1、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 1掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点) 2会利用根与系数的关系解决有关的问题(难点) 一、情境导入一、情境导入 解下列方程， 将得到的解填入下面的表格中， 你发现表格中两个解的和与积和原来的方 程有什么联系？ (1)x22x0； (2)x23x40； (3)x25x60 方程 x1 x2 x1x2 x1 x2 x22x0 x23x40 x25x60 二、合作探究二、合作探究 探究点一：一元二次方程的根与系数的关系 例 1：利用根与系数的关系，求方程 3x26x10 的两根之和、两根之积 解析：由一元二次方程根与系数的关系可求得 解
2、：这里 a3，b6，c1 b24ac624 3 (1)3612480， 方程有两个不相等的实数根 教学过程教学过程 教学目标教学目标 设方程的两个实数根是 x1，x2， 那么 x1x22，x1 x21 3 方法总结：如果方程 ax2bxc0(a0)，b24ac0，有两个实数根 x1，x2，那么 x1x2b a，x1x2 c a 探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用 【类型一】利用根与系数的关系求代数式的值 例 2：设 x1，x2是方程 2x24x30 的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系， 求下列各式的值： (1)(x12)(x22)； (2)x2 x1 x1 x2 解析：先确定
3、a，b，c 的值，再求出 x1x2与 x1x2的值，最后将所求式子做适当变形， 把 x1x2与 x1x2的值整体代入求解即可 解：根据根与系数的关系，得 x1x22，x1x23 2 (1)(x12)(x22)x1x22(x1x2)43 22 (2)4 3 2； (2)x2 x1 x1 x2 x22x21 x1x2 （x1x2） 22x 1x2 x1x2 （2）22 （3 2） 3 2 14 3 方法总结：先确定 a，b，c 的值，再求出 x1x2与 x1x2的值，最后将所求式子做适当的 变形，把 x1x2与 x1x2的值整体带入求解即可 【类型二】已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根
4、 例 3：已知方程 5x2kx60 的一个根为 2，求它的另一个根及 k 的值 解析：由方程 5x2kx60 可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出方程 另一个根，然后根据两根之和求出 k 的值 解：设方程的另一个根是 x1，则 2x16 5， x13 5又x12 k 5， 3 52 k 5，k7 方法总结：对于一元二次方程 ax2bxc0(a0，b24ac0)，当已知二次项系数和常 数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之 和 【类型三】判别式及根与系数关系的综合应用 例 5： 已知、 是关于x 的一元二次方程 x2(2m3)xm20的两个不相
5、等的实数根， 且满足1 1 1，求 m 的值 解析：利用韦达定理表示出 ，再由1 1 1 建立方程，求 m 的值 解：、 是方程的两个不相等的实数根， (2m3)，m2 又1 1 （2m3） m2 1， 化简整理，得 m22m30 解得 m3 或 m1 当 m1 时，方程为 x2x10， 此时 1240，方程无解， m1 应舍去 当 m3 时，方程为 x29x90， 此时 924 90， 方程有两个不相等的实数根 综上所述，m3 易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母 m 的值，但一定要代入判别式验算，字母 m 的取值必须使判别式大于 0，这一点很容易被忽略 课堂小结课堂小结 让学生经历探索， 尝试发现韦达定理， 感受不完全的归纳验证以及演绎证明 通过观察、 实践、 讨论等活动， 经历发现问题、 发现关系的过程， 养成独立思考的习惯， 培养学生观察、 分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神通过交流 互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神
