1、导入新课导入新课 复习回顾复习回顾 1 .离散型随机变量离散型随机变量 X 的均值的均值 均值反映了离散型随机变量取值的平均水平均值反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2 . 两种特殊分布的均值两种特殊分布的均值 （1）若随机变量）若随机变量X服从两点分布，则服从两点分布，则EX=p. （2）若）若XB(n，p) ，则，则EX=np. n ii i=1 EX =x p 数学期望数学期望是离散型随机变量的一个特征数，是离散型随机变量的一个特征数， 它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示 了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又了随机变量在随机实验
2、中取值的平均值，所以又 常称为随机变量的平均数、均值常称为随机变量的平均数、均值. 今天，我们将对随机变量取值的稳定与今天，我们将对随机变量取值的稳定与 波动、集中与离散的程度进行研究波动、集中与离散的程度进行研究. 2.3.2离散型随机变 量的方差 （1）了解离散型随机变量的方差、标准差的）了解离散型随机变量的方差、标准差的 意义；意义； （2）会根据离散型随机变量的分布列求出方）会根据离散型随机变量的分布列求出方 差或标准差差或标准差. 知识与技能知识与技能 教学目标教学目标 过程与方法过程与方法 了解方差公式了解方差公式“D(a+b)=a2D”，以及以及 “若若(n，p)，则则D=np(
3、1-p)”，并会应用上并会应用上 述公式计算有关随机变量的方差述公式计算有关随机变量的方差 . 情感、态度与价值观情感、态度与价值观 承前启后，感悟数学与生活的和谐之美承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体体 现数学的文化功能与人文价值现数学的文化功能与人文价值. 教学重难点教学重难点 重重 点点 离散型随机变量的方差、标准差离散型随机变量的方差、标准差. 难难 点点 比较两个随机变量的期望与方差比较两个随机变量的期望与方差 的大小，从而解决实际问题的大小，从而解决实际问题 . 思考思考 要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射 击比赛击比赛. 根据以
4、往的成绩记录，根据以往的成绩记录， 第一名同学击中目标靶的环数第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为的分布列为 X1 5 6 7 8 9 10 P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10 第二名同学击中目标靶的环数第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为的分布列为 X2 5 6 7 8 9 P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33 根据已学知识，可以从平均中靶环数来比较两根据已学知识，可以从平均中靶环数来比较两 名同学射击水平的高低，即通过比较名同学射击水平的高低，即通过比较X1和和X2的均值的均值 来比较两名同学射击水平的高低来比较两名同学射击水平的高低.
5、通过计算通过计算 E(X1)=8，E(X2)=8， 发现两个均值相等，因此只根据均值不发现两个均值相等，因此只根据均值不 能区分这两名同学的射击水平能区分这两名同学的射击水平. 思考思考 除平均中靶环数外，还有其他刻画两名除平均中靶环数外，还有其他刻画两名 同学各自射击特点的指标吗？同学各自射击特点的指标吗？ 图图(1)(2)分别表示分别表示X1和和X2的分布列图的分布列图. 比较两比较两 个图形，可以发现，第二名同学的射击成绩更集个图形，可以发现，第二名同学的射击成绩更集 中于中于8环，即第二名同学的射击成绩更稳定环，即第二名同学的射击成绩更稳定. O 5 6 7 10 9 8 P 1 X
6、0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 O 5 6 7 9 8 P 2 X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 (1) (2) 怎样定量刻画随怎样定量刻画随 机变量的稳定性机变量的稳定性? 1.方差方差 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布列为的分布列为 知识要点知识要点 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则则(xi-E(X)2描述了描述了xi(i=1，2，n)相对于相对于 均值均值E(X)的偏离程度的偏离程度. 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值与其均值 EX 的平均偏离程度的平均偏离程度.我们称我们称
7、 DX为随机为随机 变量变量 X 的方差的方差(variance). 其算术平方根其算术平方根 为随为随 机变量机变量X的标准差的标准差(standard deviation). 记为记为 n 2 ii i=1 DX =(x -EX) p DX X 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取 值偏离于均值的平均程度值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则方差或标准差越小，则 随机变量偏离于均值的平均程度越小随机变量偏离于均值的平均程度越小. 说明：随机变量集中的位置是随机变量的均说明：随机变量集中的位置是随机变量的均 值；方差或标准差这种度量指标是一种
8、加权平均值；方差或标准差这种度量指标是一种加权平均 的度量指标的度量指标. 思考思考 随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别? 随机变量的方差是常数随机变量的方差是常数，而，而样本的方差样本的方差是随是随 着样本的不同而着样本的不同而变化变化的，因此样本的方差是随机的，因此样本的方差是随机 变量变量. 对于简单随机样本，随着样本容量的增加，对于简单随机样本，随着样本容量的增加， 样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方 差来估计总体方差差来估计总体方差. 现在，可以用两名同学射击成绩的方差来现在，可以用两名同
9、学射击成绩的方差来 刻画他们各自的特点，为选派选手提供依据刻画他们各自的特点，为选派选手提供依据.由由 前面的计算结果及方差的定义，得前面的计算结果及方差的定义，得 10 2 11 i=5 DX =(i-8) P(X = i)=1.50, 9 2 22 i=5 DX =(i-8) P(X = i)=0.82 因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，因此第一名同学的射击成绩稳定性较差， 第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8 环左右环左右. 知识要点知识要点 2.几点重要性质几点重要性质 （1）若）若X服从两点分布，则服从两点分布，则D(X)=p(1-p);
10、（2）若）若XB(n，p)，则，则D(X)=np(1-p); （3）D(aX+b)=a2D(X). 例题例题1 A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数两台机床同时加工零件，每生产一批数 量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：量较大的产品时，出次品的概率如下表所示： 次品数次品数1 0 1 2 3 概率概率P 0.7 0.2 0.06 0.04 次品数次品数1 0 1 2 3 概率概率P 0.8 0.06 0.04 0.10 问哪一台机床加工质量较好？问哪一台机床加工质量较好？ 解：解： E1=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44, E2=00.8+10.06+20.04+3
11、0.10=0.44. 它们的期望相同它们的期望相同，再比较它们的方差再比较它们的方差 D1=(0-0.44)20.7+(1-0.44)20.2+(2-0.44)2 0.06+(3-0.44)20.04=0.6064, D2=(0-0.44)20.8+(1-0.44)20.06+(2-0.44)2 0.04+(3-0.44)20.10=0.9264. D1 D2 故故A机床加工较稳定机床加工较稳定、质量较好质量较好. 例题例题2 有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下 信息：信息： 甲单位不同职位月工资甲单位不同职位月工资X1/元元 1200 140
12、0 1600 1800 获得相应职位的概率获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资乙单位不同职位月工资X2/元元 1000 1400 1800 2200 获得相应职位的概率获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得根据月工资的分布列，利用计算器可算得 1 EX =1200 0.4 + 1 400 0.3 + 1600 0.2 + 1800 0.1 =1400 2 22 1 DX = (1200-1400) 0.
13、4 + (1400-1400 )0.3 + (1600 -1400 )0.2 2 +(1800-1400) 0. 1= 40 000 2 EX =1 000 0.4 +1 400 0.3 + 1 800 0.2 + 2200 0.1 = 1400 222 2 DX = (1000-1400)0. 4+(1 400-1400)0.3 + (1800-1400)0.2 2 + (2200-1400 )0.l = 160000 . 分析：分析： 因为因为 ，所以两家单位的，所以两家单位的 工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集 中，乙单位不同职位的工资相
14、对分散中，乙单位不同职位的工资相对分散. 这样，如果你希望不同职位的工资差距小一这样，如果你希望不同职位的工资差距小一 些，就选择甲单位；些，就选择甲单位； 如果你希望不同职位的工资差距大一些，就如果你希望不同职位的工资差距大一些，就 选择乙单位选择乙单位. 1212 EX =EX ,DX DX 例题例题3 有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先 集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写 的贺年卡的人数为的贺年卡的人数为X. （1）求随机变量的概率分布；）求随机变量的概率分布； （2）求）求X的数学期望和方差的数
15、学期望和方差. 4 4 11689 P(X =4)=,P(X = 3)=0,P(X = 2)=,P(X =1)=,P(X =0) = A24242424 9861 E(X)= 0+1+2+3 0+4=1 24242424 22222 9861 V(X)=(0-1)+(1-1)+(2-1)+(3-1)0+(4-1)=1 24242424 解：解：（1） 因此因此X的分布列为的分布列为 （2） X X 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 P P 9/249/24 8/248/24 6/246/24 0 0 1/241/24 例题例题3 有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便有一庄家为吸引顾客玩掷
16、骰子游戏，以便 自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾 客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果 得得2或或12，顾客中将，顾客中将30元；如果得元；如果得3或或11，顾客，顾客 中将中将20元；如果得元；如果得4或或10，顾客中将，顾客中将10元；如元；如 果得果得5或或9，顾客应付庄家，顾客应付庄家10元；如果得元；如果得6或或8， 顾客应付庄家顾客应付庄家20元；如果得元；如果得7，顾客应付庄家，顾客应付庄家 30元试用数学知识解释其中的道理元试用数学知识解释其中的道理. 解解 : 设庄家获利的数额为随机变
17、量设庄家获利的数额为随机变量，根据两枚根据两枚 骰子的点数之和可能的结果以及游戏规则可得骰子的点数之和可能的结果以及游戏规则可得 随机变量的概率分布为：随机变量的概率分布为： X -30 -20 -10 10 20 30 P 2/36 4/36 6/36 8/36 10/36 6/36 246810665 E(X)=(-30)+(-20)+(-10)+10+20+30= 3636363636369 因此，顾客每玩因此，顾客每玩36人次，庄家可获利约人次，庄家可获利约 260元，但不确定顾客每玩元，但不确定顾客每玩36人次一定会有些人次一定会有些 利润；长期而言，庄家获利的均值是这一常数，利润；
18、长期而言，庄家获利的均值是这一常数， 也就是说庄家一定是赢家也就是说庄家一定是赢家. 1.熟记方差计算公式熟记方差计算公式 课堂小结课堂小结 n 2 ii i=1 DX =(x -EX) p 2 = E(X-EX) 22 = EX -(EX) 2. 三个重要的方差公式三个重要的方差公式 （1）若）若 X 服从两点分布，则服从两点分布，则 （2）若）若 ，则，则 X B(n,p)DX = np(1-p) DX = p(1-p) 2 (3)D(aX+b) = a DX 3.求离散型随机变量求离散型随机变量X的方差的方差、标准差标准差 的一般步骤：的一般步骤： 理解理解X 的意义的意义，写出写出X
19、可能取的全部值；可能取的全部值； 求求X取各个值的概率取各个值的概率，写出分布列；写出分布列； 根据分布列，由期望的定义求出根据分布列，由期望的定义求出 EX； 根据方差、标准差的定义求出根据方差、标准差的定义求出 、 XDX 1. 某公司有某公司有5万元资金用于投资开发项目，如万元资金用于投资开发项目，如 果成功，一年后可获利果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后，一旦失败，一年后 将丧失全部资金的将丧失全部资金的50%，下表是过去，下表是过去200例类似例类似 项目开发的实施结果：项目开发的实施结果： 则该公司一年后估计可获收益的期望是则该公司一年后估计可获收益的期望是 _（元）（元
20、）. 针对性训练针对性训练 投资成功投资成功 投资失败投资失败 192次次 8次次 答案答案4760 提示：提示：分布列为分布列为 0.6 -2.5 P 192/200 8/192 故故 1928 E = 0.6-2.5= 4760() 200200 元 2.甲、乙两种冬小麦试验品种连续甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单年的平均单 位面积产量如下（单位：位面积产量如下（单位：5t/hm2）表所示：）表所示： 则其中产量比较稳定的小麦品种是则其中产量比较稳定的小麦品种是_ 答案答案甲种甲种 品种品种 第一年第一年 第二年第二年 第三年第三年 第四年第四年 第五年第五年 甲甲 9.8 9.9
21、 10.1 10 10.2 乙乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 3.某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下 发生的概率为发生的概率为0.3，一旦发生，将造成，一旦发生，将造成400万元的损万元的损 失现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，失现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用， 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元万元 和和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生 的概率分别为的概率分别为0.9和和0.85，若预防方案允许甲、乙两，若预防方
22、案允许甲、乙两 种预防措施单独采用，联合采用或不采用，请确定种预防措施单独采用，联合采用或不采用，请确定 预防方案使总费用最少预防方案使总费用最少. （总费用（总费用=采取预防措施的费用发生突发事件损失采取预防措施的费用发生突发事件损失 的期望值）的期望值） 解析解析 不采用预防措施时，总费用即损失期望不采用预防措施时，总费用即损失期望 值为值为4000.3=120（万元）；（万元）； 若单独采取措施甲，则预防措施费用为若单独采取措施甲，则预防措施费用为45 万元，发生突发事件的概率为万元，发生突发事件的概率为10.9=0.1，损失期，损失期 望值为望值为4000.l=40（万元），所以总费用
23、为（万元），所以总费用为45 40=85（万元）；（万元）； 若单独采取预防措施乙，则预防措施费若单独采取预防措施乙，则预防措施费 用为用为30万元，发生突发事件的概率为万元，发生突发事件的概率为10.85=0.15， 损失期望值为损失期望值为4000.15=60（万元），所以总费（万元），所以总费 用为用为3060=90（万元）；（万元）； 若联合采取甲、乙两种预防措施，则预若联合采取甲、乙两种预防措施，则预 防措施费用为防措施费用为4530=75（万元），发生突发事（万元），发生突发事 件的概率为件的概率为(10.9)(10.85)=0.015，损失期望，损失期望 值为值为4000.015
24、=6（万元），所以总费用为（万元），所以总费用为75 6=81（万元）（万元） 综合综合、，比较其总费用可知，比较其总费用可知， 应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总 费用最少费用最少 继续继续 1.填空填空 课堂练习课堂练习 （1）已知已知xB(100,0.5),则则 Ex=_,Dx=_,sx=_. E(2x-1)=_, D(2x-1)=_, s(2x-1)=_. 50 25 5 99 100 10 （1）已知随机变量）已知随机变量x的分布列如上表的分布列如上表,则则E x x 与与D x x的值为的值为( ) A. 0.6和和0.7 B. 1.7
25、和和0.3 C. 0.3和和0.7 D. 1.7和和0.21 （2）已知）已知xB(n，p)，E x x =8，D x x =1.6， 则则n， p的值分别是（的值分别是（ ） A100和和0.08； B20和和0.4； C10和和0.2； D10和和0.8 2.选择选择 x x 1 2 P 0.3 0.7 3.解答题解答题 （1） 一盒中装有零件一盒中装有零件12个，其中有个，其中有9个正个正 品，品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出个次品，从中任取一个，如果每次取出 次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得 正品为止求在取得正品之前已取出次品数的
26、正品为止求在取得正品之前已取出次品数的 期望期望. 分析：涉及次品率；抽样是否放回的问分析：涉及次品率；抽样是否放回的问 题本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率题本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率 将会发生变化，即各次抽样是不独立的如果将会发生变化，即各次抽样是不独立的如果 抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变， 各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件. 解：解：设取得正品之前已取出的次品数为设取得正品之前已取出的次品数为，显显 然然 所有可能取的值为所有可能取的值为0，1，2，3 当当=0时时，即第一次取得正品
27、即第一次取得正品，试验停试验停 止止，则则 P（=0）= 当当=1时时，即第一次取出次品即第一次取出次品，第二次第二次 取得正品取得正品，试验停止试验停止，则则 P（=1）= 4 3 12 9 44 9 11 9 12 3 当当=2时时，即第一即第一、二次取出次品二次取出次品，第第 三次取得正品三次取得正品，试验停止试验停止，则则 P（=2）= 当当=3时时，即第一即第一、二二、三次取出次品三次取出次品， 第四次取得正品第四次取得正品，试验停止试验停止，则则 P（=3）= 所以所以，E= 3299 = 12 11 10220 32191 = 1211 109220 39913 0+1+2+3=
28、 44422022010 继续继续 （2）有一批数量很大的商品的次品率为）有一批数量很大的商品的次品率为 1%，从中任意地连续取出，从中任意地连续取出200件商品，设其中件商品，设其中 次品数为次品数为，求，求E，D 分析：涉及产品数量很大，而且抽查次分析：涉及产品数量很大，而且抽查次 数又相对较少的产品抽查问题数又相对较少的产品抽查问题 解答本题，关键是理解清楚：抽解答本题，关键是理解清楚：抽200件商件商 品可以看作品可以看作200次独立重复试验，即次独立重复试验，即B（200， 1%），从而可用公式：），从而可用公式：E=np，D=npq(这里这里 q=1-p)直接进行计算直接进行计算. 由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品 与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可 以认为各次抽查的结果是彼此独立的以认为各次抽查的结果是彼此独立的 解：解： 因为商品数量相当大，抽因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作件商品可以看作 200次独立重复试验，所以次独立重复试验，所以 B（200，1%） 因为因为E=np，D=npq，这里，这里n=200，p=1%， q=99%， 所以所以, E=2001%=2,D=2001%99%=1.98.
