1、10.2.1 复数的加法与减法 课标阐释 思维脉络 1.熟练掌握复数的代数形式的 加、减法运算法则. 2.理解复数加、减法的几何意 义,能够通过直观想象去解题. 激趣诱思 知识点拨 随着虚数的产生,数系得到了进一步的扩充.同时,随着科学技术的 进步,逐步建立起来的复变函数理论在研究堤坝渗水问题、建设大 型水电站等领域也有广泛的应用.而复变函数理论中离不开复数的 加、减、乘、除运算.1747年,法国著名的数学家达朗贝尔(1717 1783)指出,如果按照多项式的四则运算法则对虚数进行运算,那么 运算的结果总是a+bi的形式,其中a,b都是实数.他开创了复数四则 运算的先河. 激趣诱思 知识点拨
2、知识点一:复数的加法与减法的运算法则 1.复数的加、减法法则 一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),称 z1+z2为z1与z2的和,并规 定z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i, 由复数和的定义可知,两个共轭复数的和一定是实数. 一般地,复数z=a+bi(a,bR)的相反数记作-z,并规定 -z=-(a+bi)=-a-bi. 复数z1减去z2的差记作z1-z2,并规定z1-z2=z1+(-z2). 一般地,如果z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i. 激趣诱思
3、知识点拨 2.复数加法运算律 复数的加法运算满足交换律与结合律,即对任意复数z1,z2,z3,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 名师点析 1.复数加(减)法的规定:实部与实部相加(减),虚部与虚部 相加(减),两个复数的和(差)仍然是一个复数,复数的加(减)法可以 推广到多个复数相加(减),即几个复数相加(减),只需把复数的所有 实部相加(减),所有的虚部相加(减). 2.若z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),当b=d=0时,与实数的加减法一致. 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)复数加法运算符合实数加法的运算律.( ) (2)复数与复数
4、相加减后结果只能是实数.( ) (3)一个复数减去另一个复数等于这个复数加上另一个复数的相反 数.( ) 答案:(1) (2) (3) 激趣诱思 知识点拨 微练习1 已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2等于( ) A.8i B.6 C.6+8i D.6-8i 答案:B 微练习2 已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于( ) A.0 B.2i C.6 D.6-2i 答案:D 激趣诱思 知识点拨 知识点二:复数加法、减法的几何意义 1.复数加法、减法的几何意义 如果复数 z1,z2对应的向量分别为1 与2 ,则当1 与2 不共线 时,以OZ1,OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1
5、ZZ2,则z1+z2所对应的向 量就是 ,如图所示. 激趣诱思 知识点拨 如果复数 z1,z2对应的向量分别为1 ,2 ,设点 Z 满足 = 21 , 则 z1-z2所对应的向量就是 ,如图所示. 2.性质 由复数加法、减法的几何意义可以得出|z1|- |z2|z1z2|z1|+|z2|. 激趣诱思 知识点拨 微思考 复平面内两点间距离公式及复数形式的基本图形有哪些?请举例 说明. 提示: 设复数z1,z2对应的两点Z1,Z2的距离为d,由复数减法的几何 意义,可得复平面内两点间的距离公式d=|z1-z2|.|z-z1|=r(r0)表示 复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心,半径为r的圆
6、.|z- z1|=|z-z2|,表示以复数z1,z2的对应点为端点的线段的垂直平分线. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 在复平面内,复数 1+i 与 1+3i 分别对应向量 和 ,其中 O 为坐标 原点,则| |等于( ) A.2 B.2 C.10 D.4 答案:B 解析:(方法一)易知 A(1,1),B(1,3),故| |= (1-1)2 + (1-3)2=2; (方法二)| |=| |=|2i|=2. 激趣诱思 知识点拨 微练习2 若在复平面上的ABCD 中, 对应的复数为 6+8i, 对应的复数为 -4+6i,则 对应的复数是 . 答案:-1-7i 解析:由复数加、减法的几何意义可得 =
7、1 2 ( ),其对应的 复数为1 2(-6-8i+4-6i)=-1-7i. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 复数的加法、减法运算复数的加法、减法运算 例1计算:(1)(1+3i)+(-2+i)+(2-3i); (2)(2-i)-(-1+5i)+(3+4i); (3)(a+bi)-(3a-4bi)+5i(a,bR). 解:(1)原式=(-1+4i)+(2-3i)=1+i. (2)原式=(3-6i)+(3+4i)=6-2i. (3)原式=(-2a+5bi)+5i=-2a+(5b+5)i. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 复数的加法、减法运算 (1)复数的加法、减
8、法运算类似于合并同类项,实部与实部合并,虚 部与虚部合并,注意符号是易错点; (2)复数的加法、减法运算的结果仍是复数; (3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的 混合运算; (4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1计算: (1)(-2 + 3i)-(3 2)+(3 + 2)i; (2)(a+b)+(a-b)i-(a-b)-(a+b)i(a,bR); (3)(i2+i)+|3-i|+(i-2). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:(1)(-2 + 3i)-(3 2)+(3 + 2)i =-2
9、-(3 2)+3-(3 + 2)i =-3 2i. (2)(a+b)+(a-b)i-(a-b)-(a+b)i =(a+b)-(a-b)+(a-b)+(a+b)i =2b+2ai. (3)(i2+i)+|3-i|+(i-2) =(-1+i)+ (-1)2+ (3)2+(-2+i) =-1+i+2-2+i =-1+2i. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 复数加法、减法运算的几何意义复数加法、减法运算的几何意义 例2已知平行四边形ABCD的顶点A,B,D对应的复数分别为 1+i,4+3i,-1+3i.试求: (1) 对应的复数; (2) 对应的复数; (3)点 C 对应的复数. 探究一
10、探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:(1)设坐标原点为 O,则有 = , 所以 对应的复数为(-1+3i)-(1+i)=-2+2i. (2) = , 所以 对应的复数为(4+3i)-(-1+3i)=5. (3)由于四边形 ABCD 是平行四边形,所以 = . 由(1)知 =-2+2i,而 = , 所以 对应的复数为(-2+2i)+(4+3i)=2+5i, 这就是点 C 对应的复数. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则 是复数加法、减法几何意义的依据.利用向量加法“首尾相接”和向 量减法“指向被减向量”的特点,在三角形内可求得
11、第三个向量及其 对应的复数.注意向量 对应的复数是zB-zA(终点对应的复数减起 点对应的复数). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2在复平面内,A,B,C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i, 以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求点D对应的复数z4及AD 的长. 解:如图所示. 对应复数 z3-z1, 对应复数 z2-z1, 对应复数 z4-z1. 由复数加减运算的几何意义,得 = + , z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1), z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i. AD 的长为| |=|z4-z1|
12、=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=210. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 复数模的最值问题复数模的最值问题 例3(1)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是( ) A.1 B.1 2 C.2 D.5 (2)若复数 z 满足|z+3+i|1,求|z|的最大值和最小值. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (1)答案:A 解析:设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3, 因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2, 所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最
13、小值,因为 |Z1Z3|=1. 所以|z+i+1|min=1. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2)解:如图所示, | |= (-3)2 + (-1)2=2. 所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 (1)|z1-z2|表示复平面内复数z1,z2对应的点Z1与Z2之间的 距离.在应用时,要注意绝对值符号内应是两个复数差的形式; (2)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公 式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 已知
14、|z|=1且zC,求|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值. 解:因为|z|=1且zC,作图如下: 所以|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的 距离, 所以|z-2-2i|的最小值为|OP|-1=22-1. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3设z1,z2C,|z1|=1,|z2|=2,求|z1+2z2|的最大值. 解:设 z1,z2,z1+2z2对应的向量分别为1 ,2 , , 因为|z1|=1,|z2|=2, 所以|1 |=1,|2 |=2, = 1 +22 . 由向量的加法法则可知,当向量1 ,2 方向相同时, = 1 +22 的模最
15、大, 最大值为| |=|1 |+2|2 |=5, 所以|z1+2z2|的最大值为 5. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 |z-z0|(z,z0C)几何意义的应用几何意义的应用 |z-z0|(z,z0C)的几何意义是将模长问题转化为距离问题,将看上去 抽象的有关复数模的表达式,转化为直观形象的图形问题,体现了 “数学探索”的核心素养. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 典例已知zC,指出下列等式所表示的几何图形: (1)|z+1+i|=1; (2)|z-1|=|z+2i|. 解:(1)表示以点(-1,-1)为圆心,以1为半径的圆. (2)以点(1,0),(0,-2)为端点的
16、线段的垂直平分线. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛1.|z-z0|(z,z0C)的几何意义 设复数z,z0在复平面内分别对应点A,B,则|z-z0|(z,z0C)的几何意义 是点A到点B的距离. 2.|z-z0|(z,z0C)几何意义的应用 (1)判断点的集合. (2)利用几何知识解决代数问题. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是( ) A.-2 B.4 C.3 D.-4 答案:B 解析:z=1-(3-4i)=-2+4i,z的虚部是4,故选B. 2.已知复数z满足z-2i=1(其中i为虚数单位),则|z|=( )
17、 A.1 B.2 C.3 D.5 答案:D 解析:由 z-2i=1,得 z=1+2i, |z|=12+ 22= 5.故选 D. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.已知xR,yR,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),则 x= ,y= . 答案:6 11 解析:x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i. + 4 = -1, + = 3-1, 解得 = 6, = 11. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.如果一个复数与它的模的和为 5+3i,那么这个复数 是 . 答案:11 5 + 3i 解析:设这个复数为 x+yi(x,yR), x+yi+
18、2+ 2=5+3i, + 2 + 2= 5, = 3, = 11 5 , = 3, x+yi=11 5 + 3i. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5.计算: (1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i); (2) 1 3 + 1 2 i +(2-i)- 4 3 - 3 2 i ; (3)已知z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2. 解:(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i) =-7i+5-9+8i+3-2i =(5-9+3)+(-7+8-2)i=-1-i. (2) 1 3 + 1 2 i +(2-i)- 4 3 - 3 2 i =1 3 + 1 2i+2-i- 4 3 + 3 2i = 1 3 + 2- 4 3 + 1 2 -1 + 3 2 i =1+i. (3)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i, z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.
