1、【 ;百万教育资源文库 】 2015年普通高等学校招生全国统一考试 （福建卷） 数学（文科） 答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 A 【 解析 】 由 (1 + i)+ (2 3 i)= 3 2 i= + iab?，得 3a? ， 2b? .故选： A 【提示】 由复数的加法运算化简等式左边，然后由实部等于实部，虚部等于虚部求得 a ， b 的值 . 【考点】 复数相等的充要条件 2.【答案】 D 【 解析 】 由 22 | M x x? ? ? ， 0,1,2N? ，得 | 2 2 0 , 1 , 2 01 ,M N x x? ? ? ? II 故选： D. 【提示】 直接利用交集及
2、其运算得答案 . 【考点】 交集及其运算 . 3.【答案】 D 【 解析 】 A函数的定义域为 ? ?0,? ，定义域关于原点不对称，故 A为非奇非偶函数 . B函数 exy? 单调递增，为非奇非偶函数 . C cosyx? 为偶函数 . D ( ) e e ( e e ( )x x x xf x f x? ? ? ? ? ? ，则 ()fx为奇函数，故选： D. 【提示】 根据函数奇偶性的定义进行判断即可 . 【考点】 函数奇偶性的判断 ， 余弦函数的奇偶性 . 4.【答案】 C 【 解析 】 模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求 9 , 22 , 2x xxy x? ?的值，若 1x?
3、 ， 不满足条件 2x? ，8y? 输出 y 的值为 8. 故选： C 【提示】 模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求 9 , 22 , 2x xxy x? ?的值，从而得解 . 【考点】 程序框图 . 5.【答案】 C 【 ;百万教育资源文库 】 【 解析 】 直线 1xyab?( 0 0)ab?， 过点 (1,1) ， 111ab?( 0 0)ab?， ， 所以 11 ( ) 2 2 2 4b a b aa b a ba b a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，当且仅当 baab? 即 2ab?时取等号， ab? 最小值是 4，故选： C 【提示】 将 (1,1) 代
4、入直线得： 111ab?，从而 11 ()a b a bab? ? ? ?，利用基本不等式求出即可 . 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用 . 6.【答案】 D 【 解析 】 5sin 13? ，则 ? 为第四象限角， 2 12co s 1 sin 13? ? ?， sin 5tan cos 12? ? ? ? 故选： D 【提示】 利用同角三角函数的基本关系式求出 cos? ，然后求解即可 . 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 . 7.【答案】 A 【 解析 】 (1,2)a?r ， (1,1)b?r ， (1 , 2 )c a bk k k? ? ? ? ?r r r bcrr ，
5、 bcrrg ， 1 2 0kk? ? ? ? ，解得 32k? 故选： A. 【提示】 由题意可得 cr 的坐标，进而由垂直关系可得 k 的方程，解方程可得 . 【考点】 数量积判断两个平面向量的垂直关系 . 8.【答案】 B 【 解析 】 由题意可得 (1,0)B ，把 1x? 代入 1yx?可得 2y? ，即 (1,2)C ，把 0x? 代入 1yx?可得 1y? ，即图中阴影三角形的第 3 个定点为 (0,1) ，令 1 122x? ? ? 可解得 2x? ，即 ( 2,2)D? ， 矩形的面积3 2 6S? ? ? ，阴影三角形的面积 133122S? ? ? ? ， 所求概率 14
6、SP S? 故选： B. 【提示】 由题意易得矩形和三角形顶点的坐标，进而可得面积，由几何概型可得 . 【考点】 几何概型 . 9.【答案】 B 【 ;百万教育资源文库 】 【 解析 】 根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为 2 的直三棱柱，底面的梯形上底 1，下底 2，高为 1， 侧面为 (4 2 ) 2 8 2 2? ? ? ?，底面为 13(2 1) 122? ? ? ? ， 故几何体的表面积为 38 2 2 2 1 1 2 22? ? ? ? ?， 故选： B 【提示】 判断出该几何体是底面为直角梯形，高为 2 的直三棱柱，底面的梯形上底 1，下底 2，高为 1，运用梯形，矩
7、形的面积公式求解即可 . 【考点】 空间位置关系与距离 . 10.【答案】 C 【 解析 】 由约束条件 02 +2 00xyxymx y?画 出可行域如图， 联立 2 2 00xymx y? ? ? ?，解得 22,2 1 2 1mA mm?，化目标函数 2z x y?为 2y x z?，由图可知，当直线过 A时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最大值为 4 2 4 2 22 1 2 1 2 1mmm m m? ? ? ? ?，解得： 1m? . 故选： C 【提示】 由约束条件 画 出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得
8、 m 的值 . 【考点】 简单线性规划 11.【答案】 A 【 解析 】 设 F? 为椭圆的左焦点，连接 AF? ， BF? ，则四边形 AFBF? 是平行四边形， 4 | | | | | | | | 2A F B F A F A F a? ? ? ? ?， 2a? . 取 (0, )Mb， 点 M 到直线 l 的距离不小于 45 ， 【 ;百万教育资源文库 】 22| 4 | 4534b ? ，解得 1b? . 2221311 22cbe aa? ? ? ? ? ? 2221311 22cbe aa? ? ? ? ? ? 椭圆 E的离心率的取值范围是 30,2? ? ? ?故选： A 【提示
9、】 设 F? 为椭圆的左焦点，连接 AF? ， BF? 则四边形 AFBF? 是平行四边形，可得4 | | | | | | | | 2A F B F A F B F A? ? ? ? ?取 (0, )Mb，点 M 到直线 l 的距离不小于 45 ，可得，解得 22| 4 | 4534b ?1b? .再利用离心率计算公式 221cbe aa? ? ?即可得出 . 【考点】 直线与圆锥曲线的关系 . 12.【答案】 B 【 解析 】 对任意 0,2x ?， sin cosk x x x? ，即对任意 0,2x ?， sin2 2k x x? ，当 1k? 时， sin2 2k x x?恒成立，但是
10、对任意 0,2x ?， sin cosk x x x? ，可得 1k? 也成立，所以 “ 对任意 0,2x ?， sin cosk x x x? ”是 “ 1k? ” 的必要而不充分条件 . 故选： B 【提示】 利用二倍角公式化简不等式，三角函数线判断充要条件即可 . 【考点】 充要条件 . 第 卷 二、填空题 13.【答案】 25 【 解析 】 根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为 45 1900 20? ，则应抽取的男生人数是 45 1900 20? 人，故答案为： 25 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求
11、出应抽取的男生人数 . 【考点】 计算题 ， 概率与统计 . 14.【答案】 2 【 解析 】 1 8 0 4 5 7 5 6 0B? ? ? ? ? 由正弦定理可知 sin sinC B BC A? sin 2sinACBC AB? 故答案为 2 【提示】 根据 A? 和 C? 求得 B? ，进而根据正弦定理求得 sin sinAC BCBA? ， 求得 BC . 【考点】 正弦定理 . 15.【答案】 1 【 解析 】 (1 ) (1 )f x f x? ? ?， ()fx关于 1x? 对称， 函数 |( ) 2 )(xaf x a?R xa? 为对称轴， 1a? ， ()fx在 1, )
12、? 上单调递增， ()fx在 ,)m? 上单调递增， m 的最小值为1. 故答案为： 1 【提示】 根据式子 (1 ) (1 )f x f x? ? ?，对称 ()fx关于 1x? 对称，利用指数函数的性质得出： 函数 |( ) 2 )(xaf x a?R， xa? 为对称轴，在 1, )? 上单调递增，即 m 可判断的最小值 . 【考点】 指数函数单调性的应用 . 16.【答案】 9 【 解析 】 由题意可得： a b p? ， ab q? ， 0p? ， 0q? ，可得 0a? ， 0b? ，又 a ， b ， 2- 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得 224b
13、aab? ? 或 224abab? ? . 解 得 41ab?；解 得： 14ab?. 5p a b? ? ? ， 1 4 4q? ? ? ，则 9pq? . 故选： 9 【提示】 由一元二次方程根与系数的关系得到 a b p? ， ab q? ，再由 a ， b ， 2- 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于 a ， b 的方程组，求得 a ， b 后得答案 . 【考点】 等比数列的性质 ， 等差数列的性质 . 三、解答题 【 ;百万教育资源文库 】 17.【答案】 （ ） 3 ( 1) 2na n n? ? ? ? ? （ ） 1 2 3 1 0 2101b b
14、b b? ? ? ? ? 【 解析 】 （ ）设公差为 d ，则 1114( 3 ) ( 6 ) 1 5ada d a d? ? ? ? ? ，解得 1 31ad? ? ，所以 3 ( 1) 2na n n? ? ? ? ?； （ ） 2 2 2 nnnb a n n? ? ? ? ?，所以 2 1 01 2 3 1 0 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 1 0 )b b b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 0 )( 2 2 2 (1 2 1 0 )? ? ? ? ? ? ? ? 102 (1 2 ) (1 1 0 ) 1 0 21011 2 2? ? ? ? ?
15、. 【提示】 建立方程组求出首项与公差，即可求数列 na 的通项公式 ， 2 2 2 nnnb a n n? ? ? ? ?，利用分组求和求 1 2 3 10b b b b? ? ? 的值 . 【考点】 等差数列的性质 . 18.【答案】 （ 1）至少有 1家的融合指数在 7,8 内的概率为 910 . （ 2） 6.05. 【 解析 】 解：（ 1）融合指数在 7,8 内的 “ 省级卫视新闻台 ” 记为 1A ， 2A ， 3A ，融合指数在 4,5) 内的 “ 省级卫视新闻台 ” 记为 1B ， 2B ，从融合指数在 4,5) 和 7,8 内的 “ 省级卫视新闻台 ” 中随机抽取 2 家进
16、行调研的事件为： 12 , AA ， 13 , AA ， 23 , AA ， 11 , AB ， 12 , AB ， 21 , AB ， 22 , AB ， 31 , AB ， 32 , AB ， 12 , BB ，共 10个 . 至少有 1家的融合指数在 7,8 内的事件有 ： 12 , AA ， 13 , AA ， 23 , AA ， 11 , AB ， 12 , AB ，21 , AB ， 22 , AB ， 31 , AB ，共 9个，则至少有 1家的融合指数在 7,8 内的概率为 910 ； （ 2）根据分组统计表求这 20家 “ 省级卫视新闻台 ” 的融合指数的平均数为： 2 8
17、7 34 . 5 5 . 5 6 . 5 7 . 5 6 . 0 52 0 2 0 2 0 2 0? ? ? ? ? ? ? ?. 【提示】 利用列举法列出基本事件，结合古典概型的概率公式进行求解即可 ， 根据平均数的定义和公式进行计算即可 . 【考点】 用样本的数字特征估计总体的数字特征 . 19.【答案】 （ ）抛物线 E 的方程为 2 4yx? . （ ）证明见解析 . 【 解析 】解： （ ）由抛物线定义可得： | | 2 32pAF ? ? ? ，解得 2p? ， 抛物线 E 的方程为 2 4yx? ； （ ）证明： 点 (2, )Am在抛物线 E 上， 2 42m? ，解得 22m? ，不妨取 (2,2 2)A ， (1,0)F ， 【 ;百万教育资源文库 】 直线 AF 的方程： 2 2( 1)yx?，联立22 2( 1)4yxyx? ? ?，化为 22 5 2 0xx? ， 解得 2x? 或 12 ， 1( , 2)2B ? . 又 ( 1,0)G? ， 2 2 0 2 22 ( 1) 3GAk ?， 2 0 2 21 3( 1)2GBk? ? ?， 0GA GBkk?
