1、【 ;百万教育资源文库 】 2012年普通高等学校招生全国统一考试 （ 辽宁卷 ） 数学 （供 文科 考 生使用 ）答案解析 第 卷 一 、 选择题 1.【答案】 D 【解析】 21a b x? ? ? ， 1x?， 故选 D。 【 提示 】 由题意， (1, 1)a?， (2, )bx? ，由数量积公式可得到方程 21x?，解此方程即可得出正确选项 。 【 考点 】向量的数量积 2.【答案】 B 【解 析 一】因为全集 ? ?0 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7, , 8 , 9U ? ，集合 ? ?,0 1 3 ,8,5A? ，集合 ? ?,2 4 5 ,8,6B? ，所以
2、? ?2, 4, 6, 7,9UA? ， ? ?0,1,3,7,9U B ? ， 所以 ? ?( 79) ( ) ,UUAB?痧 ， 故选 B 【解析二】集合 ( ) ( )UUAB痧 即为在全集 U 中去掉集合 A 和集合 B 中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，选 B。 【 提示 】 由题已知全集 ? ?0 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7, , 8 , 9U ? ，集合 ? ?,0 1 3 ,8,5A? ，集合 ? ?,2 4 5 ,8,6B? ，可先求出两集合 A ， B 的补集，再由交的运算求出 ( ) ( )UUAB痧 。 【 考点 】集合的交集、补
3、集运算 3.【答案】 A 【解析】 1 1 i 1 i 1 i1 i (1 i ) (1 i ) 2 2 2? ? ? ? ? ? ，故选 A。 【 提示 】 由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项。 【 考点 】复数代数形式的运算 4.【答案】 B 【解析】 4 8 1 1 1( 3 ) ( 7 ) 2 1 0a a a d a d a d? ? ? ? ? ? ?， 2 1 0 1 1 1( ) ( 9 ) 2 1 0a a a d a d a d? ? ? ? ? ? ?， 2 1 0 4 8 16a a a a? ? ? ? ?，故选 B。 【提示】 利用等差
4、数列的性质可得， 2 10 4 8a a a a? ? ? ，可求结果。 【考点】 等差数列的通项公式 【 ;百万教育资源文库 】 5.【答案】 C 【解析】命题 p 为全称命题，所以其否定 p? 应是特称命题，又22 2 1( ) ( ) ( ) 0f x f x x x? ? ?， 否定为? ?2 1 2 1()( ) ( ) 0f x f x x x? ? ?，故选 C。 【 提示 】 由题意，命题 p 是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项。 【考点】 量词的命题的否定 6.【答案】 A 【解析】
5、sin cos 2?， 2(sin cos ) 2? ? ?， sin2 1? ? 故选 A。 【 提示 】 由 sin cos 2?，两边同时平方，结合同角平方关系可求。 【考点】 三角函数中的倍角公式 7.【答案】 C 【解析】圆心坐标为 (1,2) ，将圆平分的直线必经过圆心，故选 C。 【 提示 】 将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由所求直线要将圆平分，得到所求直线过圆心，故将圆心坐标代入四个选项中的直线方程中检验，即可得到满足题意的直线方程。 【考点】 直线和圆的方程 8.【答案】 B 【解析】 21 ln2y x x?， 1yxx? ? ? ，由 0y? ， 解得 x?-1
6、1 ，又 0x? ， 0 x? ?1 ， 故选 B。 【 提示 】 由 21 ln2y x x?得 1yxx? ，由 0y? 即可求得函数 21 ln2y x x?的单调递减区间。 【考点】 利用导数公式以及用导数求函数的单调区间 9.【答案】 D 【解析】画出可行域，根据图形可知当 5x? ， 15y? 时 23xy? 最大，最大值为 55，故选 D。 【提示】该类题通常可以先作图，找到最优解 ， 求出最值，也可以直接求出可行域的顶点坐标，代入目标函数进行验证确定出最值 。 【考点】 简单线性规划问题 10.【答案】 D 【解析】根据程序框图可计算得 4s? ， 1i? ； 1s? ， 2i
7、? ； 23s? ， 3i? ； 32s? ， 4i? ； 4s? ， 5i? ；1s? ， 6i? ，故选 D。 【 提示 】此类题目如果数值较少也可直接算出结果，如果数值很多需要通过计算确定出周期再根据周期确定最后的结果 。 此题中数值的周期为 4. 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】 程序框图中的循环结构 11.【答案】 C 【解析】设线段 AC 的长为 cmx ，则线段 BC 的长为 (12 cm)x? ，那么矩形的面积为 2m(12 c)xx? ， 由 (12 ) 20xx? ，解得 2 10x? 。 又 0 12x? ，所以该矩形面积小于 232cm 的概率为 23 ，故选 C。
8、 【提示】 设 AC x? ，则 12BC x?，由矩形的面积 (12 ) 20S x x? ? ? 可求 x 的范围，利用几何概率的求解公式可求。 【考点】 数模型的应用 ， 不等式的解法 ， 几何概型 12.【答案】 C 【解析】因为点 P， Q的横坐标分别为 4， 2? ， 代人抛物线方程得 P， Q的纵坐标分别为 8， 2.由 2 2xy? ，则 212yx? ， yx?， 所以过点 P， Q的抛物线的切线的斜率分别为 4， 2? ，所以过点 P， Q的抛物线的切线方程分别为 48yx?， 22yx? ? ， 联立方程组解得 1x? ， 4y? ， 故点 A的纵坐标为 4? ， 故选
9、C。 【提示】曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜 率联系到一起，这是写出切线方程的关键 。 【考点】 利用导数求切线方程的方法 第 卷 二、填空题 13.【答案】 12? 【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为 4， 3， 1，圆柱的底面直径为 2，高位 1，所以该几何体的体积为 3 4 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ?。 【提示】 由三视图可知该几何体为上部是一个圆柱，底面直径为 2，高为 1，下部为长方体，长、宽、高分别为 4， 3， 1.分别求体积再相加即可。 【考点】 几何体的三视图 ， 柱体
10、的体积公式 14.【答案】 2 【解析】 212( ) 5n n na a a?， 22 (1 ) 5nna q a q? ? ? ， 22(1 ) 5qq? ? ? ，解得 2q? 或 ， 12q? 。 因为数列为递增数列，且 1 0a? ，所以 1q? ， 所以 2q?。 【提示】 由 ?na 为递增数列且 1 0a? 可知 1q? ，由已知可得 22 (1 ) 5nna q a q?，可求 q 。 【考点】 等比数列的通项公式 15.【答案】 23 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】由双曲线的方程可知 1a? ， 2c? ， 12| | | | 2 2PF PF a? ? ? ?， 2
11、21 1 2 2| | 2 | | | | | 4P F P F P F P F? ? ? ?，12PF PF? ， 22 212 ( 2 ) 8P F P F c? ? ? ?， 122 | | | 4PF PF?， 212( | | | |) 8 4 1 2P F P F? ? ? ? ?，12| | | | 2 3PF PF?。 【提示】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差 积 和的转化 。 【考点】 双曲线的定义 ， 标准方程 16.【答案】 33 【解析】点 P， A， B， C， D为球 O内接长方体的顶点， 球心 O为该长方体对角线的中点 ，所以 OAB? 的面积是该长
12、方体对角面面积的 14 ， 23AB? ， 26PA? ， 6PB?，所以 OAB? 的面积为1 2 3 6=3 34? 。 【提示】该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱锥转化为长方体来考虑就容易多了 。 【考点】 组合体的位置关系 三、解答题 17.【答案】 （ 1）解 ： 由已知 2B A C? ， 180A B C? ? ? ?， 解得 60B?， 所以 1cos 2B? 。 （ 2 ）解法 一 ： 由已知 2b ac? ， 及 1cos 2B? ， 根据正弦定理得 2sin sin sinB A B? ， 所以2 3s i n s i n 1 c o s4
13、A C B? ? ?。 解 法二： 由已知 2b ac? ， 及 1cos 2B? ， 根据 余 弦定理得 22cos 2a c acB ac? ， 解得 ac? ， 所以 60B A C? ? ? ?，故 3sin sin 4AC? 。 【提示】 （ 1） 在 ABC 中，由角 A ， B ， C 成等差数列可知 60B?，从而可得 cosB 的值； （ 2）解法一：由 2b ac? ， 1cos 2B? ，结合正弦定理可求得 sin sinAC的值； 解法二：由 2b ac? ， 1cos 2B? ，根据余弦定理 22cos 2a c acB ac? 可求得 ac? ，从而可得 ABC 为
14、等边三角形，从而可求得 sin sinAC的值。 【考点】数列与三角函数的综合 18.【答案】 （ 1）证 法一： 连结 AB? ， AC? ， 由已知 90BAC? ? ? ， AB AC? ， 三菱柱 ABC ABC? ? ? 是直三菱柱 ， 所以 M 是 AB? 的中点 。又因为 N 是 BC?的中点 ， 所以 MN AC? 。又 MN? 平面 AACC?， 因此 MN【 ;百万教育资源文库 】 平面 AACC?。 证 法二： 取 AB?中点 P ， 连结 MP ， NP 。而 M ， N 分别为 AB? ， BC?的中点 ， 所以 MP 平面 AACC?，PN 平面 AACC?。又 M
15、P NP P? ， 因此平面 MPN 平面 AACC?， 有 MN? 平面 MPN 。因此 MN 平面 AACC?。 （ 2）证明 ： 连结 BN ， 由题意 AN BC? ? ? ， 平面 ABC? ? ? 平面 BBCC BC? ? ? ? ， 所以 AN? ? 平面 BNC 。又1 12A N B C? ? ?， 故 1 1 12 2 6A M N C N A M C N A B C A N B CV V V V? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 【提示】第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明；第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键，也可以采用割补发来球
16、体积 。 【考点】 空间中的线面平行的判定 ， 棱锥体积的计算 19.【答案】 （ 1）解 ： 由频率分布直方图可知，在抽取的 100 人中，“体育迷”为 25人，从而完成 22列联表如下 ： 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 将 22列联表中的数据代入公式计算 ， 得 2 22 1 1 2 2 1 2 2 11 2 1 2() 1 0 0 ( 3 0 1 0 4 5 1 5 ) 1 0 0 3 . 0 3 07 5 2 5 4 5 5 5 3 3n n n n nn n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 因为 3.
17、030 3.841? ，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关。 （ 2）解 ： 由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为 5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为 ? ?1 2 1 3 2 3 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) , ( , )a a a a a a a b a b a b a b a b a b b b? ， ， 其中 ia 表示男性 ， 1,2,3i? 。 jb 表示女性 ， 1,2j? 。 ? 由 10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的。 用 A 表示“任选 2人中，至少有 1人是女性”这一事件，则 【 ;百万教育资源文库 】 ? ?1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2( , ) , ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) , ( , ) , ( , )A a b a b a b a b a b a b b b? ， ， 事件 A 由 7个基本事件组成，因而 7()10PA? 。 【提示】 （ 1） 根据所给的频率分布直方图得出
