1、10.1.2 复数的几何意义 课标阐释 思维脉络 1.理解用复平面内的点或 以原点为起点的向量表示 复数,及它们之间的一一 对应关系. 2.掌握实轴、虚轴、模等 概念. 3.掌握用向量的模表示复 数的模的方法. 4.理解共轭复数的概念. 激趣诱思 知识点拨 提出虚数这个假设是需要勇气的,人们在最初时还无法接受,认为它 是想象的、不存在的,但这丝毫不影响数学家对虚数的假设和研究. 第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利数学家卡丹,他是 1545年开始讨论这种数的,但是复数被他称为“诡辩量”.几乎过了 100年笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字虚数.但是又 过了140年,欧拉还是说这种数只
2、是存在于“幻想之中”并用 i(imaginary,即虚幻的缩写)来表示它的单位.后来德国数学家高斯给 出了复数的定义,并在1830年详细论述了用直角坐标系的复平面内 的点表示复数a+bi,使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数. 激趣诱思 知识点拨 知识点一:复平面的概念和复数的几何意义 1.复平面的概念 如图所示,点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表 示. 建立了直角坐标系来表示复数的平面也称 为复平面.在复平面内,x轴上的点对应的都 是实数,因此x轴称为实轴;y轴上的点除了原 点外,对应的都是纯虚数,为了方便起见,称y 轴为虚轴. 激趣诱思 知识点拨 2.复
3、数的几何意义 一方面,根据复数相等的定义,复数z=a+bi(a,bR)被它的实部与虚 部唯一确定,即复数z被有序实数对(a,b)唯一确定;另一方面,有序实 数对(a,b)在平面直角坐标系中对应着唯一的点Z(a,b).因此不难发 现,可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系, 即复数z=a+bi点Z(a,b).这是复数的一种几何意义. 激趣诱思 知识点拨 复数还有另外一种几何意义:在平面直角坐标系中的点Z(a,b)能唯 一确定一个以原点O为始点,Z为终点的向量 ,所以复数也可用 向量 来表示,这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中以 O为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系,
4、即复数 z=a+bi向量 =(a,b).这是复数的另一种几何意义. 如图所示,设复平面内的点Z表示复数z=a+bi, 连接OZ,显然向量 由点Z唯一确定;反过来, 点Z(相对于原点来说)也可以由向量 唯一 确定. 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1.复数z=a+bi(a,bR)可用复平面内的点Z(a,b)表示,复 平面内点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi). 2.为了方便,我们常把复数z=a+bi(a,bR)说成点Z(a,b)或说成向量 ,并且规定相等向量表示同一复数. 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.( ) (2)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数
5、都是纯虚数.( ) 答案:(1) (2) 激趣诱思 知识点拨 微练习1 复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:C 解析:z=-1-2i对应点Z(-1,-2),位于第三象限. 激趣诱思 知识点拨 微练习2 已知复数z=i,复平面内对应点Z的坐标为( ) A.(0,1) B.(1,0) C.(0,0) D.(1,1) 答案:A 微练习3 向量a=(1,-2)所对应的复数是( ) A.z=1+2i B.z=1-2i C.z=-1+2i D.z=-2+i 答案:B 激趣诱思 知识点拨 知识点二:共轭复数、复数的模
6、1.共轭复数 一般地,如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则称这两个 复数互为共轭复数.复数z的共轭复数用表示,因此,当 z=a+bi(a,bR)时,有 =a-bi. 显然,在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称;反之,如果 表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称,则这两个复数互为共 轭复数. 激趣诱思 知识点拨 结论: (1)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则 z1,z2互为共轭复数的充要条件是a=c且b=-d. z1,z2互为共轭虚数的充要条件是a=c且b=-d0. 激趣诱思 知识点拨 (2)任一实数的共轭复数是其本身,反之,若z= ,则zR. (3)复数
7、的共轭复数的共轭复数是它本身,即 =z. 激趣诱思 知识点拨 2.复数的模 一般地,向量 =(a,b)的长度称为复数 z=a+bi 的模(或绝对值),复数 z 的模用|z|表示,因此|z|=2+ 2. 可以看出,当b=0时,|z|=2=|a|,这说明复数的模是实数绝对值概念 的推广. 激趣诱思 知识点拨 如图所示,向量 的模 r 叫做复数 z=a+bi(a,bR)的模,由模的定义 可知:|z|=|a+bi|=r=2+ 2(r0,rR),即复数 z 的模为非负实数. 计算复数的模时,应先找出复数的实部与虚部,然后代入公式计算. 一般地,两个共轭复数的模相等,即|z|=|. 激趣诱思 知识点拨 微
8、判断 (1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.( ) (2)若z1,z2C,且z1+z2=0,则z1=z2=0.( ) (3)两个共轭虚数的差为纯虚数.( ) (4)在复平面内,两个共轭复数的对应点关于实轴对称.( ) 答案:(1) (2) (3) (4) 激趣诱思 知识点拨 微练习1 已知复数z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,则实数m的值为( ) A.1或3 B.1 C.3 D.2 答案:A 解析:依题意可得 (-3)2+ (-1)2=2,解得 m=1 或 3,故选 A. 激趣诱思 知识点拨 微练习2 (2020辽宁高二期中)在复平面内,复数z的对应点为(1,-1),则 =
9、 . 答案:1+i 解析:由题可知复数z的对应点为(1,-1),则z=1-i,所以 =1+i. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 复数与点的对应复数与点的对应 例1已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i,其中aR.当复数z在复平面内对应 的点满足下列条件时,求a的值(或取值范围). (1)在实轴上; (2)在第三象限; (3)在直线y=x上. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解:复数z=(a2-1)+(2a-1)i在复平面内对应的点是(a2-1,2a-1). (1)若 z 对应的点在实轴上,则有 2a-1=0,解得 a=1 2; (2)若 z 对应的点在
10、第三象限,则有 2-1 0, 2-1 0,解得-1a 1 2, 即 a 的范围为 -1, 1 2 ; (3)若 z 对应的点在直线 y=x 上,则有 2a-1=a2-1,解得 a=0 或 a=2. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 例2试确定在复平面内,满足下列条件的复数z=x+yi(x,yR)对应的 点的集合分别是什么图形. (1)y=2; (2)1x4; (3)x=y; (4)|z|5. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解:(1)复数z对应点的坐标是(x,y),而y=2,所以点的集合是一条与实 轴平行的直线. (2)复数对应的点为(x,y),而1x4,
11、所以点的集合是夹在垂直于实 轴的两条直线之间的一个带形区域(含两条边界直线). (3)复数对应的点是(x,y),而x=y,所以点的集合是一条直线,它是复平 面的第一、三象限的平分线. (4)复数对应的点是(x,y),而|z|5的集合是一个以原点为圆心,半径 等于5的圆的内部,包含圆的边界. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 (1)确定复数对应的点在复平面内的位置时,关键是理解 好复数与该点的对应关系,复数的实部就是该点的横坐标,复数的 虚部就是该点的纵坐标,据此可建立复数的实部与虚部应满足的条 件,通过解方程或不等式求解. (2)确定复数对应点的集合的图形时,首先根
12、据复数与点的对应关系 找出点的横坐标、纵坐标之间的关系,再结合平面解析几何的相关 知识确定图形形状. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 在复平面内,将复数改为“z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i”,对应 点满足: (1)在虚轴上; (2)在第二象限; (3)在直线y=x上. 分别求实数m的取值范围. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解:复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为m2-m-2,虚部为m2-3m+2. (1)由题意得m2-m-2=0. 解得m=2或m=-1. (2)由题意得 2-2 0, -1 2 或 1, -1m
13、1.即m的取值范围为(-1,1). (3)由已知得m2-m-2=m2-3m+2.m=2. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 复数与向量的对应复数与向量的对应 例 3 向量1 对应的复数是 5-4i,向量2 对应的复数是-5+4i,则 1 + 2 对应的复数是( ) A.-10+8i B.10-8i C.0 D.10+8i 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案:C 解析:因为向量1 对应的复数是 5-4i,向量2 对应的复数是-5+4i, 所以1 =(5,-4),2 =(-5,4), 所以1 + 2 =(5,-4)+(-5,4)=(0,0), 所以1 + 2
14、 对应的复数是 0. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 (1)以原点为起点的向量对应的复数等于它的终点对应 的复数;向量平移后,此向量表示的复数不变,但平移前后起点、终 点对应的复数要改变. (2)复数的模从几何意义上来讲,表示复数对应的点到原点的距离, 类比向量的模,可以进一步引申|z-z1|表示点Z到点Z1之间的距离.如 |z-i|=1表示点Z到点(0,1)之间的距离为1. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 1在复平面内画出下列复数对应的向量,并求出各复数的模. z1=1-i;z2=-1 2 + 3 2 i;z3=-2;z4=2+2i
15、. 解:在复平面内分别画出点 Z1(1,-1),Z2-1 2 , 3 2 ,Z3(-2,0),Z4(2,2), 则向量1 =(1,-1),2 = - 1 2 , 3 2 ,3 =(-2,0),4 =(2,2)分别为复 数 z1,z2,z3,z4对应的向量,如图所示. 各复数的模分别为:|z1|= 12+ (-1)2= 2; |z2|= - 1 2 2 + 3 2 2 =1; |z3|= (-2)2=2; |z4|=22+ 22=22. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 复数的模及其计算复数的模及其计算 例4(1)若复数z对应的点在直线y=2x上,且|z|= ,则复数z=( )
16、 A.1+2i B.-1-2i C.12i D.1+2i或-1-2i (2)设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1|z2|,则实数a的取值范围是( ) A.(-,-1)(1,+) B.(-1,1) C.(1,+) D.(0,+) 5 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案:(1)D (2)B 解析:(1)依题意可设复数 z=a+2ai(aR), 由|z|=5,得2+ 42= 5, 解得 a=1,故 z=1+2i 或 z=-1-2i. (2)因为|z1|=2+ 4,|z2|=4 + 1 = 5, 所以2+ 4 5,即 a2+45,所以 a21, 即-1a1. 探究一 探
17、究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 (1)复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距 离; (2)求复数的模时,应先确定复数的实部与虚部,再套用复数模的计 算公式计算求解; (3)若两个复数相等,它们的模一定相等;反之,两个复数的模相等,这 两个复数不一定相等; (4)两个复数不一定能比较大小,但复数的模一定可以比较大小. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 2(1)若复数 z=2-1 +2+(a 2-a-6)i 是实数,则 z1=(a-1)+(1-2a)i 的模为 . (2)(2020山西太原高一检测)设复数z满足|z-1|=|z-i|(i为虚数单
18、位),z 在复平面内对应的点为(x,y),则( ) A.y=-x B.y=x C.(x-1)2+(y-1)2=1 D.(x+1)2+(y+1)2=1 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案:(1)29 (2)B 解析:(1)z为实数, a2-a-6=0, a=-2或a=3. 当a=-2时,z无意义.当a=3时, z1=2-5i,|z1|=29. (2)设z=x+yi(x,yR),|z-1|=|z-i|, |x+yi-1|=|x+yi-i|,即(x-1)2+y2=x2+(y-1)2,化简得y=x.故选B. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 共轭复数及其应用共轭
19、复数及其应用 例5已知x-1+yi与i-3x是共轭复数,求实数x与y的值. 思路分析根据共轭复数及复数相等的概念列方程组求x,y. 解:i-3x的共轭复数为-3x-i, 所以x-1+yi=-3x-i, 即 -1 = -3, = -1, 解得 = 1 4 , = -1. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 复数 z 的共轭复数用来表示,即若 z=a+bi(a,bR),则 =a-bi(a,bR).在复平面内,点 Z(a,b)对应复数 z=a+bi(a,bR);点 (a,-b)对应复数=a-bi(a,bR),点 Z 和关于实轴对称. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成
20、 当堂检测 变式训练 3(多选题)(2020江苏高二期中)下列关于复数的说法中, 正确的是( ) A.复数z=a+bi(a,bR)是实数的充要条件是b=0 B.复数z=a+bi(a,bR)是纯虚数的充要条件是b0 C.若z1,z2互为共轭复数,则在复平面内它们所对应的点关于实轴对 称 D.若z1,z2互为共轭复数,则在复平面内它们所对应的点关于虚轴对 称 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案:AC 解析:复数z=a+bi(a,bR)是实数的充要条件是b=0,故A正确;若复 数z=a+bi(a,bR)是纯虚数,则a=0且b0,故B错误;若z1,z2互为共轭 复数,设z1=a+
21、bi(a,bR),则z2=a-bi(a,bR),所对应的点的坐标分别 为(a,b),(a,-b),这两点关于实轴对称,故C正确,D错误.故选AC. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 与复数的模有关的直观想象、数学抽象问题与复数的模有关的直观想象、数学抽象问题 典例已知复数z=3+ai,且|z|4,求实数a的取值范围. 思路分析由题目可获取以下主要信息: 已知复数及其模的范围; 求复数虚部的取值范围. 解答本题可利用模的直观想象求解. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解:(方法一)z=3+ai(aR), |z|=32+ 2, 由已知得 32+a242,a27,a(-7,7). (方法二)利用复数的几何意义,由|z|4知,z在复平面内对应的点在 以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包括边界), 由z=3+ai知z对应的点在直线x=3上, 所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合, 由 32+y2=42得 y=7,A(3,7),B(3,-7). 由图可知:-7az2 B.z1|z2| D.|z1|z2| 答案:D 解析:不全为实数的两个复数不能比较大小,排除选项 A,B.又 |z1|=52+ 32,|z2|=52+ 42,|z1| 0, 2- 0, 解得 m3,或 m0, 实数 m 的取值范围为(-,0)(3,+).
