1、【 ;百万教育资源文库 】 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（文科） 答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 A 【解析】 607 4 151 3 3i i i i? ? ? ?，故选 A. 【提示】直接利用虚数单位 i 的运算性质得出答案 . 【考点】虚数单位 i 的运算性质 . 2.【答案】 B 【解析】 这批米内夹谷约为 281534 169254?石，故选 B. 【提示】根据 254 粒内夹谷 28 粒，可得比例，即可得出结论 . 【考点】利用数学知识解决实际问题 . 3.【答案】 C 【解析】 特称性命题的否定是全称性命题，且注意否定结论，故原命题的否定是
2、： “ ? ?0 , ln 1x x x? ? ? ? ?， ” ，故选 C. 【提示】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论 . 【考点】含有量词的命题的否定 . 4.【答案】 A 【解析】显然 x 与 y 负相关 ， 又 y 与 z 正相关，所以根据 “ 正负得负 ” 的传递性，得 x 与 z 负相关 .故选 A. 【提示】由题意，根据一次项系数的符号判断相关性，由 y 与 z 正相关，设 0y kz k?， ，得到 x 与 z 的相关性 . 【考点】线性回归方程 . 5.【答案】 A 【解析】由 12ll， 是异面直线，可得 12ll， 不相交，所以 pq? ；由 12ll， 不相交，
3、可得 12ll， 是异面直线或 12ll ，所以 qp? .所以 p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件，故选 A. 【提示】根据充分条件和必要条件的定义 结合 空间直线的位置关系，进行判断即可 . 【考点】充分条件和必要条件的判断，空间直线的位置关系 . 6.【答案】 C 【解析】 依题意，有 40x?，解得 44x? ? ? ；且 2 5603xxx? ，解得 2x? 且 3x? ； 由 求交【 ;百万教育资源文库 】 集得，函数的定义域为 ? ? ? ?2,3 3,4 ，故选 C. 【提示】根据函数成立的条件进行求解即可 . 【考点】函数的定义域 . 7.【答案】 D 【解析】
4、当 0x? 时， sgnx x x x? ； 当 0x? 时， sgn 0x x x? ； 当 0x? 时， sgnx x x x? ? ； 综上， sgnx x x? ，故选 D. 【提示】去掉绝对值符号，逐个比较即可 . 【考点】函数表达式的比较 . 8.【答案】 B 【解析】在直角坐标系中，依次作出不等式 01xy? ?， 1122x y xy? ? ?， 的可行域如下图所示： 依题意，1 ABOOCDESp S ? 四 边 形，2 OEGFCOCDESp S? 曲 边 多 边 形四 边 形，而 12 OECOCDESS ?四 边 形，所以1212pp?，故选 B. 【提示】分别求出事件
5、 “ 12xy? ” 和事件 “ 12xy? ” 对应的区域，然后求出面积，利用几何概型公式求出概率，比较大小 . 【考点】几何概型 . 9.【答案】 D 【解析】 21 21 be a?， ? ? ?22 21bmeam?，不妨 令 12ee? ，化简得 ? ?0b b m ma a m? ，得 bm am? ，得 ba? .【 ;百万教育资源文库 】 所以当 ba? 时，有 b b ma a m? ? ，即 12ee? ；当 ba? 时，有 b b ma a m? ? ，即 12ee? ， 故选（ D） . 【提示】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论 . 【考点】双曲线的性质
6、 . 10.【答案】 C 【解析】如图，集合 A 表示如下图所示的所有红心圆点，集合 B 表示如下图所示的所有红心圆点 +所有绿心圆点，集合 AB? 显然是集合 ? ? ?, | 3 , 3 , ,x y x y x y? ? ? Z中除去四个点 ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 3 3 3 3 3 3 , 3? ? ? ?， ， ， ， ， ，之外的所有整点（即横坐标与纵坐标都为整数的点），即集合 AB? 表示如下图所示的所有红心圆点 ? 所有绿心圆点所有黄心圆点，共 45 个 ， 故 AB? 中元素的个数为 45 故选 C. 【提示】由题意可得 ： ? ? ? ? ? ? ? ? ?
7、? ?0 0 0 1 0 1 1 , 0 1 , 0A ? ?， ， ， ， ， ， ，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 , 0 0 , 1 0 , 2 0 1 0 2 1 , 1 1 , 2 1 1 1 2 ,B ? ? ? ? ?， ， ， ， ， ， ， 1 ， 0 ， ， ， ， ， ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 , 0 2 , 1 2 , 2 2 1 2 2 - 1 - 2 1 , 1 1 , 0 1 1 1 2? ? ? ? ? ? ?， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
8、， ， ， ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 1 2 , 0 2 ,1? ? ? ? ? ?， ， ， ， ，根据定义可求 【考点】集合的基本定义及运算 . 第 卷 【 ;百万教育资源文库 】 二、填空题 11.【答案】 9 【解析】 由 OA AB?uur uuur ，得 0OAAB?uur uuurg .所以 ? ? 2O A O B O A O A A B O A O A A B? ? ? ?u ur u uur u ur u ur u uur u ur u ur u uurg g g2 20 3 9OA? ? ? ?uur . 【提示】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案 .
9、 【考点】平面向量的数量积运算，向量模的求法 . 12.【答案】 10 【解析】作出 约束条件表示 的可行域如下图所示： 易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是 3,1 1, 3 1, 3?()， ()， ()，平行移动直线 3yx? ，求可知当直线过点 (3,1) 时 3xy? 取最大值 10. 【提示】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值 . 【考点】简单线性规划 . 13.【答案】 2 【解析】 ? ? 2 2 22 s i n s i n 2 s i n c o s s i n 22f x x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ?
10、， 令 ? ? 0fx? ，则 2sin2 xx? ，则函数?fx的零点个数即为函数 sin2yx? 与函数 2yx? 图像的交点个数 ， 作出函数图像知，两函数图像的交点有 2 个，即函数 ?fx的零点个数为 2 . 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】将函数进行化简，由 ( ) 0fx? ，转化为两个函数的交点个数进行求解即可 . 【考点】函数和方程之间的关系 . 14.【答案】（ ） 3 （ ） 6000 【解析】（ ）由频率分布直方图知， ? ?1 . 5 2 . 5 2 . 0 0 . 8 0 . 2 0 . 1 1a? ? ? ? ? ? ?，解得 3a? . （ ）消费金额在区间
11、 ? ?0.5,0.9 内的购物者的人数为 ? ?1 0 0 0 0 3 2 . 0 0 . 8 0 . 2 0 . 1 6 0 0 0? ? ? ? ? ?. 【提示】（ ）频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为 1，算出 a 的值 . （ ）先求出消费金额在区间 ? ?0.5,0.9 内的购物者的频率，再求频数 . 【考点】频率分布直方图 15.【答案】 1006 【解析】依题意，在 ABC? 中， 600AB? ， 30BAC? ? ? ， 7 5 3 0 4 5ACB? ? ? ? ? ?，由正弦定理得sin sinBC ABBAC ACB?，即 600s
12、in 30 sin 45BC ?，所以 300 2BC? .在 BCD 中， 30CBD? ? ? ， t a n 3 0 0 2 t a n 3 0 1 0 0 6C D B C C B D? ? ? ? ?. 【提示】设此山高 hm（ ） ，在 BCD 中，利用仰角的正切表示出 BC ，进而在 ABC 中利用正弦定理求得 h . 【考点】正弦、余弦定理 . 【 ;百万教育资源文库 】 16.【答案】（ ） 22( 1) ( 2 ) 2xy? ? ? ? （ ） 【解析】 （ ）由题意设圆心 ? ?1,Cr（ r 为圆 C 的半径 ），则 222122ABr ? ? ?，解得 2r? ， 所
13、以圆 C的方程为 ? ? ? ?221 2 2xy? ? ? ?. （ ）令 0x? ，得 21y?，所以点 ? ?0, 2 1B ? ， 又点 ? ?1, 2C ，所以直线 BC 的斜率为 1BCk ? ，所以圆 C 在点 B 处的切线方程为 ? ?2 1 0yx? ? ? ?，即 ? ?21yx? ? ? ， 令 0y? ，得切线在 x 轴上的截距为21?. 【提示】（ ）确定圆心与半径，即可求出圆 C 的标准方程 . （ ）求出圆 C 在点 B 处切线方程，令 0y? 可得圆 C 在点 C 处切线在 x 轴上的截距 . 【考点】圆的标准方程，圆的切线方程 . 17.【答案】 2 2 2a
14、? 【解析】 当 0a? 时， ? ? 2f x x ax?在 ? ?0,1 上是增函数，所以 ? ? ? ?11g a f a? ? ?，此时 ? ?min 1ga ? ； 当 02a? 时，作出函数 ? ? 2f x x ax?的大致图像如下： 由图易知， ? ? 2f x x ax?在 0,2a?上是增函数，在 ,2aa?上是减函数，在 ? ?,1a 上是增函数，此时，只需比较 2af?与 ?1f 的大小即可 . 【 ;百万教育资源文库 】 由 ? ?12aff?，得 2 122aaaa? ? ? ?，得 2 14a a? ，解得 2 2 2a?或 2a? （舍去） ,且当0 2 2 2
15、a? ? ? 时， ? ?12aff? ；当 2 2 2 2a? ? ? 时， ? ?12aff? （ i ）当 0 2 2 2a? ? ? 时， ? ?12aff?，所以 ? ? ? ?11g a f a? ? ?，此时 ? ?3 2 2 1ga? ? ?； （ ii ）当 2 2 2a?时， ? ?12aff?， 所以 ? ? ? ?1 3 2 22ag a f f? ? ? ?； （ iii ）当 2 2 2 2a? ? ? 时， ? ?12aff?， 所以 ? ? 224aag a f ?，此时 ? ?3 2 2 4ga? ? ?； 当 2a? 时， ? ? 2f x x ax?在 ?
16、 ?0,1 上是增函数，所以 ? ? ? ?11g a f a? ? ?，此时 ? ?min 1ga ? . 综上，当 2 2 2a?时， ? ?min 3 2 2ga ? . 【提示】通过分 0a? ， 0 2 2 2a? ， 2 2 2a?三种情况去函数 fx（ ） 表达式中绝对值符号，利用函数的单调性即得结论 . 【考点】函数的最值 . 三、解答题 18.【答案】（ ） 见 解析 . （ ）离原点 O 最近的对称中心为 ,012?. 【解析】（ ）根据表中已知数据，解得 5, 2, 6A ? ? ? ?，数据补全如下表： x? 0 2 32 2 x 12 3 712 56 1312 si
17、n( )Ax? 0 5 0 5? 0 且函数表达式为 ( ) 5 sin 2 6f x x?. （ ）由（ ）知 ( ) 5 sin 2 6f x x?，因此 ( ) 5 s i n 2 5 s i n 26 6 6g x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 【 ;百万教育资源文库 】 因为曲线 sinyx? 的对称中心为 (,0)k ， k?Z ， 令 2 6xk? ，解得 2 12kx?， k?Z ， 即 ()y gx? 图像的对称中心为 02 12k?， k?Z ，其中离原点 O 最近的对称中心为 ,012?. 【提示】（ ）由五点作图法即可将数据补充完整，写出函数的解析式； （ ）由函数 sin( )y A x?的图像变换可得 ()gx，解得其对称中心即可得解 . 【考点】函数 sin( )y A x?的图像变换 . 19.【答案】 （ ）1212nnnanb? ?或11 (2 79)929 ( )9nnnanb ? ? ? g（ ）1236 2n nnT ?【解析】（ ）由题意有， 1110 45 1002adad ? ? ， 即 112 9 202adad? ? 解得 1 12ad? ?
