1、【 ;百万教育资源文库 】 2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（理科）答案解析 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】 1 3B x x? ? ? ?， 1B x x? ? ?R 或 3x? ， 3 4A B x x? ? ? ?R 故选 B 【提示】 由题意，可先解一元二次不等式，化简集合 B ，再求出 B 的补集，再由交的运算规则解出 ABR即可得出正确选项 【考点】集合的基本运算 2.【答案】 D 【解析】 3 + i 3 + i (1 + i ) 2 + 4 i= 1 2 i1 i (1 i ) (1 + i ) 2? ? ?（ ） ，故选 D 【提示】 由题意，可
2、对复数代数式分子与分母都乘以 1i? ，再由进行计算即可得到答案 【考点】复数代数形式的四则运算 3.【答案】 A 【解析】因为 1a? 时直线 1l ： 2 1 0xy? ? ? 与直线 2l ： 2 4 0xy? ? ? 平行， 而当直线 1l ： 2 1 0ax y? ? ? 与直线 2l ： ( 1) 4 0x a y? ? ? ?平行时，只要满足 121a a? ? 即可， 此时， 2a? 或 1，所以可知“ 1a? ”是“直线 1l ： 2 1 0ax y? ? ? 与直线 2l ： ( 1) 4 0x a y? ? ? ?平行”的充分不必要条件 【提示】 运用两直线平行的充要条件
3、得出 1l 与 2l 平行时 a 的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可 【考点】充分条件，必要条件 4.【答案】 A 【解析】把函数 cos2 1yx?的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变）得： 1 cos 1yx?，向左平移 1个单位长度得： 2 cos( 1) 1yx? ? ?，再向下平移 1个单位长度得： 3 cos( 1)yx? 令 0x? ，得：3 0y? ；令 12x?，得： 3 0y? ；观察即得答案为 A选项 【提示】 首先根据函数图像变换的公式，可得最终得到的图像对应的解析式为： 3 cos( 1)yx?，然后将曲线 cos( 1)yx?的图像和余弦曲线
4、 cosyx? 进行对照，可得正确答案 【考点】三角函数的图像 5.【答案】 C 【解析】利用排除法可得选项 C是正确的， 【 ;百万教育资源文库 】 则 ab， 共线，即存在实数 ，使得 ab? 如选项 A： a b a b? ? ? 时， ab， 可为异向的共线向量； 选项 B若 ab? ，由正方形得 a b a b? ? ? 不成立； 选项 D若存在实数 ? ，使得 ab? ， ab， 可为同向的共线向量，此时显然 a b a b? ? ? 不成立 【提示】逐项 分析即可得出 选项 【考点】向量的线性运算 6.【答案】 D 【解析】 1， 2， 3， ， 9 这 9 个整数中有 5 个奇
5、数， 4 个偶数 要想同时取 4 个不同的数其和为偶数，则取法有： 4个都是偶数： 1种； 2个偶数， 2个奇数： 2254CC 60? 种； 4个都是奇数： 45C5? 种 不同的取法共有 66种 【提示】 本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得 4 个偶数时，当取得 4 个奇数时，当取得 2 奇 2 偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法 【考点】排列组合及其应用 7.【答案】 C 【解析】选项 C 显然是错的，举出反例： 1? ， 0， 1， 2， 3， 满足数列 nS 是递增数列，但是 0nS? ，不成立 【提
6、示】 由题意，可根据数列的类型对数列首项的符号与公差的正负进行讨论，判断出错误选项 【考点】命题的判断，等差数列的概念及性质 8.【答案】 B 【解析】 1,OB b OF c? ,PQ MNbckkcb? ? ? ?， 直线 PQ 为： ()by x cc?， C 的两条渐近线为： byxa? 由()by x ccbyxa? ，得： Q ,ac bcc a c a?； 由()by x ccbyxa? -，得： P ,ac bcc a c a? 222 2 2 2,a c bcN c a c a? ?【 ;百万教育资源文库 】 直线 MN 为： 222 2 2 2b c c a cyxc a
7、b c a? ? ? ?， 令 0y 得： Mx = 322cca?，又 2 1 2 2MF F F c?， 3223 M ccx ca?，解之得： 222 32ce a?， 即 62e? 【提示】 确定 PQ MN， 的斜率，求出直线 PQ 与渐近线的交点的坐标，得到 MN 的方程，从而可得 M 的横坐标，利用 2 1 2 2MF F F c?，即可求得 C 的离心率 【考点】双曲线的标准方程，简单的几何性质 9.【答案】 A 【解析】若 2 2 2 3abab? ? ? ，必有 2 2 2 2abab? ? ? ， 构造函数： ? ? 22xf x x?，则 ( ) 2 ln 2 2 0x
8、fx? ? ? ?恒成立，故有函数 ( ) 2 2xf x x?在 0x? 上单调递增，即 ab? 成立 其余选项用同样方法排除，故选 A 【提示】 对于 2 2 2 3abab? ? ? ，若 ab? 成立，经分析可排除 B；对于 2 2 2 3abab? ? ? ，若 ab? 成立，经分析可排除 C， D，从而可得答案 【考点】导数，不等式 10.【答案】 C 【解析】解：如图， ,AE BD? ,CF BD? 依题意， 631 , 2 , , ,33A B B C A E C F B E E F F D? ? ? ? ? ? ?A若存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直，则 ,
9、BD AE BD? ? ?平面 AEC ，从而 ,BD EC? 这与已知矛盾，排除 A； B 若存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直，则 CD? 平面 ABC ，平面 ABC? 平面 BCD ，取 BC中点 M ，连结 ME ， ME BD? ， AEM? 就是二面角 A BD C?的平面角，此角显然存在，即当 A 在底面上的射影位于 BC 的中点时，直线 AB 与直线 CD 垂直，故 B正确； C若存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直，则 BC? 平面 ACD ，从而平面 ACD? 平面 BCD ，即A 在底面 BCD 上的射影应位于线段 CD 上，这是不可能的，排除
10、 C， D，由上所述，可排除 D，故选 B 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】空间中直线与直线之间的位置关 系分析 各个选项即可 【考点】空间位置关系与距离 二、填空题 11.【答案】 1 【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形 故体积等于113 1 2 123? ? ? ? ? 【提示】 由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为 1 和 3 的直角三角形，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是 2，这是三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式得到结果 【考点】由几何体三视图求其体积 12.【答案】 1120 【解析】 Ti， 关系如下图： T 1 12 16
11、 124 1120 i 2 3 4 5 6 【提示】 通过循环框图，计算循环变量的值，当 6i? 时结束循环，输出结果即可 【考点】循环结构的程序框图 13.【答案】 32 【解析】将 2232Sa?， 4432Sa?两个式子全部转化成用 1a ， q 表示的式子， 即 1 1 12 3 31 1 1 1 132 32a a q a qa a q a q a q a q? ? ? ? ? ? ? ?，两式作差得： 2 3 21 1 13 ( 1)a q a q a q q? ? ?，即： 22 3 0qq? ? ? ( 0)q? ， 解之得： 32q? 或 1q? （舍去） 【提示】 经观察，
12、 4 2 3 4 4 23( )S S a a a a?，从而得到 2 3 21 1 13 ( 1)a q a q a q q? ? ?，而 0q? ，从而可得答案 【考点】等比数列的前 n 项和通项公式 14.【答案】 10 【解析】方法一 ： 由等式两边对应项系数相等 即： 545 5 4 3315 5 4 4 31C 0 1 0C C 0aa a aa a a? ? ? ? ? ? 【 ;百万教育资源文库 】 方法二：对等式 5 2 50 1 2 5( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )f x x a a x a x a x? ? ? ? ? ? ? ? ?两边连续对 x 求导三次得
13、：223 4 56 0 6 2 4 (1 ) 6 0 (1 )x a a x a x? ? ? ? ?，再运用赋值法，令 1x? 得： 360 6a? ，即 3 10a? 【提示】由等式两边对应项系数相等可得出答案 【考点】二项式定理，导数的运算 15.【答案】 16? 【解析】设 AMB ?，则 ,AMC ? ? 又 ,AB MB MA? ,AC MC MA? 2( ) ( )A B A C M B M A M C M A M B M C M B M A M A M C M A? ? ? ? ? ? ? ? ， 2 5 5 3 c o s 3 5 c o s (? ? ? ? ? ? ? ?
14、 ? ? ? ? ? ? ?，故答案为 16? 【提示】 设 AMB ?，则 ,AMC ? ? ，再由 ( ) ( )A B A C M B M A M C M A? ? ?以及两个向量的数量积的定义求出结果 【考点】平面向量的数量积运算 16.【答案】 94 【解析】 2C ： 22()42xy ，圆心 (0)4， ，圆心到直线 l： yx 的距离为： 0 ( 4) 222d ?， 故曲线 2C 到直线 l ： yx 的距离为 22d d r d? ? ? ? ?， 另一方面：曲线 1C ： 2y x a ，令 21yx?，得： 12x? ， 曲线 1C ： 2y x a 到直线 l ： y
15、x 的距离的点为 11,24a?， 1 1 1()2 4 42 22aad ? ? ? ? ? ?74a? ?或 94 ， 当 74a? 时直线 yx? 与曲线 1C ： 2y x a?相交，故不符合题意舍去，故答案为： 94 【提示】 先根据定义求出曲线 2C ： 22( 4) 2xy? ? ? 到直线 l ： yx? 的距离，然后根据曲线 1C ： 2y x a?的切线与直线 yx? 平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可 【考点】直线与圆的位置关系 17.【答案】 32a? 【解析】本题按照一般思路，则可分为以下两种情况： 【 ;百万教育资源文库 】 （ 1）2( 1) 1
16、 010axx ax? ? ? ? ? ?，无解；（ 2）2( 1) 1 010axx ax? ? ? ? ? ?，无解，因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题 其实在 0x? 的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负 我们知道：函数 1 ) 1( 1y a x? ， 22 1y x ax? ? 都过定点 1(0, )P ? ，考查函数 1 ) 1( 1y a x? ：令 0y ，得1 ,01M a?，还可分析得： 1a? ，考查函数 22 1y x ax? ? ：显然过点 1 ,01M a?，代入得：21 1011aaa? ? ?，解之得： 32a?
17、或 0a? （舍去），得答案： 32a? 【提示】 分类讨论 ， 我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论 【考点】解含参数的一元二次不等式 三、解答题 18.【答案】（ ） tan 5C? （） 52ABCS ?【解析】（ ） 2cos 03A ?= ， 2 5sin 1 c o s3AA?=， 又 5 c o s s )in in (sC B A C?= sin c o s sin c o sA C C A? 52cos sin33CC?， 整理得： tan 5C （ ）由 tan 5C? 得 ：221 1 1 6c o s s e c 1 t a n 1 5 6C CC? ? ? ?， 2 30s in 1 c o s ,6C
