1、【 ;百万教育资源文库 】 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学 (供理科考生 使用 )答案解析 第 卷 一、 选择题 1.【答案】 D 【解析】 由题意可知 ， | 0 1A B x x x? ? ?或，所以 ( ) | 0 1U A B x x? ? ? .故选 D. 【提示】 先求 AB，再根据补集的定义求 ()U AB . 【考点】 集合的基本运算 2.【答案】 A 【解析】 由 ( 2i)(2 i) 5z ? ? ? ，得 52i 2iz? ，故 2 3iz? .故选 A. 【提示】 把给出的等式两边同时乘以 12i? ，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则 z
2、 可求 . 【考点】 复数的基本性质和运算 3.【答案】 C 【解析】 因为 130 2 1a ? ? ? ，2 1log 03b?，12 1log 3c?12 11log 2c?，所以 c a b? .故选 C. 【提示】 利用指数式的运算性质得到 01a?，由对数的运算性质得到 0b? ， 1c? ，则答案可求 . 【考点】 对数的基本运算 4.【答案】 B 【解析】 由题可知，若 m? ， n? 则 m 与 n 平行、相交或异面，所以 A 错误；若 m? ， n ? ，则 mn? ，故 B 正确；若 m? ， mn? ，则 n ? 或 n ? ，故 C 错误 .若 m? ， mn? ，则
3、 n ? 或 n ? 或 n 与 ?相交，故 D 错误 .故选 B. 【提示】 A.运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断； B.运用线面垂直的性质，即可判断； C.运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断； D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断 . 【考点】 空间直线与直线，直线与平面的位置关系 5.【答案】 A 【解析】 由向量数量积的几何意义可知，命题 p 为假命题；命题 q 中，当 0b? 时， a ， c 一定共线，故命【 ;百万教育资源文库 】 题 q 是真命题 .故 pq? 为真命题 .故选 A. 【提示】 根据向量的有关概念和性质分别判断
4、p ， q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论 . 【考点】 向量的平行与垂直，真假命题的判定 6.【答案】 D 【解析】 这是一个元素不相邻问题，采用插空法， 333424AC? .故选 D. 【提示】 使用 “ 插空法 ” 根据分步计数原理可得结论 . 【考点】 排列组合 7.【答案】 B 【解析】 根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分（ 占柱的 14 ）后余下的部分，故该几何体体积为 12 2 2 2 2 8 4 ? ? ? ? ? ? ? ?.故选 B. 【提示】 几何体是正方体切去两个 14 圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高
5、，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算 . 【考点】 几何体的体积、三视图 8.【答案】 C 【解析】 令 12nnb aa? ，因为数列 12 naa 为递减数列，所以 1 1 11 1 112 2 ( ) 2 12nn nnb a a a a a a db a a? ? ? ? ? ?，所得1 0ad? .故选 C. 【提示】 由于数列 12 naa 为递减数列，可得 11112 212 nnaa adaa? ?，解出即可 . 【考点】 等差数列的基本性质 9.【答案】 B 【解析】 由题可知，将函数 3sin 2 3yx?的图像向右平移 2 个单位长度得到函数 23sin 2 3yx?的
6、图像，令 22 k?22 3x? 22 k? ， k?Z ，即 7 12 12k x k? ? ? ?， k?Z 时，函数单调递增，即函数23sin 2 3yx?的单调递增区间为 7, 12 12kk?， k?Z ，可知当 0k? 时，函数在区间 7,12 12?上单调递增 .故选 B. 【提示】 直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求【 ;百万教育资源文库 】 法求出函数的增区间，取 0k? 即可得到函数在区间 7,12 12?上单调递增，则答案可求 . 【考点】 三角函数的平移及性质 10.【答案】 D 【解析】 因为抛物线 2 2C y px
7、?： 的准线为 2px? ，且点 ( 2,3)A? 在准线上，所以 4p? .设直线 AB 的方程为 2 ( 3)x m y? ? ? ，与抛物线方程 2 8yx? 联立得到 2 8 2 4 1 6 0y m y m? ? ? ?，由题易知 0? ，解得 12m? （舍）或者 2m? ，这时 B 点的坐标为 (8)8, ，而焦点 F 的坐标为 (2)0, ，故 直线 BF 的斜率 8 0 48 2 3BFk ?.故选 D. 【提示】 由题意先求出准线方程 2px? ，再求出 p ，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线 AB 的斜率，再由两点的斜率公式得到方程
8、，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出 BF 的斜率 . 【考点】 抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系 11.【答案】 C 【解析】 当 20x? ? ? 时，不等式转化为 2343xxa x?， 令 2343( ) ( 2 0 )xxf x xx? ? ? ?，则 2448 9 ( 9 ) ( 1 )() x x x xfx xx? ? ? ? ? ? ?， 故 ()fx在 2, 1? 上单调递减，在 (10)?, 上单调递增， 此时有 1 4 3 21a ? ? . 当 0x? 时， ()gx恒成立 . 当 01x?时， 2343xxa x?， 令 2343( ) (0 1 )x
9、xg x xx? ? ?，则 2448 9 ( 9 ) ( 1 )() x x x xgx xx? ? ? ? ? ? ?， 故 ()gx在 (01, 上单调递增，此时有 1 4 3 61a ? ?. 综上， 62a? ? ? . 故选 C. 【提示】 分 0x? ， 01x?， 20x? ? ? 三种情况进行讨论，分离出参数 a 后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对 a 取交集 . 【考点】 函数的导函数、单调区间、最值 12.【答案】 B 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 不妨设 01yx? ? ? .当 12xy? 时， 1 1 1| ( ) ( ) | |
10、 | ( )2 2 4f x f y x y x y? ? ? ? ? ?. 当 12xy? 时， 1| ( ) ( ) | | ( ) ( 1 ) ( ( ) (0 ) ) | | ( ) ( 1 ) | | ( ) (0 ) | 2f x f y f x f f y f f x f f y f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1| 1 | | 0 | ( )2 2 2 4x y x y? ? ? ? ? ? ? ?. 故min 14k ?.故选 B. 【提示】 设 01yx? ? ? ，讨论 当 12xy? 时 和 12xy? 时 的情况， 可得 1 1 1()2 2 4
11、xy? ? ? ?， 求得 mink . 【考点】 函数概念的新定义，不等式的性质 第 卷 二、填空题 13.【答案】 299 【解析】 当 9x? 时， 5y? ，则 | | 4yx?；当 5x? 时， 113y? ，则 4|3yx? ；当 113x? 时， 299y? ， 则 4| | 19yx? ? ? .故输出 299y? . 【提示】 根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件 | | 1yx?，计算输出 y 的值 . 【考点】 程序框图的运算 14.【答案】 23 【解析】 正方形 ABCD 的面积 2 2 4S? ? ? ，阴影部分的面积 1 2311182 (1 ) 2 133S
12、 x d x x x? ? ? ? ? ? ?，故质点落在阴影区域的概率 83 243P? . 【提示】 利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论 . 【考点】 定积分的求解，随机事件的概率 15.【答案】 12 【解析】 取 MN 的中点为 G ，点 G 在椭圆 C 上 .设点 M 关于 C 的焦点 1F 的对称点为 A ，点 M 关于 C 的焦点 2F 的对称点为 B ，则有1 1| | | |2GF AN?，2 1| | | |2GF BN?，所以 12| | | | 2 ( | | | |) 4 1 2A N B N G F G F a? ? ? ? ?.
13、【提示】 画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出 | | | |AN BN? 的值 . 【考点】 椭圆的定义及几何性质 16.【答案】 2? 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 由题知 2 2 22 ( 2 ) 3 ( 4 3 )c a b a b? ? ? ? ?. 2 2 2 2 2 213( 4 3 ) 1 ( 2 ) 4 3 ( 2 )34a b a b a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ，即 252 (2 )4c a b?，当且仅当 2213431ab? ， 即 2 3 6ab?（同号）时， |2 |ab? 取得最大值 85c，此时 240c ? . 223 4
14、 5 1 1 1 1 4 2 288a b c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，当且仅当 34a ， 12b? ， 52c? 时， 3 4 5a b c? 取最小值 2? . 【提示】 首先把： 224 2 4 0a a b b c? ? ? ，转化为 2 2 234 3 (2 )4a b a b? ? ?，再由柯西不等式得到 |2 |ab? ，分别用 b 表示 a ， c ，在代入到 3 4 5a b c? 得到关于 b 的二次函数，求出最小值即可 . 【考点】 基本不等式的基本应用 三、解答题 17.【答案】 （ ） 3a? 2c? （ ） 2327 【解析】 （ ）由 2BA
15、BC? 得， cos 2c a B? ，又 1cos 3B? ，所以 6ac? . 由余弦定理，得 2 2 2 2 co sa c b a c B? ? ? . 又 3b? ，所以 22 9 2 2 13ac? ? ? ? ?.解226 13acac? ?，得 2a? ， 33ca?或 ， 2c? . 因为 ac? ， 3a?， 2c? （ ）在 ABC 中， 22 1 2 2s i n 1 c o s 133BB ? ? ? ? ?. 由正弦定理，得 2 2 2 4 2s in s in3 3 9cCBb? ? ?，又因为 abc? ，所以 C 为锐角， 因此 22 4 2 7c o s 1
16、 s i n 199CC? ? ? ? ?. 于是 1 7 2 2 4 2 2 3c o s ( ) c o s c o s s i n s i n3 9 3 9 2 7B C B C B C? ? ? ? ? ?【提示】 （ ）利用平面向量的数量积运算法则化简 2BABC? ，将 cosB 的值代入求出 6ac? ，再利用余弦定理列出关系式，将 b ， cosB 以及 ac 的值代入得到 2213ac?，联立即可求出 ac 的值； 【 ;百万教育资源文库 】 （ ）由 cos B 的值，利用同角三角函数间基本关系求出 sinB 的值，由 c ， b ， sinB ，利用正弦定理求出 sinC
17、的值，进而求出 cosC 的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值 . 【考点】 两角差的余弦公式 ， 向量的数量积 18.【答案】 （ ） 0.108 （ ） 0.72 【解析】 （ ）设 1A 表示事件 “日销售量不低于 100 个 ”， 2A 表示事件 “日销售量低于 50 个 ”， B 表示事件 “在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个 ” .因此 1( ) ( 0 . 0 0 6 0 . 0 0 4 0 . 0 0 2 ) 5 0 0 . 6PA ? ? ? ? ?， 2( ) 0 .0 0 3
18、5 0 0 .1 5PA ? ? ?， ( ) 0 .6 0 0 .1 5 2 0 .1 0 8PB ? ? ? ? ?. （ ） X 的可能取值为 0， 1， 2， 3， 相应的概率为 ： 033( 0 ) (1 0 .6 ) 0 .0 6 4P X C? ? ? ?， 123( 1 ) 0 .6 (1 0 .6 ) 0 .2 8 8P X C? ? ? ?， 223( 2 ) 0 . 6 (1 0 . 6 ) 0 . 4 3 2P X C? ? ? ?， 333( 3 ) 0 .6 0 .2 1 6P X C? ? ?， 分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为 (3,0.6)XB ，所以期望为
