1、一元二次方程 问题问题1 1：某某蔬菜队蔬菜队20092009年全年无公害蔬菜产量为年全年无公害蔬菜产量为 100100t t，计划，计划20112011年无公害蔬菜的产量比年无公害蔬菜的产量比20092009年翻一年翻一 番番( (即为即为200t200t) )。要。要实现这一目标，实现这一目标，20102010年和年和20112011年年 无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？ 解解：设这个队设这个队20102010- -20112011年无公害蔬菜产量的年平均增长年无公害蔬菜产量的年平均增长 率是率是x x，那么，那么；20102010年无公害蔬菜年
2、无公害蔬菜产量产量100100+100 x=100(1+x)(t);+100 x=100(1+x)(t); 20112011年无公害蔬菜年无公害蔬菜产量产量100100(1+x)+100(1+x)(1+x)+100(1+x) x=100(1+x)x=100(1+x) (t(t) )。 根据根据题意，题意，20112011年无公害蔬菜产量为年无公害蔬菜产量为200200t t， 得得 100100(1+(1+x)x) = =200200，即，即( (1+1+x)x) = =2 2。 整理整理，得得x x +2+2x x- -1=1=0 0。 问题问题2 2：在在一块宽一块宽20m20m、长、长3
3、2m32m的长方形空地上，的长方形空地上， 修筑宽相等的三条小路修筑宽相等的三条小路( (两条纵向，一条横向，纵向两条纵向，一条横向，纵向 与横向垂直与横向垂直) )，把，把这块空地分成大小一样的这块空地分成大小一样的6 6块，建成块，建成 小小花坛。要花坛。要使花坛的总面积为使花坛的总面积为570m570m ，问，问小路的宽应小路的宽应 是是多少？多少？ 3232 2020 x x 解解：设小路的宽是设小路的宽是xmxm， 则横向小路的面积是则横向小路的面积是32xm32xm ， 纵向纵向小路的面积是小路的面积是2 22020 xmxm ， 两者重叠部分的面积是两者重叠部分的面积是 2 2x
4、 x m m 。 由于花坛的总面积是由于花坛的总面积是570m570m ，则，则 32322020- -（3232x+2x+22020 x x）+2x+2x = =570570。 整理整理，得得x x - -3636x+35=x+35=0 0。 3232 2020 x x 一元二次方程的概念一元二次方程的概念 都是整式都是整式方程方程。 只含一个未知数只含一个未知数; ; 未知数未知数的最高次数是的最高次数是2 2； 即即：一元二次方程的共同特点：一元二次方程的共同特点: : 像像x x +2+2x x- -1=01=0，x x - -3636x+35=0 x+35=0这样的等号两边都这样的等
5、号两边都 是整式，是整式， 只含有一个未知数只含有一个未知数( (一元一元) )，并且未知数，并且未知数 的最高次数是的最高次数是2 2( (二次二次) )的整式方程叫做的整式方程叫做一元二次方一元二次方 程。程。 为什么为什么要限制要限制 a0a0，b b，c c可以为零可以为零 吗？吗？ axax2 2 + +bx+c bx+c=0=0 (a0)(a0) b b是一次项系数是一次项系数 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 a a是二次项系数是二次项系数 常数项常数项 二次项二次项 一次项一次项 “=”=”的右的右 边必须整理成边必须整理成0 0。 一般地，任何一般地，任何一个关于
6、一个关于x x 的一元二次方程都可的一元二次方程都可 以化为以化为axax2 2+bx+c=0 (a+bx+c=0 (a，b b，c c为常数，为常数，a0a0）的形式，）的形式， 我们把称它为我们把称它为一元二次方程的一般一元二次方程的一般形式形式。 axax2 2+bx=0 (a+bx=0 (a0 0，b b0)0) 一元二次方程一元二次方程 的一般的一般形式：形式： axax2 2+bx+c=0+bx+c=0 ( (a0)a0) 完全的完全的一元二次方程：一元二次方程： axax2 2+bx+c=0 (a+bx+c=0 (a0 0， bb0 0， c0)c0) 不完全不完全的的 一元二次
7、一元二次 方程方程 axax2 2+c=0 (a+c=0 (a0 0，c c0)0) axax2 2=0 (a0)=0 (a0) 一元一次方程一元一次方程 一元二次方程一元二次方程 一般式一般式 相同点相同点 不同点不同点 一元一次方程一元一次方程与一元二次方程有什么区与一元二次方程有什么区 别与联系？别与联系？ ax=b ax=b ( (a0a0) ) axax2 2+bx+c=0 +bx+c=0 ( (a0a0) ) 都是整式方程，只含有一个未知数都是整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是未知数最高次数是1 1 未知数最高次数是未知数最高次数是2 2 判断判断下列方程是否为一元二次方
8、程？下列方程是否为一元二次方程？ 2 12 (4)0 xx (1)x(1)x +x =36+x =36 (2) x(2) x3 3+ x+ x2 2=36=36 (3)x+3y=36(3)x+3y=36 (5) x+1=0(5) x+1=0 2 (6)6 3 x 22 (7)41(23)xx 2 (8)()260 xx 判断一个方程是否是一元二次方程，关键是要将方程判断一个方程是否是一元二次方程，关键是要将方程 化为化为一般式一般式，然后根据一元二次方程必须同时满足的三个，然后根据一元二次方程必须同时满足的三个 条件进行判别。条件进行判别。( ( 只含只含一个一个未知数未知数; ; 未知数的最
9、高次未知数的最高次 数是数是2 2；都是都是整式整式方程方程) )。 下列方程中哪些是一元二次方程？下列方程中哪些是一元二次方程？ 0521 2 xx)(0134)2( 2 yx 03 2 cbxax)(0214 )()(xx 0 1 5 2 a a)(1)2)(6( 2 m 是一元二次方程的有：是一元二次方程的有：_。 )(1)(4)(6 可能为可能为0 0 是分式是分式 2 (7)5xx 2 (8)2321x xx 是二次是二次 根式根式 61.x化简为： 将将下列方程化为一般形式，并分别指出它们下列方程化为一般形式，并分别指出它们 的二次项、一次项和常数项及它们的系数：的二次项、一次项和
10、常数项及它们的系数： 1 3 (1)5(2)x xx 2 33510 xxx解： 2 335100 xxx 2 20 x 2 38100 xx 二二次项次项3 3x x ，二次项系，二次项系 数为数为3 3，一一次项次项- -8 8x x，一次项，一次项 系数为系数为- -8 8，常数，常数项为项为- -1010。 二二次项：次项：x x ，二次项系，二次项系 数为数为1 1，一一次项：次项：0 0，一一次项次项 系数为系数为0 0，常数，常数项为项为0 0。 二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、 常数项都是常数项都是包括符号包括符号的。的。 a a
11、x x2 2+ +b bx+x+c c=0=0 注意注意: :要确定一元二次方程的系数和常数要确定一元二次方程的系数和常数项，项， 必须必须先将方程化为一般先将方程化为一般形式。形式。 二次项系数二次项系数 一次项系数一次项系数 常数项常数项 (a0)(a0) 在在写一元二次方程的一般形式写一元二次方程的一般形式时，通常时，通常按未知数按未知数 的的次数从高到低次数从高到低排列排列，即，即先写二次先写二次项，再项，再写一次写一次项，项， 最后最后是常数项。是常数项。 把方程把方程3x(x3x(x- -1)=2(x1)=2(x- -2)2)- -4 4化成一般形式，并写化成一般形式，并写 出它的
12、二次项系数、一次项系数及常数项。出它的二次项系数、一次项系数及常数项。 解解: :去去括号，括号，得得3 3x x - -3 3x x=2=2x x- -4 4- -4 4。 移项移项，合并同类项，得方程的一般形式，合并同类项，得方程的一般形式： 3 3x x - -5 5x+8=x+8=0 0 它它的二次项系数是的二次项系数是3 3，一次项系数是，一次项系数是- -5 5，常数，常数 项是项是8 8。 把把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它 的二次项系数、一次项系数和常数项：的二次项系数、一次项系数和常数项： 方程方程 一般形式一般形式 二次项二
13、次项 系系 数数 一次项一次项 系系 数数 常数项常数项 3x3x2 2=5x=5x- -1 1 (x+2)(x (x+2)(x - - 1)=61)=6 4 4- -7x7x2 2=0=0 3x3x2 25x5x1 10 0 x x2 2 x x8 80 0 3 3 5 5 1 1 1 1 1 1 8 8 3 3 - -5 5 1 1 1 1 1 1 - -8 8 7x7x2 2- -4 40 0 7 7 0 0 - -4 4 方程方程(2a(2a4)x4)x2 2 2bx+a=02bx+a=0， 在什么条件下此方程为在什么条件下此方程为一元二次一元二次方程？方程？ 在什么条件下此方程为在什
14、么条件下此方程为一元一次一元一次方程？方程？ 解：由题意得，解：由题意得，2a2a4040，解之得，解之得a2a2 当当a2a2时是一元二次方程；时是一元二次方程； 当当a a2 2且且b0b0时是时是一元一次方程一元一次方程。 240 20 a b 2 0 a b 由题意得：由题意得： ，解之得解之得 。 本本节学习的数学知识是：节学习的数学知识是： 2.2.学习的数学思想方法学习的数学思想方法 1.1.一元二次方程一元二次方程的概念的概念 （1 1）一元二次方程）一元二次方程的一般的一般形式；形式； （2 2）转化、建模思想）转化、建模思想 3 3. .如何如何理解一元二次方程的一般形式理解一元二次方程的一般形式 axax2 2+bx+c=0(a+bx+c=0(a0 0）? ? （1 1）( (a0)a0)是成为一元二次方程的是成为一元二次方程的必必 要条件；要条件； （2 2）找）找一元二次方程的二次项、一次项一元二次方程的二次项、一次项 系数及常数项要先化为一般系数及常数项要先化为一般式。式。 作业作业 做课后练习。做课后练习。 谢 谢
