1、第十一章立体几何初步 11.1 空间几何体 11.1.3 多面体与棱柱多面体与棱柱 11.1.4 棱锥与棱台棱锥与棱台 课后篇巩固提升 基础达标练 1.下列四种说法: 底面是矩形的平行六面体是长方体; 棱长相等的直四棱柱是正方体; 有两条侧棱垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体; 侧面对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中,正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A 解析不正确,除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体;不正确,当底面是菱形时就不 是正方体;不正确,两条侧棱垂直于底面一边不一定垂直于底面,故不一定是直平行六面体;正确, 对角线相等的平行四边形是
2、矩形,由此可以推测此时的平行六面体是直平行六面体.故选 A. 2.(2020 山东高一期中)下列命题正确的是( ) A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B.有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 C.若棱柱被一平面所截,则分成的两部分一定是棱柱 D.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 答案 B 解析对于 A,如图所示的几何体中有两个面平行,其余各面都是四边形,该几何体不是棱柱,故 A不 正确;对于 B,由棱柱的定义可知正确;对于 C,分成的两部分不一定是棱柱,故 C 不正确;对于 D,如图 所示的几何体中有两个面平
3、行,其余各面都是平行四边形,该几何体不是棱柱. 3.下列命题中正确的是( ) A.用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B.两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台 C.棱台的底面是两个相似的正方形 D.棱台的侧棱延长后必交于一点 答案 D 解析 A中的平面不一定平行于底面,故 A 错;B中侧棱不一定交于一点;C中底面不一定是正方形.故 选 D. 4. (2020河北衡水中学高三月考)如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 1 cm,高为 5 cm,一质点 自点 A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1的最短路线的长为( ) A.12 B.13 C.
4、D.15 答案 C 解析将正三棱柱 ABC-A1B1C1沿侧棱展开, 再拼接一次,其侧面展开图如图所示,在展开图中,最短距离是六个矩形对角线的连线的长度,也即为 三棱柱的侧面上所求距离的最小值.由已知求得矩形的长等于 61=6,宽等于 5,由勾股定理 d= . 5.(多选题)(2020 全国高一课时练习)如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是( ) A.是棱台 B.是圆台 C.是棱锥 D.是棱柱 答案 CD 解析题图中的几何体不是由棱锥被一个平面所截得到的,且上、下底面不是相似的图形,所以不是 棱台; 题图中的几何体上、下两个面不平行,所以不是圆台;题图中的几何体是三棱锥;题图中 的几何体
5、前、后两个面平行,其他面都是平行四边形,且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行, 所以是棱柱. 6.如图是正方体外面朝上的展开图,则在这个正方体中:AF与 CN是异面直线;BM与 AN平行; AF 与 BM成 60角;BN与 DE平行.以上四个命题中,所以正确命题的序号是( ) A. B. C. D. 答案 A 解析将 正方体的展开图还原为正方体 EFMN-ABCD,如图所示,可得 AF 与 CN是异面直线,故正确;连接 AN, 则 BM 与 AN 平行,故正确;因为 BMAN, 所以NAF 是异面直线 AF与 BM 所成的角,因为NAF 为等边三角形,所以NAF=60,故正 确;BN 与
6、DE是异面直线,故错误. 7.一个正四棱台,其上、下底面均为正方形,边长分别为 8 cm 和 18 cm,侧棱长为 13 cm,则其表面积 为 . 答案 1 012 cm2 解析由已知可得正四棱台侧面梯形的高为 h= -( - ) =12(cm), 所以 S侧=4 (8+18)12=624(cm 2),S 上底=88=64(cm2),S下底=1818=324(cm2),于是表面积为 S=624+64+324=1 012(cm2). 8.(2020 上海高三专题练习)若 A=四棱柱,B=平行六面体,C=直平行六面体,D=正方体,E=正 四棱柱,F=长方体,则它们之间的包含关系为 . 答案 DEF
7、CBA 解析四棱柱:底面是四边形的柱体是四棱柱;平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; 直平行六面体:侧棱与底面垂直的平行六面体是直平行六面体;长方体:底面是长方形的直平行六面体 是长方体;正四棱柱:底面是正方形的长方体是正四棱柱;正方体:各个面都是正方形的正四棱柱.根据 以上概念,可得 DEFCBA. 9.(2020 山东烟台理工学校高一期中)已知正四棱锥 V-ABCD 的底面面积为 16,侧棱长为 4,则这个棱 锥的斜高为 ,高为 . 答案 2 2 解析如图所示, 由题意知,正四棱锥底面边长为 4,又侧棱长为 4,所以侧面为等边三角形,取 G为 CD 的中点,在等边三 角形 V
8、CD中,VG= VC=2 ,V在平面 ABCD的投影为正方形 ABCD的中心 O,在 RtBCD 中,DB= =4 . 则 DO= DB=2 ,所以在 RtVOD中,VO= - =2 . 10.如图,M是棱长为 2 cm的正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 CC1的中点,沿正方体表面从点 A到点 M 的 最短路程是 cm. 答案 解析由题意,若以 BC为轴展开,则 A,M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为 2 cm,3 cm,故两点之间的距离是 cm.若以 BB1为轴展开,则 A,M 两点连成的线段所在的直角三角 形的两直角边的长度分别为 1,4,故两点之间的距离是 c
9、m.故沿正方体表面从点 A 到点 M的最短 路程是 cm. 11.观察下列四张图片,结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征. 解(1)是上海世博会中国馆,其主体结构是四棱台. (2)是法国卢浮宫,其主体结构是四棱锥. (3)是国家游泳中心“水立方”,其主体结构是四棱柱. (4)是美国五角大楼,其主体结构是五棱柱. 能力提升练 1. (2020陕西咸阳实验中学高一月考)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒,如图所示,则 这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)( ) 答案 A 解析根据正方体礼品盒的表面展开图的对面是相同的图案可知,展开图同图案不能相邻,B,C,D 中都
10、 有相同的图案相邻,故选 A. 2.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示,如图是一个正方 体的表面展开图,若图中“2”在正方体的上面,则这个正方体的下面是 ( ) A.1 B.0 C.快 D.乐 答案 B 解析如图得到正方体,从图中可以看到“1”在正方体的后面,“快”在正方体的右面,“乐”在前面,下面、 左面均为“0”.故选 B. 3.(多选题)正方体截面的形状有可能为( ) A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 答案 ABD 解析画出截面图形如图, 可以画出正三角形但不是直角三角形(如图);可以画出正方形(如图);经过正方体的一个顶点 去切
11、就可得到五边形.但此时不可能是正五边形(如图);正方体有六个面,用平面去截正方体时最多 与六个面相交得六边形,且可以画出正六边形(如图).故选 ABD. 4.(2020 河北沧州一中高一期末)鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于中国古代建筑的榫 卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多,形状 和内部的构造各不相同,一般都是易拆难装.如图,这是一种常见的鲁班锁玩具,图是该鲁班锁玩 具的直观图,每条棱的长均为 2,则该鲁班锁的表面积为( ) A.8(6+6 ) B.6(8+8 ) C.8(6+6 ) D.6(8+8 ) 答案 A 解析由题图可
12、知,该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为 2+2 的正方体截去了 8个正三棱锥所余下 来的几何体,且被截去的正三棱锥的底面边长为 2,侧棱长为 ,则该几何体的表面积为 S=6(2+2 )2-4 +8 2 =8(6+6 ).故选 A. 5.在五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱 的对角线共有 条. 答案 10 解析在上底面选一个顶点,同时在下底选一个顶点,且这两个顶点不在同一侧面上,这样上底面每个顶 点对应两条对角线,所以共有 10 条. 6.已知棱长为 a,各面均为等边三角形的四面体 S-ABC(即正四面体 S-ABC),则其表面积 为 . 答案 a
13、2 解析由于四面体 S-ABC 的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的表面积等于其中任何一个面的 面积的 4倍.所以 S SBC = a 2sin 60= a2. 因此,四面体 S-ABC 的表面积 S=4 a2= a2. 7.中国古代,建筑工匠们非常注重在建筑中体现数学美,方形和圆形的应用比比皆是.在唐、宋时期的 单檐建筑中较多存在 1的比例关系,这是当时工匠们着意设计的常见比例,今天,A4纸之所以流 行的重要原因之一,就是它的长与宽的比无限接近 1,我们称这种满足了 1的矩形为“优美” 矩形.现有一长方体 ABCD-A1B1C1D1,AD1=2 ,AC=2 ,AC1=2 ,则此长方体的表
14、面六个矩形中,“优 美”矩形的个数为 . 答案 4 解析由题意, 该长方体如图所示,AD1=2 ,AC=2 ,AC1=2 , CC1= - =2 ,AD= - - =4, CD= - =2, AB=CD=2,AA1=CC1=2 , . =2,此长方体的表面六个矩形中,“优美”矩形的个数为 4. 8. (2020全国高一课时练习)正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底面的平面所截,得到正六棱台和较 小的棱锥. (1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比; (2)若大棱锥的侧棱长为 12 cm,小棱锥的底面边长为 4 cm,求截得的棱台的侧面积与全面积. 解(1)设小棱锥的底面边长为 a,斜高为 h,则
15、大棱锥的底面边长为 2a,斜高为 2h,S大棱锥侧 =6 2a2h=12ah,S 小棱锥侧=6 ah=3ah, 棱台的侧面积为 12ah-3ah=9ah,因此,大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比为 413. (2)小棱锥底面边长为 4 cm,大棱锥底面边长为 8 cm.大棱锥的侧棱长为 12 cm, 其斜高为 - =8 (cm), S大棱锥侧=6 88 =192 (cm 2), 棱台的侧面积为 192 =144 (cm 2),S 棱台上底面=6 42=24 (cm2),S棱台下底面 =6 82=96 (cm2), S棱台全=144 +120 (cm2).故棱台的侧面积为 144 cm2,全面积为
16、(144 +120 )cm2. 素养培优练 在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着某底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中: (1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗? (2)水的形状不断变化,可能是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗? (3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对? 解(1)不对.水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状,因 而可以是矩形,但不可能是其他非矩形的平行四边形. (2)不对.水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分 后,剩余部分的几何体,此几何体是棱柱,水比较少量,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱或五棱柱,但不可 能是棱台或棱锥. (3)不对.只有一条棱着地水面才是矩形;不对.只有一条棱着地水才是棱柱.
