,只需把函数 sinyx? 的 图象上所有的点向左平 行 移动 3 个 单位长度 . 【提示】 函数 ()y f x? 的图象向右平移 a 个单位 长度 得 ()y f x a?的图象，而函数 ()y f x? 的图象向上平移 a 个单位 长度 得 ()y f x a?的图象 .左 、 右平移涉及的是 x 的变化，上 、 下平移涉及的是函数值 ()fx的变化 . 【考点】三角函数图象的平移 . 5.【答案】 A 【解析】由 1x? 且 1y? ，可得 2xy?，而当 2xy?时，不能得
3、出 1x? 且 1y? .故 p 是 q 的充分不必要条件 【提示】 首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立 . 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】充要条件 . 6.【答案】 D 【解析】 2( ) 3 1 2 3 ( 2 ) ( 2 )f x x x x? ? ? ? ? ?， 令 ( ) 0fx? ? 得 2x? 或 2x? ， 易得 ()fx在 ( 2,2)? 上 单调递减 ，在 (2, )? 上 单调递增 ， 故 ()fx的 极小值点为 2， 即 2a? . 【提示】 在可导函数中 ， 函数的极值点 0x 是方程 ( ) 0fx? ? 的解，但 0x 是极大值点
4、还是极小值点，需要通过这 个 点两边的导数的正负性来判断，在 0x 附近，如果 0xx? 时， ( ) 0fx? ? ， 0xx? 时 ( ) 0fx? ? ，则 0x 是极小值点，如果 0xx? 时， ( ) 0fx? ? ， 0xx? 时， ( ) 0fx? ? ，则 0x 是极大值点 . 【考点】函数的导数与极值点 . 7.【答案】 B 【解析】设从 2015 年开始第 n 年该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元，由已知得? ? 1 1 2001 3 0 1 1 2 % 2 0 0 1 . 1 2 130n n? ? ? ? ?， ，两边取常用对数得 200( 1) lg 1
5、1 2 lg 130n ?， l g 2 l g 1 . 3 0 . 3 0 . 1 11 3 . 8 5l g 1 . 1 2 0 . 0 5nn? ? ? ? ? ， ，故从 2019 年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元 【提示】 把 问题看作等比数列， 130 万 元作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可 求 解 . 【考点】 指数和 对数函数的计算 . 8.【答案】 C 【解析】程序运行如下： 3 2 1 2 0 1 2 2 4 1 0n x v i v i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ， 4 2 1 9
6、0 0 9 2 0 1 8 1 0v i v i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， 结束循环，输出 18v? ，故选 C 【提示】 将每次循环的结果一一列举出来，与判断条件比较即可 . 【考点】程序框图 . 9.【答案】 B 【解析】 如图 可得 1 2 0 | | | D B | | | 2A D C A D B B D C D A D C? ? ? ? ? ? ? ? ?，以 D 为 原点，直线 DA 为 x 轴 建立平面直角坐标系，则 ( 2 , 0 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 3 )A B C? ? ?， ，.设 ( , )Pxy ， 由 已知 |
7、 | 1AP? ， 得 22( 2) 1xy? ? ? ，又1 3 1 3 3,2 2 2 2x y x yP M M C M B M? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ， 222 ( 1 ) ( 3 3 )| 4xyBM ? ? ? ， 它 表示 圆 22( 2) 1xy? ? ? 上 的点 (, )xy 与 点 ( 1, 3 3)? 的 距离的平方的 14 ， 【 ;百万教育资源文库 】 ? ? ? ? 22 22m a x 1 4 9| | 3 ( 3 3 ) 144BM ? ? ? ? 【提示】 首先对条件进行化简变形，得出 120A D C A D
8、B B D C? ? ? ? ? ? ?，且 2DA DB DC? ? ?，因此采用解析法，即建立直角坐标系，写出 点 A B C D， ， ， 的 坐标，同时动点 P 的轨迹是圆， 则 222 ( 1 ) ( 3 3 )4xyBM ? ? ? ，因此可用圆的性质得出最值 . 【考点】 平面向量 的计算 . 10.【答案】 A 【解析】设 1 1 1 2 2 2( , ln ), ( , ln )P x x P x x?（不妨设 121, 0 1xx? ? ? ） ，则由导数的几何意义易得切线 12ll， 的斜率分别为121211.kkxx? ? ?，由已知得1 2 1 2 2 1111k k
9、 x x x x? ? ? ?， ， ， 切线 1l 的 方 程 为1111ln ( )y x x xx? ? ?，切线 2l 的方程为2221ln ( )y x x xx? ? ? ?，即11 11lny x x x x? ? ? ?.分别令 0x? 得11( 0 , 1 ln ) ( 0 , 1 ln ) .A x B x? ? ?，又 1l 与 2l 的交点为 221 1 1 1112 2 2 21 1 1 12 1 2 11, l n . 1 1 0 11 1 2 1 1P A B A B P P A Bx x x xP x x S y y x Sx x x x? ? ? ? ? ?
10、? ? ? ? ? ? ? ， ， . 【提示】 先 设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点 横坐标 的关系，同时得出切线方程，从而得点 AB， 的坐标，由两直线相交得出 P 点坐标，从而求得面积，把面积用 1x 表示后，可得 面积 的取值范围 . 【考点】 函数导数 . 第 卷 二、填空题 11.【答案】 12【解析】由三角函数的诱导公式得 1s i n 7 5 0 s i n (7 2 0 3 0 ) s i n 3 0 2? ? ? ? ? ? ? ?. 【提示】 直接三角函数的诱导公式求解 . 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】三角函数的诱导公式 . 12.【答案】 33【解析】 由
11、三视图可知该几何体是一个三棱锥，且底面积为 1 2 3 1 32S ? ? ? ?， 高为 1， 所以该三棱锥的体积为 1 1 3313 3 3V Sh? ? ? ? ?. 【提示】 根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸， 再 进行求解 . 【考点】三视图，几何体的体积 . 13.【答案】 16【解析】从 2， 3， 8， 9 中任取两个数记为 ab， ，作为对数的底数与真数，共有 24 12A? 个不同的基本事件，其中为整数的只有 23log 8 log 9， 两个基本事件，所以所求概率 2112 6P?. 【提示】 先 求出基本事件的总数， 因为 所给数都可以作为对数的底
12、 数 ，因此所有对数的个数就相当于 4 个数中任取 2 个的全排列，个数为 24A ，而满足题意的只有 2 个， 故 可由 古典概型的 概率公式可 求 得概率 . 【考点】古典概型 ， 对数 . 14.【答案】 2? 【解析】因为函数 ()fx是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，所以 (0 ) 0 ( 2 ) (0 ) 0f f f? ? ?， ， 125 1 1 12 4 22 2 2 2f f f f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以 5 (2) 22ff? ? ? ?. 【提示】 利用
13、周期性 ( ) ( )f x f x T?，化函数值的自变量到已知区间或相邻区间，如果是相邻区间 ， 再利用奇偶性转化到已知区间上，由函数式求值即可 . 【考点】函数的奇偶性，函数的周期性 . 15.【答案】 【解析】 对于 ，若令 (1,1)P ，则其伴随点为 11,22P? ?，而 11,22P? ?的伴随点为 ( 1, 1)? ，而不是 P ，故 错误；对于 ，令单位圆上点的坐标为 (cos ,sin )P x x ，则其伴随点为 (sin , cos )P x x? ? ，仍在单位圆上，故 正确；对于 ，设曲线 ( , ) 0f x y ? 关于 x 轴对称，则 ( , ) 0f x
14、y?与曲线 ( , ) 0f x y ? 表示同一曲线，其伴随曲线分别为2 2 2 2,0yxf x y x y? ?与2 2 2 2,0yxf x y x y? ?，它们也表示同一曲线，又因为伴随曲线2 2 2 2,0yxf x y x y? ?与2 2 2 2,0yxf x y x y? ?关于 y 轴对称，所以 正确；对于 ，取直线 y kx b?【 ;百万教育资源文库 】 上一点 Px y（ ， ） ，则其伴随点2 2 2 2,yxx y x y?，消参后轨迹是圆，故 错误 .所以真命题为 . 【提示】 通过 新定义的概念把问题转化为我们已经熟悉的知识即可 . 【考点】对新定义的理解
15、， 函数的对称性 . 三、解答题 16.【答案】 （ ） 由频率分布直方图，可知：月均用水量在 0,0.5) 的频率为 0.08 0.5 0.04? . 同理，在 ) , ) , ) ,0 . 5 , 1 1 . 5 , 2 2 , 2 . 5 3 , 3 . 5 3 . 5 , 4 ) , ) , 4 , 4 . 5 )等组的频率分别为 0 .0 8 , 0 .2 1 , 0 .2 5 , 0 .0 6 , 0 .0 4 , 0 .0 2. 由 1 0 . 0 4 0 . 0 8 0 . 2 1 0 . 2 5 0 . 0 6 0 . 0 4 0 . 0 2 0 .( 5.) 05aa? ?
16、 ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 解得 030a? . （ ）由（ ）， 100位居民 月均用水量不低于 3 吨 的概率为 0 .0 6 0 .0 4 0 .0 2 0 .1 2? ? ? 由 以上样本的 概率分布 ，可以估计 30 万 居民中月均用水量不低于 3 吨 的人数为 300000 0.12 36000?. （ ）设 中位数为 x 吨 . 因为前 5 组 的概率之和为 0 . 0 4 0 . 0 8 0 . 1 5 0 . 2 1 0 . 2 5 0 . 7 3 0 . 5? ? ? ? ? ?， 所以 2 2.5x? 由 0 .5 0 ( 2 ) 0 .5 0 .4 8x?
17、? ? ?， 解得 2.04x? 故可估计居民月均用水量的中位数为 2.04 吨 . 【提示】 （ ） 由高 组距 =频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为 1，计算出 a的值； （ ） 利用高 组距 =频率，先计算出每人月均用水量不低于 3 吨的频率，再利用频率 样本容量 =频数，计算所求人数； （ ） 将前 5 组的频率之和与前 4 组的频率之和进行比较，得出 2 2.5x? ，再估计 月均用水量的中位数 . 【考点】 统计 ， 频率分布直方图 . 17.【答案】 （ ） 取 棱 AD 的中点 ()M M PAD?平 面 ， 点 M 即 为所求的一点 .理由 如下 ： 因为 12AD B
18、C BC AD? ， ， 所以 BC AM ， 且 BC AM? 所以四边形 AMCB 是平行 四边形，从而 CM AB 又 A B P A B C M P A B?平 面 ， 平 面， 所以 CM PAB 平 面 （ ） 由已知， PA AB PA CD?， ， 因为 AD BC BC AD? ， ，所以直线 AB 与 CD 相交，所以 PA ABCD?平 面 从而 PA BD? . 因为 AD BC BC AD? ， ，所以 BC MD ， 且 BC MD? . 所以四边形 BCDM 是平行四边形 . 所以 BM CD AD?，所以 BD AB? 【 ;百万教育资源文库 】 又 AB AP A? ， 所以 BD PAB?平 面 又 BD PBD?平 面 ， 所以平面 PAB PBD?平
