1、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 一、教学目标 1、知识目标:要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系,能运用根 与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数,会求一元二次方程 两 个根的倒数和与平方数,两根之差。 2、能力目标:通过韦达定理的教学过程 ,使学生经历观察、实验、猜想、证明等数 学活动过程 ,发展推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点,进一步培养学生的 创新意识和创新精神。 3、情感目标:通过情境教学过程 ,激发学生的求知欲望,培养学生积极学习数学的 态度。体验数学活动中充满着探索与创造,体验数学活动中的成功感,建立自信心。
2、二、重点难点 发现并掌握一元二次方程根与系数的关系 三、教法与学法 (一)教法 1、充分以学生为主体进行教学,让学生多实践,从实践中反思过程,让学生经历韦达 定理的发生发展过程,并从中体验成功的乐趣。 2、采用“实践(练习)观察发现猜想证明”的过程教学。引导学生 发现问题,师生共同解决问题。 3、分小组讨论交流,多渠道信息反馈。 4、问题引探,启发诱导,进行创新教学。 (二)学法指导 1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理。 2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。 3、指导学生熟练掌握根与系数的关系,并将应用问题和规律归类。 四、设计理念 根据教材内容和初中数学新课程标准 ,注
3、重过程数学,注重创新教学,注重问题意 识,关注学生的学习兴趣和经验,让学生主动参与学习活动,主动探索并获取知识,教师 是组织者、引导者、参与者。 五、设计意图 采用“实践观察发现猜想证明”的过程,探究分两步走 将探究根与系数关系分为初探、 再探两个层次, 即将二次项系数为 1 和非 1 的一元二 次方程分两次出现,这样处理基于如下的原因。第一,使得每一个学生都能参与探究。学 生的认知能力总是有所差异的, 如果将这两类方程同时加以研究的话, 有一部分同学很难参 与。事实上,研究事物往往从简单到复杂。当 a=1 时,容易发现根与系数的关系,当 a 1 时,猜想不正确,造成认知上的冲突,更能激发学生
4、去完善第一次的猜想。 由实验 猜想再实验再猜想的过程,对于学生而言,既经历了一次探究性学习,又得到了一 次能力培养。使学生既动手又动脑,且又动口,教师引导启发,避免注入式地讲授一元二次 方程根与系数的关系,体现学生的主体学习特性,培养了学生的创新意识和创新精神。设计 遵循由特殊到一般,从实践到理论(即从感性认识上升到理性认识)的认知规律。 六、教学过程: 一、 复习导入 同学们,我们在前面学习了用求根公式法解一元二次方程。你能说说一元二次方程的 求根公式吗? ax 2+bx+c=0(a0),当 b24ac0,则 x= a acbb 2 4 2 它揭示了两根与系数间的直接关系,那么一元二次方程根
5、与系数间是否还有更深一层 的联系呢? 好,这就是我们这节课研究的内容:一元二次方程根与系数的关系(板书) 二、 探求新知 练一练 填空 方程 x 2 +3x+2= 0 2 1 3 2 x 22x3=0 1 3 2 3 x 25x+4=0 1 4 5 4 从上面表格中观察以上方程,根与系数的关系,有什么规律? 1 x 2 x x x 2 1x x 2 1. 这几个方程的两根之和都等于它们的一次项系数的相反数,两根之积都等于常数项。 师:那么是不是所有的一元二次方 程都具有这样的规律吗? 生:不一定, 师:为什么不一定呢? 生:因为这几个一元二次方程的二次项系数都是 1。如果二次项系数不为 1 时
6、,可能 不存在这样的关系。 师:回答得真好,同学们观察得非常仔细。哪么这个规律应该怎样说呢? 生:当二次项的系数为 1 时,x 2+Px+q=0 的两根如果是 则存在 师:那么对于一般的一元二次方程根与系数又会存在着怎样的关系呢?想知道吗? 好,下面我们共同来探究一下 先完成下面的填空。 方程 1 - -2 2 通过填表,你又有什么发现?把你的发现小组进行交流。 你能用语言文字概括你的发现吗? 那么你能猜想一般的一元二次方程的根与系数存在什么样的关系呢? 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a、b、c 是常数且 a=0 )的两根为 x1、x2, 则 a b xx 21 a c xx 21 q
7、Px xx x 21 2 1 x1 x2xx 21 xx 21. 0169 2 x x 3 1 3 1 3 2 3 4 9 1 0143 2 x x 0273 2 x x 3 1 3 7 3 2 3 1 3 1 04 2 acb 师:你的猜想是正确的吗?举一些例子来验证一下吧! 师:再多的实验数据也只能增强结论的可靠性,为了说明它的正确性,还需要推理证 明。你会证明吗? 师:运用什么来验证呢?对!求根公式。 这就是一元二次方程根与系数的关系,它是由法国的数学家韦达发现 的,所以我们又 称之为韦达定理。 三、训练感悟。 讲解例题(略) 练一练(略) 四、总结提升 五、作业 P39 练习 六、板书设计 教学反思:教学反思: x1+x2= -b+ b2-4ac 2a + -b- b2-4ac 2a x1= -b+ b2-4ac 2a = -2b 2a = -b a x1x2= -b+ b2-4ac 2a -b- b2-4ac 2a = (-b+ b2-4ac)(-b- b2-4ac) 4a2 = 4ac 4a2 = b2-(b2-4ac) 4a2 = c a x2= -b- b2-4ac 2a