1、11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 课标阐释 思维脉络 1.理解柱体、锥体和台体体积 公式的推导,利用“祖暅原理”将 空间问题转化为平面问题. 2.了解球的体积公式,会计算球 的体积. 3.熟练运用体积公式求多面体 和简单旋转体的体积. 4.掌握柱体、锥体、台体体积 公式之间的关系,了解求几何体 体积的几种技巧. 激趣诱思 知识点拨 祖暅是我国南北朝时期的数学家,是祖冲之的儿子.他提出了一条 原理:“幂势既同,则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积,“势” 指高.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平 截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.祖暅不仅首次明确 提出了这一原
2、理,还成功地将其应用到球体积的推算上.我们把这 条原理称为祖暅原理.这一原理在西方文献中称为“卡瓦列里原理”, 由意大利数学家卡瓦列里(15981647年)独立提出,对微积分的建 立有重要影响. 激趣诱思 知识点拨 知识点一:祖暅原理 1.祖暅原理“幂势既同,则积不容异”,即“夹在两个平行平面间的两 个几何体,如果被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的 面积总相等,那么这两个几何体的体积一定相等”. 2.作用:等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等. 3.说明:祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想,是推 导柱、锥、台体积公式的理论依据. 激趣诱思 知识点拨 微思考 运用祖暅原
3、理来证明两个几何体的体积相等,需要几个条件?分别 是什么? 提示:需要三个条件,分别是: 这两个几何体夹在两个平行平面之间. 平行于两个平行平面的每一个平面可截得两个截面. 两个截面的面积总相等. 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)等底等高的两个柱体的体积相同.( ) (2)等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的9倍.( ) (3)在三棱柱A1B1C1-ABC中,有 ( ) 答案:(1) (2) (3) VA-A1BC= VB1-A1C1B= VC1-A1BC 激趣诱思 知识点拨 知识点二:柱、锥、台的体积 柱体、锥体、台体的体积公式如下表,其中,棱柱、棱锥的底面积 为S,圆柱、圆锥的底面圆半径为
4、r,高为h,台体的上、下底面面积分 别为S1,S2,高为h,上、下底面圆的半径分别为r和r. 名称 体积(V) 柱体 棱柱 Sh 圆柱 r2h 锥体 棱锥 Sh 圆锥 r2h 台体 棱台 h 圆台 h(r2+rr+r2) 激趣诱思 知识点拨 名师点析 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 激趣诱思 知识点拨 微思考 求三棱锥的体积时有什么技巧? 提示:因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面,因此求三棱 锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面,寻求底面积与高易求的 三棱锥. 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出.( ) (2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成
5、的.( ) (3)圆台的高就是相应母线的长.( ) 答案:(1) (2) (3) 激趣诱思 知识点拨 微练习1 圆锥底面半径为3,母线长为5,则这个圆锥的体积为( ) A.36 B.18 C.45 D.12 答案:D 解析:V圆锥=1 3r 2h, 由 r=3,l=5 得 h=4(其轴截面如图), 所以 V圆锥=1 394=12. 激趣诱思 知识点拨 微练习2 已知棱台的上、下底面面积分别为4,16,高为3,则该棱台的体积 为 . 答案:28 解析:因为 S上底=4,S下底=16,h=3. 所以台体=1 3(4+16+4 16)3=28. 激趣诱思 知识点拨 知识点三:球的体积 一般地,如果球
6、的半径为R,那么球的体积计算公式为V球= R3. 名师点析 求解与球有关切接问题时要认真分析题中已知条件,明 确切点与接点位置,正确作出截面图,再分析相关量间的数量关系. 4 3 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)决定球的大小的因素是球的半径.( ) (2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径.( ) (3)球的体积V与球的表面积S的数值关系为V= S.( ) (4)两个球的体积之比等于其半径比的立方.( ) 答案:(1) (2) (3) (4) R 3 激趣诱思 知识点拨 微练习1 球的体积是32 3 ,则此球的表面积是( ) A.12 B.16 C.16 3 D.64 3 答案:
7、B 解析:设球的半径为 R,则 V=4 3 R3=32 3 ,所以 R=2,所以表面积 S=4R2=16. 激趣诱思 知识点拨 微练习2 已知某球的体积与其表面积的数值相等,则此球的体积 为 . 答案:36 解析:依题意,4 3R 3=4R2,得 R=3.所以球的体积 V 球=4 3R 3=36. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 柱体的体积柱体的体积 例1用一块长4 m,宽2 m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒,如何制作 可使铁筒的体积最大? 解:若以矩形的长为圆柱的母线l, 则l=4 m, 此时圆柱底面周长为2 m, 即圆柱底面半径为 R=1 m, 所以圆柱的体积为 V=R2
8、l= 1 2 4=4 (m 3). 若以矩形的宽为圆柱的母线,同理可得 V=8 (m 3), 所以第二种方法可使铁筒体积最大. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 1如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中截去 三棱锥D-A1B1C1,若ABAC,AB=4 cm,AC=3 cm, AA1=5 cm,BD=2 cm,则剩余部分的体积为 cm3. 答案:24 解析:由题图可知所求的体积 V= -111 -111 = 1 2345- 1 3 1 2343=24. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 锥体的体积锥体的体积 例 2(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形
9、,侧面积是 162,则圆锥的 体积是( ) A.64 3 B.128 3 C.64 D.1282 (2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,过顶点B,D,A1截下 一个三棱锥,求剩余部分的体积. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (1)答案:A 解析:作圆锥的轴截面(如图所示). 由题设,在POB中,APB=90,PA=PB. 设圆锥的高为 h,底面半径为 r,则 h=r,PB=2r. 由 S侧= r PB=162,得2r2=162. 所以 r=4,h=4. 故圆锥的体积 V圆锥=1 3r 2h=64 3 . (2)解: 三棱锥1- = 1 3SABD A1
10、A= 1 3 1 2a 2a=1 6a 3,故剩余部分的体积 V=V正方体- 三棱锥1-=a 3-3 6 = 5 6a 3. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 (变换条件,改变问法)将例 2 中第(1)题的条件“侧面积是 162”改为“若其体积为3”,求该圆锥的侧面积. 解:设圆锥的底面半径为 r,则高 h=r,母线 l=PB=2r. 由 V圆锥=1 3r 2h=1 3r 3=3, 得 r=3,母线 l=6. 故 S圆锥侧=rl=3 6=32. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 2(1)将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中,
11、量得水面高度为6 cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥 形器皿中,则水面高度为( ) A.63 cm B.6 cm C.218 3 cm D.312 3 cm (2)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为 V,若 P,Q 分别在 AA1,CC1上, 且 AP=1 3AA1,CQ= 1 3CC1,则四棱锥 B-APQC 的体积是( ) A.1 6V B.2 9V C.1 3V D.7 9V 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案:(1)B (2)B 解析:(1)由题设可知两种器皿中的水的体积相同,设圆锥内水面高度 为 h,圆的半径为 r.圆锥的轴截面为正三角形,由右图
12、可得 =tan 30,r= 3 3 h.由 V圆柱=622=24(cm3),V圆锥=1 3 3 3 2 h, 且 V圆柱=V圆锥,得1 9h 3=24,h=6(cm). 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (2)在棱 BB1上取一点 H, 使 BH=1 3BB1,连接 PH,QH,由题意 SPHQ=SABC,BH平面 PHQ,所以 VB-PHQ=1 3SPHQ BH= 1 3SABC 1 3BB1= 1 9V,VABC-PHQ=SABC BH= 1 3SABC BB1 =1 3V, 所以 VB-APQC=VABC-PHQ-VB-PHQ=1 3V- 1 9V= 2 9V. 探究一
13、 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 台体的体积台体的体积 例3已知一个三棱台上、下底面分别是边长为 20 cm和30 cm的正 三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积 之和,求棱台的高和体积. 解:如图,在三棱台ABC-ABC中,O、O分别为上、下底面的中 心,D,D分别是BC,BC的中点, 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 则 DD是梯形 BCCB的高,所以 S侧=3 1 2(20+30)DD=75DD. 又 AB=20 cm,AB=30 cm,所以上、下底面面积之和为 S上+S下 =3 4 (202+302)=3253(cm2). 由 S侧=
14、S上+S下,得 75DD=3253, 所以 DD=133 3 (cm). OD=3 6 20=103 3 (cm), OD=3 6 30=53(cm), 所以棱台的高 h=OO= 2-(-)2= 133 3 2 - 53- 103 3 2 =43(cm). 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 由棱台的体积公式,可得棱台的体积为 V= 3(S 上+S下+ 上 下) =43 3 3 4 202+ 3 4 302+ 3 4 20 30 =1 900(cm3). 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 3已知圆台的高为3,在轴截面中,母线AA1与底面圆直径 AB的
15、夹角为60,轴截面中的一条对角线垂直于腰,求圆台的体积. 解:如图所示,作轴截面A1ABB1,设圆台的上、下底面半径和母线长 分别为r、R,l,高为h. 作A1DAB于点D,则A1D=3. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 作 A1DAB 于点 D,则 A1D=3. 又A1AB=60,AD= 1 tan60, 即 R-r=3 3 3 ,R-r=3. 又BA1A=90,BA1D=60. BD=A1D tan 60,即 R+r=33, R+r=33,R=23,r=3,而 h=3, V圆台=1 3h(R 2+Rr+r2)=1 33(23) 2+23 3+(3)2=21. 所以圆台的
16、体积为 21. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 球的体积球的体积 例4已知正四面体ABCD的外接球的体积为4 ,求正四面体的体 积. 3 解:将正四面体ABCD置于正方体中. 正四面体的外接球即为正方体的外接球(如图所示),正方体的体对 角线长即为球的直径.设外接球的半径为R, 由 V球=4 3R 3=43,得 R=3, 即正方体对角线长为 23,正方体棱长为 2. 所以 VA-BCD=23-4 1 3 1 2222= 8 3. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 与棱长为 a 的正方体相关的球有三个:外接球、内切球和 与各条棱都相切的球,其半径分
17、别为3 2 , 2 和 2 2 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 4如果三个球的半径之比是123,那么最大球的体积 是其余两个球的体积之和的( ) A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍 答案:C 解析:设三个球的半径分别为 x,2x,3x,则最大球的半径为 3x,其体积 V=4 3 (3x) 3. 又其余两个球的体积之和为4 3x 3+4 3 (2x) 3, 所以4 3 (3x) 3 4 3 3+ 4 3 (2)3 =3. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 逻辑推理、数学运算在求体积中的体现逻辑推理、数学运算在求体积中的体现 典例如图所示,已
18、知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1 底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为( ) A.3 12 B.3 4 C.6 12 D.6 4 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解析:本题直接求解不方便,由于三棱锥 B1-ABC1的体积等于三棱锥 A-B1BC1的体积,而三棱锥 A-B1BC1的高为3 2 ,底面积为1 2,其体积为 1 3 1 2 3 2 = 3 12,因此三棱锥 B1-ABC1 的体积为3 12,故选 A. 答案:A 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 方法点睛逻辑推理、数学运算是解决数学问题的基本素养,它将新 的问题转化为已
19、知问题,复杂问题转化为简单问题,最终将不易解 决的问题转化为已解决的问题.如若所给几何体的体积不能直接利 用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行转化求解. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 1.(2020四川广元川师大万达中学高二期中)体积为8的正方体的顶 点都在同一球面上,则该球面的表面积为( ) A.12 B.32 3 C.8 D.4 答案:A 解析:因为正方体的体积为 8,所以棱长为 2,正方体的体对角线长为 23,正方体的外接球的半径为3,该球的表面积为 4(3)2=12, 故选 A. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 2.在棱长为1的正
20、方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截 该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是( ) A.2 3 B.7 6 C.4 5 D.5 6 答案: D 解析:如图,去掉的一个棱锥的体积是1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 = 1 48,剩余 几何体的体积是 1-8 1 48 = 5 6. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 3.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆,则圆锥的体积 是 . 答案:3 3 解析:易知圆锥的母线长为 l=2,设圆锥的底面半径为 r,则 2r=1 22 2,r=1,则高 h= 2-2 = 3. V圆锥=1 3r 2 h=1 31 23
21、= 3 3 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 4.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为528,体积为14 cm3, 则该棱台的高为 . 答案:2 cm 解析:如图所示,设正四棱台AC的上底面边长为2a cm,则斜高EE, 下底面边长分别为5a cm,8a cm. 所以高 OO= (5)2-(4-)2=4a(cm). 因为1 34a(64a 2+4a2+42 642)=14, 所以 a=1 2, 所以棱台的高为 4 1 2=2(cm). 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 5.如图所示,四棱锥的底面ABCD是一个矩形,AC与BD交于点M,VM 是四棱锥的高.若VM=4 cm,AB=4 cm,VC=5 cm,求四棱锥的体积. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解:VM是棱锥的高,VMMC.在RtVMC中,MC= 2-2= 52-42=3(cm). AC=2MC=6(cm).在 RtABC 中,BC= 2-2= 62-42=25(cm), S底=ABBC=425=85(cm2). V四棱锥=1 3S 底 VM=1 3854= 325 3 (cm3).
