全国百强名校“领军考试”2021届高三下学期3月联考文科数学试题含答案.zip

高三文数答案第 1 页 共 8 页 20202021 学年下学期全国百强名校 “领军考试”高三数学（文数）答案与解析 1 【答案】C 【命题意图】本题考查集合的运算；考查数学运算及逻辑推理核心素养. 【解析】因为3, 1,3,5,7A= -, 2 5005Bx xxx xx或=-=,所以AB=3, 1,7,故选 C. 2 【答案】A 【命题意图】本题考查复数的运算及复数的模；考查数学抽象及数学运算核心素养. 【解析】由1i 1i x y 得 ()()() 1 i1i11ixyyy=+= -+,所以 1 01 xy y = - = + ,解得2,1xy= -, 所以ixy= 22 2i215,故选 A. 3 【答案】B 【命题意图】本题考查两角和与差的三角函数公式及特殊角的三角函数值；考查数学运算核心素养. 【解析】 3cos285sin2852cos30 cos2852sin30 sin285 =2cos315=2cos 36045 = 2cos45=2,故选 B. 4 【答案】B 【命题意图】本题考查向量的数量积；考查数学运算及逻辑推理的核心素养. 【解析】因为菱形 ABCD 中1ABBD,所以 60BAD ,因为点 E 为 BC 中点, 则 1 2 AD AEADABBEAD ABADAD = 2 1 1 1 cos6011 2 ,故选 B. 5 【答案】A 【命题意图】本题考查函数的奇偶性及导数的几何意义；考查数学运算及逻辑推理的核心素养. 【解析】 fx的图象关于 y 轴原点对称,则 3 220fxfxax, 所以 2 2,cos21afxxx , sin4fxxx ,所以 02,00f f , 所以 fx的图象在0 x 处的切线方程为2y ,故选 A. 6 【答案】B 【命题意图】本题考查几何概型及基本不等式；考查数学抽象与数学运算的核心素养. 【解析】四边形 ABCD 的面积为 2 22 abab ab ，ADE 是腰为 22 +ab 的等腰直角三角形， 其面积为 22 2 ab ，所以在四边形 ABCD 内任取 1 点， 则该点落在ADE 内的概率为 2222 2 22 1 22 abab abab ，故选 B. 高三文数答案第 2 页 共 8 页 7 【答案】D 【命题意图】本题考查圆与双曲线的几何性质；考查数学运算及逻辑推理核心素养. 【解析】 因为双曲线 C 的渐近线 b yx a 被圆 22 40 xyx截得的线段长为16 5 ,则圆心2,0到渐近线 的距离 5 62 1 2 2 c b a b a b d ,所以35cb, 222 925cca,整理得 2 255 , 164 ee,故选 D. 8 【答案】C 【命题意图】本题考查指数式与对数式大小的比较,考查数学运算及逻辑推理的核心素养. 【解析】由0.89xy 是减函数, 0.89 yx在0,上是增函数,可得 0.980.890.89 00.890.890.981, 由 0.98 logyx是减函数,可得 0.980.98 log0.89log0.981,可得z yx ,故选 C. 9 【答案】A 【命题意图】本题考查异面直线所成的角；考查直观想象及逻辑推理的核心素养. 【解析】如图所示,取 PA 中点 F,连接 DF,EF,由,DEPB及三角形中位线性质可得DEEF, 3 2 DF , 1EF ,DFE是异面直线 AC 与 PB 所成角,且 2 cos 3 EF DFE DE ,故选 A. 10 【答案】D 【命题意图】本题考查解三角形,考查数学运算与逻辑推理的核心素养. 【解析】由余弦定理可得 222 22 cos2 2 bca acbAb bc ,整理得 222 acbac , 所以 222 1 cos 22 acb B ac , 3 sin 2 B ,不失一般性,设5,5,5at cbt0t , 代入 222 acbac 得2t ,所以3,5ac,ABC 的面积为 1 sin 2 acB=15 3 4 ,故选 D. 11 【答案】B 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质；考查数学抽象及直观想象核心素养. 【解析】不失一般性,设直线 AB 的倾斜角为 0 2 , 1 cos p AF 1 cos p BF , 由ABBP得2AFBF,所以2 1 cos1 cos pp ,解得 1 cos 3 , 高三文数答案第 3 页 共 8 页 所以 2 9 1 cos1 cos8 ppp AF BF ,故选 B. 12 【答案】B 【命题意图】本题考查函数的单调性及导数的应用；考查数学运算及逻辑推理核心素养. 【解析】由1x 时 3 2 x f x 且 7 1 3 2 , 可得7,1x 时 3 2 x f x 的图象关于直线3x 对称, 7, 3x 时 2f x ,1x 时 2lnf xx2,且1x 时 f x单调递增, 所以 12 6xx , 12 73, 31xx , 3 1x , 所以 13 f xf x 13 13 2ln4 22 xx ,整理得 1 3 7 ln 22 x x , 由 1 73,x 得 1 7 02 22 x ,又 3 1x , 3 ln0 x ,所以 3 0ln2x, 所以 3 12 ln = + x xx 3 ln1 ,0 63 x ,故选 B 13 【答案】2 + ， 【命题意图】本题考查函数的单调性与值域；考查数学运算及逻辑推理核心素养. 【解析】 fx的定义域为2x x ,且2x 时2yx与 2 610yxx 都是减函数,所以 fx是 减函数, 22fxf,所以 fx的值域为2 + ，. 14 【答案】2,9 【命题意图】本题考查线性规划；考查直观想象与数学运算的核心素养. 【解析】 约束条件 0 230 5120 xy xy xy 表示的可行域是以1, 1 ,2, 2 ,3, 3ABC 为顶点的三角形区域, 设2zxy,则2yxz,当直线2yxz经过点 B 时 z 取得最小值, min 2222z , 当直线2yxz经过点 C 时 z 取得最大值, max 2 339z ,所以2xy的取值范围是2,9. 15 【答案】 11 + 36 ， 【命题意图】本题考查三角变换及三角函数的性质；考查数学运算及逻辑推理核心素养. 【解析】 2 sinsin 63 f xxx = sincos 66 xx 1 sin 2 23 x , 高三文数答案第 4 页 共 8 页 对任意xR, ffxf,则 11 ,= 22 ff , 由3,0 x 可得 62 333 x,所以 3 6 32 ,解得 11 36 . 16 【答案】5 【命题意图】本题考查球的性质及三棱锥的体积；考查直观想象及逻辑推理核心素养. 【解析】取 AB 中点 D,则ODAB,因为平面 ABC平面 ABO,所以OD 平面 ABC,ODDC, 因为OAOBOC,所以DADBDC,所以CACB,因为,CACB所以CDAB, 因为球 O 的半径为 4,且球 O 上的点到平面 ABC 的最大距离为 5,所以1OD , 22 15CDOCOD , 所以三棱锥OABC的体积 11 32 VAB CD OD= 11 2 1515 1=5 32 . 17.【命题意图】本题考查频率分布直方图、独立性检验；考查数据分析及数学建模核心素养. 【解析】(1)设这 100 名学生测试分数的中位数为 a,由前 5 组频率之和为 0.4,前 6 组频率之和为 0.8,可得 8090a, 所以0.4+800.040.5a,82.5a .(3 分) (2)因为 12 2+=0.05pp, 123 0.1ppp, 所以 100 名学生测试分数的平均数为 1212 354555 0.165 0.1 75 0.285 0.4+95 0.2pppp 12 =5.5 10 26.5 1534+19pp =79.5.(7 分) (3)列联表如下： 男生女生 优秀4515 不优秀2515 2 2 100 45 1525 15 1.786 70 30 60 40 K 3.841. 所以没有 95%的把握认为测试优秀与性别有关.（12 分） 18.【命题意图】本题考查等比数列的通项与求和；考查数学运算与逻辑推理的核心素养. 【解析】(1)因为 11 11 2, 22 3 nn n aaa , 1 1 3 nn n ba , 所以 1 1 1 111 111111 1 322 3322 3 111 2 333 nnn nnnn n n nnn nnn aaa b b aaa , 又 11 11ba , 高三文数答案第 5 页 共 8 页 所以数列 n b是首项为 1,公比为 1 2 的等比数列.(6 分) (2)由(1)得 11 11 32 nn nn ba , 所以 11 11 23 n nn a , 所以 2121 111111 11 222333 n nn S = 11 11 11 13137 32 22 11 222 322 11 23 nn nn .(12 分) 19.【命题意图】本题考查垂直关系的证明及三棱锥的体积；考查直观想象与逻辑推理的核心素养. 【解析】(1)因为四边形 ADEF 为正方形,所以DEDA, 由题意可得1,2DEDCCE,所以DEDC,(1 分) 因为DADCD,所以DE 平面 ABCD, 因为DE 平面 ADEF,所以平面 ADEF平面 ABCD.(3 分) 由题意可得ABD 是正三角形,因为点 G 为 AD 中点,所以BGAD, 所以BG 平面 ADEF, 因为HF 平面 ADEF,所以BGHF,(5 分) 因为四边形 ADEF 为正方形,点 G 为 AD 中点,点 H 为 DE 中点, 所以 1 tantan 2 HFEGED,HFEGED . 因为 2 GEFGED,所以 2 GEFHFE,从而HFGE, 因为BGGEE,所以HF 平面 BGE, 因为BE 平面 BGE,所以FHBE.(7 分) (2) B CEGE GBC VV ,(8 分) 由平面 ADEF平面 ABCD,可得三棱锥EGBC的高1DE , 因为,BGADADBC,所以BGBC,(9 分) 又 2 222 13 1 22 BGABAG , 所以GBC 的面积 1133 1 2224 SBGBC , 所以 1133 =1 33412 E GBC VDES 。(12 分) 20 【命题意图】本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系；考查数学运算及逻辑推理的核心素养. 【解析】(1)设 1122 ,A x yB xy,则 1212 2,2xxyy , 高三文数答案第 6 页 共 8 页 且 22 11 22 1 xy ab , 22 22 22 1 xy ab ,两式相减得 2222 1212 22 xxyy ab , 即 2 1212 2 1212 yyyyb xxxxa ,即 2 2 2 3 24 b a ,所以 2 2 3 4 b a ,（3 分） 又直线 l 的方程为 3 11 4 yx ,令0 x ,得 7 4 y , 所以 77 2 164 a,2,3ab, 所以椭圆 C 的方程为 22 1 43 xy .（5 分） (2)由题意得1,0F,直线,PQ MN的方程分别为 12 1 ,1ykxykx, 设 3344 ,P xyQ xy,联立 1 22 1 1 43 ykx xy ,得 2222 111 3484120kxk xk, 所以 2 1 34 2 1 8 34 k xx k ,（7 分） 则 2 11 22 11 43 , 3434 kk G kk ,同理 2 22 22 22 43 , 3434 kk H kk ,（8 分） 所以 12 22 1 2 12 22 1212 22 12 33 3 3434 4 44 3434 GH kk k k kk k kkkk kk ,（9 分） 由 12 1kk 得 11 3 1 4 GH kkk,（10 分） 所以直线 GH 的方程为 2 2 11 11 22 11 343 34434 kk ykkx kk 整理得 2 11 33 1 44 ykkx ,（11 分） 所以直线 GH 过定点 3 1, 4 .（12 分） 21 【命题意图】本题考查函数的极值及导数在不等式中的应用；考查数学运算及逻辑推理核心素养. 【解析】(1)因为 2 13 1 ln + 22 f xaxaxa, 高三文数答案第 7 页 共 8 页 所以 2 11 0 aaxa fxaxx xx ,(1 分) 当1a 时 0fx , f x在0 +，上是增函数, f x没有极值；(2 分) 当0a 时 0fx , f x在0 +，上是减函数, f x没有极值. 当01a时 1 0, a x a 时 0fx , f x是减函数, 1 + a x a ，时 0fx, f x是增函 数,所以 f x有极小值.(5 分) 综上得 a 的取值范围是0,1。(6 分) (2)1x 时,要证 121f xax 即证 2 13 211 ln10 22 axaxaxa ,(7 分) 设 2 13 211 ln1 22 g xaxaxaxa,则 10g,(8 分) 且 2 121111 21 axa xaxaxaa gxaxa xxx ,(9 分) 因为0,1ax,所以10,1110 xaxaaa , 所以 0gx , g x在1+，上是增函数,(10 分) 所以 10g xg,即 121f xax .(12 分) 22 【命题意图】本题考查直线的参数方程、曲线的极坐标方程、直线与圆的位置关系；考查数学运算、数学 抽象的核心素养. 【解析】(1)曲线 1 C的参数方程为 2 4 4 xt yt ,消去参数 t 得 2 40yxx, 所以曲线 1 C的直角坐标方程为 22 40,0 xyxy. (2 分) 由cossina及cos,sinxy, 得曲线 2 C的直角坐标方程为0 xya.(5 分) (2)因为射线 =0 3 与曲线 1 C及曲线 2 C交于同一点 A 且曲线 1 C， 2 C都关于射线 =0 4 对称， 所以曲线 1 C与曲线 2 C另一个交点 B 就是射线 =0 6 与曲线 1 C的交点， 因为2OB ，所以点 B 的极坐标为 2 6 ，.(10 分) 高三文数答案第 8 页 共 8 页 23.【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法及不等式恒成立问题；体现了数学运算、逻辑推理的核心素养. 【解析】(1)当2a 时 2f xx 2 22xxx 2 2 40 x x 或 2 22 20 x xx 或 2 2 40 x x ， 由 2 2 40 x x 得2x ，由 2 22 20 x xx 得20 x 或2x ，由 2 2 40 x x 得2x ， 所以不等式 2f xx的解集为 ,02,.(5 分) (2)当01x时 2f x 即 2 2xax, 即 22 22xxax,即 22 2+2xxaxx , 由01x可得 22 211 20 xx , 2 22xx , 所以02a,即实数 a 的取值范围是0,2.(10 分)