1、第十章复数 10.2 复数的运算 10.2.2 复数的乘法与除法复数的乘法与除法 课后篇巩固提升 基础达标练 1.(2020 山东滕州第一中学新校高一月考)若复数 z=i(3-2i)(i是虚数单位),则 =( ) A.2-3i B.2+3i C.-2-3i D.-2+3i 答案 A 解析 z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i, =2-3i. 2.(2020 重庆西南大学附中高二月考)z= - 的共轭复数是( ) A. i B. i C.1-i D.1+i 答案 B 解析由题意,复数 z= - - i,所以 z 的共轭复数为 i,故选 B. 3.已知(1+ai)(2-i)=x+yi(a,x
2、,yR),i是虚数单位,则( ) A.x-2y=0 B.2x+y-3=0 C.2x-y-5=0 D.2x+y+2=0 答案 C 解析(1+ai)(2-i)=(2+a)+(2a-1)i=x+yi, - 即 2x-y-5=0. 故选 C. 4.(2020 山东滕州第一中学新校高一月考)若复数 z= (mR)为纯虚数,则 m=( ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 答案 D 解析 z= - - i.因为复数 z为纯虚数,所以得 - 解得 m=-2. 5.(2020 西安高一检测)若 z1=(2-mi)(3-2i)(mR)是纯虚数,则在复平面内复数 z2= - 所对应的点位于 ( ) A.第一象限
3、 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 D 解析z1=(2-mi)(3-2i)=(6-2m)-(3m+4)i为纯虚数,则 - 解得 m=3,z2= - - - - - i,因此,复数 z2在复平面内对应的点在第四象限. 6.若复数 z满足 z(1-i)=1+i,i 为虚数单位,则 z2 021=( ) A.-2i B.i C.-i D.2i 答案 B 解析由 z(1-i)=1+i,得 z= - - =i,z 2 021=i2 021=i4505+1=i.故选 B. 7.(多选题)(2020 山东郓城第一中学高一期中)下面关于复数 z= - 的叙述正确的是( ) A.z的虚部为-i B
4、.|z|= C.z的共轭复数为 1+i D.z2=2i 答案 BD 解析 z= - - - =-1-i,则其虚部为-1,A错误;|z|= - - ,B正确;z的共轭复数为-1+i,C 错误;z2=(-1-i)2=2i,D 正确.故选 BD. 8.定义运算| |=ad-bc,若复数 z 满足| - |=2,其中 i为虚数单位,则复数|z|= . 答案 解析由定义运算| |=ad-bc, 得| - |=zi+z=2, 即 z= - - =1-i. |z|= . 9.已知复数 z=2+6i,若复数 m +m2(1+i)为非零实数,则实数 m的值为 . 答案 6 解析z=2+6i,m +m2(1+i)
5、=m(2-6i)+m2+m2i=(m2+2m)+(m2-6m)i, 由题意, - 解得 m=6. 10.四边形 ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C,D四点对应的复数分别为 1+3i,2i,2+i,z. (1)求复数 z; (2)z 是关于 x 的方程 2x2-px+q=0 的一个根,求实数 p,q的值. 解(1)复平面内 A,B,C 对应的点坐标分别为(1,3),(0,2),(2,1), 设 D 的坐标为(x,y),由于 , (x-1,y-3)=(2,-1), x-1=2,y-3=-1, 解得 x=3,y=2,故 D(3,2), 则点 D对应的复数 z=3+2i; (2)3+2i是关于
6、 x的方程 2x2-px+q=0的一个根, 3-2i是关于 x的方程 2x2-px+q=0的另一个根, 则 3+2i+3-2i= ,(3+2i)(3-2i)= , 即 p=12,q=26. 能力提升练 1.已知 i是虚数单位,则复数 z1=2+ai,z2=1-i,若 是实数,则实数 a的值为( ) A.-2 B.2 C.0 D. 答案 A 解析z1=2+ai,z2=1-i, - - - i, 由 是实数,得 2+a=0, 即 a=-2.故选 A. 2.设 i为虚数单位, 表示复数 z 的共轭复数,若 z=1+i,则 - =( ) A.-i B.2i C.-1 D.1 答案 A 解析由 z=1+
7、i,得 - - - =-i. 故选 A. 3.已知复数 z 的共轭复数 ,若 - ,则 z 在复平面内对应的点为( ) A.(-2,-1) B.(2,-1) C.(-2,1) D.(2,1) 答案 A 解析设 z=x+yi(x,yR), 由 - ,得(x-yi)(1+i)=x+yi-1, 即(x+y)+(x-y)i=(x-1)+yi,则 - - 解得 - - . z 在复平面内对应的点为(-2,-1). 故选 A. 4.已知 p,qR,1+i是关于 x 的方程 x2+px+q=0的一个根,则 p q=( ) A.-4 B.0 C.2 D.4 答案 A 解析1+i是关于 x 的方程 x2+px+
8、q=0 的一个根, 1-i也是方程 x2+px+q=0的一个根, 则 1+i+1-i=-p, 即-p=2,p=-2, (1+i)(1-i)=q,即 q=1+1=2, 则 p q=-22=-4.故选 A. 5.已知复数 z1= - 在复平面内对应的点为 A,复数 z2在复平面内对应的点为 B,若向量 与虚轴垂直, 则 z2的虚部为 . 答案- 解析z1= - - - i, A( - ). 向量 与虚轴垂直,且复数 z2在复平面内对应的点为 B,z2的虚部为- . 6.复数 z 满足 =a-i(其中 a0,i为虚数单位),|z|= ,则 a= ;复数 z的共轭复数 在复平面 上对应的点在第 象限.
9、 答案 2 四 解析由 =a-i可得 z=(a-i)(1+i)=a+1+(a-1)i,所以|z|= - , 整理得 a2+2a+1+a2-2a+1=10,所以 a2=4. 又因为 a0,所以 a=2,所以 z=3+i, =3-i. 所以 在复平面内对应的点为(3,-1),位于第四象限. 7.若实数 m,n 满足 i2 021 (4+mi)=(n+2i)2,且 z=m+ni,则|z|= . 答案 解析由 i2 021 (4+mi)=(n+2i)2, 得 i(4+mi)=n2+4ni-4, 即-m+4i=n2+4ni-4,- - 即 |z|=|3+i|= . 8.设 z+1 为关于 x 的方程 x
10、2+px+q=0(p,qR)的虚数根,i是虚数单位. (1)当 z=-1+i时,求 p,q 的值; (2)若 q=1,在复平面上,设复数 z 所对应的点为 M,复数 2-4i所对应的点为 N,试求| |的取值范围. 解(1)z=-1+i,z+1=i, 则方程 x2+px+q=0 的两根分别为 i,-i. 由根与系数的关系有 - - - p=0,q=1; (2)设 z=a+bi(a,bR), 若 q=1,则 z+1, 是方程 x2+px+1=0的两虚数根. 则 =a+1-bi. 由题意可得:(z+1) =(a+1)2+b2=1. 令 a+1=cos ,b=sin ,0,2). 复数 z 所对应的
11、点为 M,复数 2-4i所对应的点为 N, | |= - - = 4,6,其中 tan =- . 素养培优练 已知复数 z=(a+i)2,w=4-3i,其中 a 是实数. (1)若在复平面内表示复数 z 的点位于第一象限,求 a的取值范围; (2)若 是纯虚数,a是正实数,求 ( ) ( ) +( ) . 解(1)z=(a+i)2=a2+2ai+i2=a2-1+2ai在复平面内表示的点位于第一象限, - 解得 a1,故实数 a的取值范围为(1,+); (2)依题意得: - - - - - i, 是纯虚数, - - - 即 - - 解得 a1=- (舍)或 a2=2(a0), 当 a=2 时, - i=i, ( ) ( ) +( ) =i+i2+i3+i2 021=i-1-i+i=i.
