1、11.3.1 平行直线与异面直线 课标阐释 思维脉络 1.能用平行线的传递性和等角 定理解决一些简单的相关问题. 2.理解异面直线的定义,会判断 两直线异面. 3.理解空间四边形并能解决与 其相关的一些问题. 激趣诱思 知识点拨 如图,在长方体ABCD-ABCD中,BBAA,DDAA,BB与DD平 行吗?AD与BB又是什么关系呢? 激趣诱思 知识点拨 知识点一:平行直线与等角定理 1.平行直线 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. (2)平行于同一条直线的两条直线互相平行,也称空间平行线的传递 性. 2.等角定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同, 那么
2、这两个角相等. 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1.等角定理中要注意: (1)角的两边对应平行;(2)角的方向相同. 2.此定理也称空间等角定理.它可以用来证明空间两角相等,它是研 究空间两条直线位置关系的基础. 3.由这个定理可以推出:如果两条相交直线和另外两条相交直线分 别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 激趣诱思 知识点拨 微思考 如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行,且方向都相反, 那么这两个角的大小关系怎样?若方向一个相同一个相反呢? 提示:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且方向相反, 那么这两个角相等;方向一同一反时,这两个角互补. 激趣诱思 知识点拨
3、 微练习1 已知空间两个角,且与的两边对应平行,=60,则为( ) A.60 B.120 C.30 D.60或120 答案:D 解析:与的两边对应平行,与相等或互补,故为60或 120. 激趣诱思 知识点拨 微练习2 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为棱A1C1,B1C1,B1B的中点, 则EFG与ABC1( ) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.关系不确定 答案:B 激趣诱思 知识点拨 微练习3 如图,AA是长方体ABCD-ABCD的一条棱,那么长方体中与AA平 行的棱共有 条. 答案:3 解析:四边形ABBA,ADDA均为长方形, AABB,AADD. 又四边形B
4、CCB为长方形,BBCC,AACC. 故与AA平行的棱共有3条,它们分别是BB,CC,DD. 激趣诱思 知识点拨 知识点二:异面直线 1.异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线. 2.异面直线的画法: 为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平 面来衬托,如图所示. 3.异面直线的一种判断方法:与一个平面相交于一点的直线与这个 平面内不经过交点的直线异面. 激趣诱思 知识点拨 微练习 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系: (1)直线D1D与直线D1C的位置关系是 . (2)直线AB与直线B1C的位置关系是 . 答案:(1)相交 (2)
5、异面 激趣诱思 知识点拨 知识点三:空间四边形 空间四边形可以看成由一个四面体的4条棱构成的图形. 激趣诱思 知识点拨 微练习 如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求 证:四边形EFGH是平行四边形. 激趣诱思 知识点拨 证明:连接BD. 因为EH是ABD的中位线, 所以EHBD,且EH= BD. 同理,FGBD,且FG= BD. 因此EHFG. 又EH=FG,所以四边形EFGH为平行四边形. 1 2 1 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 空间平行线的传递性的应用空间平行线的传递性的应用 例1如图所示,在正方体ABCD-ABCD中,E,F
6、,E,F分别是 AB,BC,AB,BC的中点,求证:EEFF. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 证明:因为E,E分别是AB,AB的中点, 所以BEBE,且BE=BE. 所以四边形EBBE是平行四边形. 所以EEBB,同理可证FFBB. 所以EEFF. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 在例1中,若M,N分别是AD,CD的中点,求证:四边形 ACNM是梯形. 证明:如图所示,连接AC, 因为M,N分别是AD,CD的中点, 所以 MNAC,且 MN=1 2AC. 由正方体的性质可知:ACAC,且 AC=AC. 所以 MNAC,且 MN=1 2AC, 所以四边形 AC
7、NM 是梯形. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等角定理的应用等角定理的应用 例2已知E,E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中点.求 证:BEC=B1E1C1. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:如图所示,连接EE1, 因为E1,E分别为A1D1,AD的中点, 所以A1E1AE. 所以四边形A1E1EA为平行四边形, 所以A1AE1E. 又因为A1AB1B, 所以E1EB1B, 所以四边形E1EBB1是平行四边形, 所以E1B1EB.同理E1C1EC. 又BEC与B1E1C1对应边方向相同, 所以BEC=B1E1C1. 探究一 探究二 探究
8、三 素养形成 当堂检测 变式训练 1空间中有一个A的两边和另一个B的两边分别平 行,A=70,则B= . 答案:70或110 解析:因为A的两边和B的两边分别平行,所以A=B或 A+B=180. 又A=70,所以B=70或110. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 异面直线的判断异面直线的判断 例3 如图,已知正方体ABCD-ABCD.哪些棱所在直线与直线BA是 异面直线? 解:由异面直线的定义可知,棱AD,DC,CC,DD,DC,BC所在直线分 别与直线BA是异面直线. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 判断两直线是不是为异面直线,只需判断它们是否相交、 平行.
9、只要既不相交,也不平行,就是异面直线. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2如图是一个正方体的展开图,如果将它还原成正方体, 那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对? 分别是哪几对? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:还原的正方体如图所示.有三对,分别为AB与CD,AB与GH,EF与 GH. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.若空间两条直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是( ) A.共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面 答案:D 解析:若直线a和b共面,则由题意可知ab;若a和b不共面,则由题意 可知a与b是异
10、面直线. 2.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关 系是( ) A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交 答案:B 解析:由直观想象知,它和另一条直线相交或异面. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 对. 答案:6 解析:如图所示, 在长方体AC1中,与体对角线AC1成异面直线的是 A1D1,BC,BB1,DD1,A1B1,DC,所以组成6对异面直线. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.如图所示,在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有 对. 答案:3 解析:AP与BC异面,BP与AC异面,PC与AB异面. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,BB1,DD1的 中点.求证:BGC=FD1E. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:因为E,F,G分别是正方体的棱CC1,BB1,DD1的中点, 所以CEGD1,BFGD1. 所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形. 所以GCD1E,GBD1F. 因为BGC与FD1E的两边分别对应平行,并且方向相同, 所以BGC=FD1E.
