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1、第 1 页（共 21 页） 2022 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（2）一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合0A，1，2，3，4， |(1)(4)0Bxxx，则集合AB中元素的个数为( ) A2 B3 C4 D5 2 （5 分）已知i为虚数单位，复数(1)(2)zii，则其共轭复数(z ) A13i B13i C13i D13i 3 （5分）已知函数( ) ex f xln ex ，若实数a，b满足 232020 ()()()()505() 2021202120212021 eeee ffffab

2、，则 22 ab的最小值为( ) A2 2 B4 C6 D8 4 （5 分）新冠肺炎疫情防控期间，7 名医学大学生志愿者到A，B，C三个社区参加疫情联防联控工作，根据工作实际需要，A社区要分配三名志愿者，B，C两个社区各 2 名志愿者，则不同的分配方法共有( ) A210 种 B240 种 C420 种 D480 种 5 （5 分）如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都引出相同数目的棱，那么这个凸多面体叫做正多面体古希腊数学家欧几里得在其著作几何原本的卷 13 中系统地研究了正多面体的作图，并证明了每个正多面体都有外接球若正四面体、正方体、正八面体的

3、外接球半径相同，则它们的棱长之比为( ) A2 :1:3 B2:2 :3 C2:2 :1 D2:2 :3 6（5 分）已知正ABC的边长为 2，P是边AB边上一点，且2BPPA，则() (C P C A C B ) A1 B2 C4 D6 第 2 页（共 21 页） 7 （5 分）下列说法正确的是( ) A命题“ 0 0 x，1，使 2 0 10 x ”的否定为“0 x ，1，都有 2 10 x ” B命题“若向量a与b的夹角为锐角，则0a b ”及它的逆命题均为真命题 C命题“在锐角ABC中，sincosAB”为真命题 D命题“若xy，则sinsinxy

4、”的逆否命题为真命题 8 （5 分）已知 3 0.3a ， 0.3 3b ， 3 0.3C ，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bcab Cbac Dcba 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9（5 分）记数列 n a的前n项和为 n S，若存在实数H，使得对任意的nN，都有| n SH，则称数列 n a为“和有界数列” 下列说法正确的是( ) A若 n a是等差数列，且公差0d ，则 n a是“和有界数列” B若 n a是等差数列，且 n a是“和有界数列” ，则公差0d C若 n a是等比数列，且公比| 1q ，

5、则 n a是“和有界数列” D若 n a是等比数列，且 n a是“和有界数列” ，则 n a的公比| 1q 10 （5 分）甲、乙两类水果的质量（单位：)kg分别服从正态分布 1 (N， 2 1) ， 2 (N， 2 2) ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是( ) A乙类水果的平均质量 2 0.8kg B甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D乙类水果的质量服从的正态分布的参数 2 1.99 11 （5 分）如图，正方体 1111 ADCDABC D的棱长为 1，则下列四个命题正确的是( ) 第 3 页（共 21

6、页） A直线BC与平面 11 ABC D所成的角等于 4 B点C到面 11 ABC D的距离为 2 2 C两条异面直线 1 D C和 1 BC所成的角为 4 D二面角 1 CBCD的平面角的余弦值为 3 3 12 （5 分）已知函数( )| xx f xeex 则下面结论正确的是( ) A( )f x是奇函数 B( )f x在0，)上为增函数 C若0 x ，则 2 1 ()2f xe x D若(1)( 1)f xf，则02x 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知复数34zi，则 |z z 14 （5 分）若函数( )

7、f x称为“准奇函数” ，则必存在常数a，b，使得对定义域内的任意x 值，均有( )(2)2f xfaxb，请写出一个2a ，2b 的 “准奇函数”（填写解析式）: 15 （5 分）如图，圆柱 12 O O的底面圆半径为 1，AB是一条母线，BD是 1 O的直径，C是上底面圆周上一点，30CBD，若A，C两点间的距离为7，则圆柱 12 O O的高为，异面直线AC与BD所成角的余弦值为 16 （5 分）我国南北朝时期的数学家祖暅（杰出数学家祖冲之的儿子），提出了计算体积的祖暅原理： “幂势既同，则积不容异 ”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个

8、几何体的体积相等已知曲线 2 :C yx，直线l为曲线C在点(1,1) 第 4 页（共 21 页）处的切线如图所示，阴影部分为曲线C、直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得的几何体为过(0，)(01)yy剟作的水平截面，所得截面面积S （用y表示），试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出体积为四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）若数列 n a的首项为 1，且 1 22 nn aa ，（1）求证：2 n a 是等比数列；（2）求数列 n a的通项公式；（3）若(2) nn bn a ，求证：数列 n b的前

9、n项和4 n S 18（12 分）某商场购进一种每件价格为 90 元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x（元 /件）与每天销售量y（种)之间满足如图所示的关系（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 19 （12 分）已知直三棱柱 111 ABCABC中，ABC为正三角形， 1 4ABAA，F为BC的中点点E在棱 1 C C上，且 1 3C EEC （）求证：直线 1 B F 平面AEF；（）求二面角 1 BAEF的余弦值第 5 页（共 21 页） 20 （12 分）进入

10、冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如表：时间周一周二周三周四周五周六周日车流量(x 万辆） 10 9 9.5 10.5 11 8 8.5 空气质量指数y 78 76 77 79 80 73 75 （1）根据表中周一到周五的数据，求y关于x的线性回归方程（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2，则认为得到的线性回归方程是可靠的请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否

11、可靠？注：回归方程 ybxa中斜率和截距最小二乘估计公式分别为 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 2 (1,) 2 A，且以 1( ,0)Fc， 2( F c，0)(0)c 为焦点，椭圆C的离心率为 2 2 （1）求实数c的值；（2）过左焦点 1 F的直线l与椭圆C相交于B、D两点，O为坐标原点，问椭圆C上是否存在点P，使线段BD和线段OP相互平分？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由 22 （12 分）已知函数( )f xlnxxa有两

12、个不同零点 1 x， 212 ()xxx （1）求a的取值范围；（2）证明：当 1 1 0 4 x时， 2 12 1 4 x x 第 6 页（共 21 页）第 7 页（共 21 页） 2022 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（2）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合0A，1，2，3，4， |(1)(4)0Bxxx，则集合AB中元素的个数为( ) A2 B3 C4 D5 【解答】解：0A，1，2，3，4， | 14Bxx ， 0AB，1，2，3， AB中元素的

13、个数为：4 故选：C 2 （5 分）已知i为虚数单位，复数(1)(2)zii，则其共轭复数(z ) A13i B13i C13i D13i 【解答】解：(1)(2)221 1 3ziiiii ， 13zi 故选：B 3 （5分）已知函数( ) ex f xln ex ，若实数a，b满足 232020 ()()()()505() 2021202120212021 eeee ffffab，则 22 ab的最小值为( ) A2 2 B4 C6 D8 【解答】解：由于 2 () ( )()2 exe ex f xf exlnlnlne exx 故 23202020202201910101011 ()(

14、)()()( ()()( ()()( ()()101022020 2021202120212021202120212021202120212021 eeeeeeeeee ffffffffff ，则505()2020ab，4ab， 222 ()2162abababab，由于 2 ()4 2 ab ab ，故 22 8ab，第 8 页（共 21 页）故选：D 4 （5 分）新冠肺炎疫情防控期间，7 名医学大学生志愿者到A，B，C三个社区参加疫情联防联控工作，根据工作实际需要，A社区要分配三名志愿者，B，C两个社区各 2 名志愿者，则不同的分配方法共有( ) A210 种 B240 种

15、 C420 种 D480 种【解答】解：根据题意，分 3 步进行分析：先在 7 名大学生志愿者中任选 3 人，安排到A社区，有 3 7 35C 种安排方法，在剩下的 4 名大学生中任选 2 人，安排到B社区，有 2 4 6C 种安排方法，剩下的 2 名大学生安排到C社区，有 1 种安排方法，则有356210种安排方法，故选：A 5 （5 分）如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都引出相同数目的棱，那么这个凸多面体叫做正多面体古希腊数学家欧几里得在其著作几何原本的卷 13 中系统地研究了正多面体的作图，并证明了每个正多面体都有外接球若正四面体、正方体、正

16、八面体的外接球半径相同，则它们的棱长之比为( ) A2 :1:3 B2:2 :3 C2:2 :1 D2:2 :3 【解答】解：设正四面体的棱长为a，所以利用勾股定理的应用： 222 236 ()() 323 aarr，解得 2 6 3 ar 正方体的棱长为b，则： 2222 (2 ) rbbb，解得： 2 3 3 br 设正八面体的棱长为c，所以： 22 31 22 ()2 44 rccc，解得2cr，所以： 2 62 3 : :22:2 : 3 33 a b c 第 9 页（共 21 页）故选：B 6（5 分）已知正ABC的边长为 2，P是

17、边AB边上一点，且2BPPA，则() (C P C A C B ) A1 B2 C4 D6 【解答】解：2BPPA，2()CPCBCACP， 21 33 CPCACB，且| | 2,60CACBCA CB， 22 22 2121211 ()() ()22226 3333332 CPCACBCACBCACBCACBCA CB 故选：D 7 （5 分）下列说法正确的是( ) A命题“ 0 0 x，1，使 2 0 10 x ”的否定为“0 x ，1，都有 2 10 x ” B命题“若向量a与b的夹角为锐角，则0a b ”及它的逆命题均为真命题 C命题“在锐角ABC中，sincosAB”为真命题

18、D命题“若xy，则sinsinxy”的逆否命题为真命题【解答】解：命题“ 0 0 x，1，使 2 0 10 x ”的否定为“0 x ，1，都有 2 1 0 x ” ，则A项错误；命题“若向量a与b的夹角为锐角，则0a b ”的逆命题为“若0a b ，则向量a与b的夹角为锐角” ，当0a b 时，向量a与b的夹角为锐角或 0，假命题，则B项错误；在锐角ABC中， 2 AB ，0 22 AB ，sinsin()cos 2 ABB ，则C项情误；命题“若xy，则sinsinxy”为真命题，则其逆否命题为真命题，则D项正确故选：D 8 （5 分）已知 3 0.3a ， 0.3 3b ，

19、 3 0.3C ，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bcab Cbac Dcba 【解答】解：由 3 0.31， 0.3 133， 3 0.33 ，得：abc，第 10 页（共 21 页）故选：A 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9（5 分）记数列 n a的前n项和为 n S，若存在实数H，使得对任意的nN，都有| n SH，则称数列 n a为“和有界数列” 下列说法正确的是( ) A若 n a是等差数列，且公差0d ，则 n a是“和有界数列” B若 n a是等差数列，且 n a是“和有界数列” ，则公差0

21、 aqa S qq ，则 n a是“和有界数列” ，故C正确；若 n a是等比数列，且 n a是“和有界数列” ，若1q ，即当n为奇数时， 1n Sa，当n为偶数时，0 n S ，可得存在实数H，使得对任意的nN，都有| n SH，故D错误故选：BC 10 （5 分）甲、乙两类水果的质量（单位：)kg分别服从正态分布 1 (N， 2 1) ， 2 (N， 2 2) ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是( ) A乙类水果的平均质量 2 0.8kg B甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右第 11 页（共 21 页） C甲类水果的平均质量比乙类水果的平

22、均质量小 D乙类水果的质量服从的正态分布的参数 2 1.99 【解答】解：由图象可知甲图象关于直线0.4x 对称，乙图象关于直线0.8x 对称， 1 0.4， 2 0.8，故A正确，C正确，甲图象比乙图象更“高瘦” ，甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；乙图象的最大值为 1.99，即 2 1 1.99 2 ， 2 1.99，故D错误故选：ABC 11 （5 分）如图，正方体 1111 ADCDABC D的棱长为 1，则下列四个命题正确的是( ) A直线BC与平面 11 ABC D所成的角等于 4 B点C到面 11 ABC D的距离为 2 2 C两条异面直线 1

23、 D C和 1 BC所成的角为 4 D二面角 1 CBCD的平面角的余弦值为 3 3 【解答】解：如图，取 1 BC的中点H，连接CH，易证CH 平面 11 ABC D，所以 1 C BC是直线BC与平面 11 ABC D所成的角，为 4 ，故A正确；点C到平面 11 ABC D的距离为CH的长度，为 2 2 ，故B正确；易证 11 / /BCAD，所以异面直线 1 D C和 1 BC所成的角为 1 AD C或其补角，因为 1 ACD为等边三角形，所以两条异面直线 1 D C和 1 BC所成的角为 3 ，故C错误；连接DH，由 1 BDDC，所以 1 DHBC，又 1 CHBC，第

24、 12 页（共 21 页）所以CHD为二面角 1 CBCD的平面角，易求得 6 2 DH ，又1CD ， 2 2 CH ，由余弦定理可得 222 3 cos 23 DHCHCD CHD DH CH ，故D错误故选：AB 12 （5 分）已知函数( )| xx f xeex 则下面结论正确的是( ) A( )f x是奇函数 B( )f x在0，)上为增函数 C若0 x ，则 2 1 ()2f xe x D若(1)( 1)f xf，则02x 【解答】解：已知函数( )| xx f xeex 则()|( ) xxxx fxeexeexf x ，故函数( )f x为偶函数，故选项A错误；当

25、0 x 时，( ) xx f xeex ( )10 xx f xee ，所以函数( )f x为增函数，故选项B正确；当0 x 时，由基本不等式得 1 2x x ，当且仅当1x 时等号成立，又由( )f x在(0,)上为增函数，所以 1 ()f xf x （2） 222 22eee ，又由函数 1 yx x 为奇函数，当0 x 时， 1 2x x ， 2 11 ()()2f xfxe xx ，综上，当0 x 时， 2 1 ()2f xe x ，选项C正确；由与函数( )f x为偶函数，由(1)( 1)f xf，得(|1|)(| 1|)fxf，第 13 页（共 21 页）则|1

26、| 1x ，解得02x，故选项D正确故选：BCD 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知复数34zi，则 |z z 34 55 i 【解答】解：34zi， 22 | | |3( 4)5zz ，则 |55(34 )34 34(34 )(34 )55 zi i ziii 故答案为： 34 55 i 14 （5 分）若函数( )f x称为“准奇函数” ，则必存在常数a，b，使得对定义域内的任意x 值，均有( )(2)2f xfaxb，请写出一个2a ，2b 的“准奇函数” （填写解析式）: 23 ( ) 2 x f x

27、x 【解答】解：由( )(2)2f xfaxb，可得“准奇函数” ( )f x的图像关于点( , )a b对称，若2a ，2b ，即函数( )f x的图像关于点(2,2)对数，如 231 ( )2 22 x f x xx 的图像关于点(2,2)对数故答案为： 23 ( ) 2 x f x x 15 （5 分）如图，圆柱 12 O O的底面圆半径为 1，AB是一条母线，BD是 1 O的直径，C是上底面圆周上一点，30CBD，若A，C两点间的距离为7，则圆柱 12 O O的高为 2 ，异面直线AC与BD所成角的余弦值为【解答】解：连接CD，由题意可得2BD ，90BCD，又30C

28、BD，所以3BC ，因为AB 底面BCD，所以ABBC，在Rt ABC中，7AC ，3BC ，所以 22 2ABACBC，第 14 页（共 21 页）即圆柱 12 O O的高为 2 连接 2 AO并延长交圆 2 O于点E，连接CE，则/ /BDAE且2BDAE，所以异面直线AC与BD所成的角为CAE或其补角，由 1 1 2 CDBD，2DEAB，DECD，可得 22 5CECDDE，在ACE中，7AC ，2AE ，5CE ，所以 7457 cos 4272 CAE ，即异面直线AC与BD所成角的余弦值为 7 4 故答案为：2， 7 4 16 （5 分）我国南北朝时期的数学家

29、祖暅（杰出数学家祖冲之的儿子），提出了计算体积的祖暅原理： “幂势既同，则积不容异 ”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等已知曲线 2 :C yx，直线l为曲线C在点(1,1) 处的切线如图所示，阴影部分为曲线C、直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得的几何体为过(0，)(01)yy剟作的水平截面，所得截面面积S 2 (1) 4 y （用y表示），试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出体积为【解答】解：过点(0, )y的直线与抛物线 2 :C yx的交点为(y，) y，01y剟直线l为曲线C在点(1,1)处

30、的切线，则切线的斜率为 1 |2 x y ，切线方程为21yx 过点(0, )y的直线与切线21yx的交点为 1 ( 2 y ，) y，用平行于底面的平面截几何体所得截面为圆环，第 15 页（共 21 页）截面面积为 2 2 21 ()(1) 44 yy yy ；取底面直径与高均为 1 的圆锥，用一个平行于底面的平面截圆锥，得到截面为圆，圆的半径为 1 (1) 2 y ，截面面积为 2 (1) 4 y ，符合题意则体积等于圆锥的体积等于 2 11 ( )1 3212 故答案为： 2 (1) 4 y ， 12 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17

31、（10 分）若数列 n a的首项为 1，且 1 22 nn aa ，（1）求证：2 n a 是等比数列；（2）求数列 n a的通项公式；（3）若(2) nn bn a ，求证：数列 n b的前n项和4 n S 【解答】解：（1）证明： 1 22 nn aa ， 1 2(2)2 nn aa ， 1 1 2(2) 2 nn aa ，而 1 2121a ， 2 n a是以1为首项， 1 2 为公比的等比数列；（2）由（1）知， 11 11 21 22 n nn a ， 1 1 2 2 n n a ；（3）证明： 1 1 (2) 2 nn n bn an ， 1 11 112 22 n

32、 n Sn ， 2 1 21 22 1 2 n n Sn ， 21 111 21 222 n nn Sn 1 1 2(1) 1 2 1 2 1 2 n n n 第 16 页（共 21 页） 1 41 44 22 nn n 18（12 分）某商场购进一种每件价格为 90 元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x（元 /件）与每天销售量y（种)之间满足如图所示的关系（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）依题意可设y与x之间的函数关系式为：(0)yaxb a，

33、由题意可知，点(120,50)和点(140,30)在函数图象上，代入得 12050 14030 ab ab ，解得 1 170 a b ，所以y与x之间的函数关系式为：170yx ；（2）由题意可知，每天的利润 22 (170)(90)26015300(130)1600Wxxxxx ，即 2 (130)1600Wx，所以当售价定为 130 时，每天获得的利润最大，最大利润是 1600 元 19 （12 分）已知直三棱柱 111 ABCABC中，ABC为正三角形， 1 4ABAA，F为BC的中点点E在棱 1 C C上，且 1 3C EEC （）求证：直线 1 B F 平面AEF；

34、（）求二面角 1 BAEF的余弦值第 17 页（共 21 页）【解答】解：（）取 11 BC中点D，连接DF，设4AB ，以F为坐标原点，,FA FB FD的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 1(0,2,0), (0,0,0), (2 3,0,0), (0, 2,1)BFAE， 1 (0, 2, 4),(2 3,0,0),(0, 2,1)B FFAFE，设平面AEF的法向量为 111 (,)mx y z 0 0 m FA m FE ， 1 11 2 30 20 x yz ，(0,1,2)m ， 1 2B Fm ， 1 / /B Fm，直线 1 B F 平面AEF （

35、） 1 ( 2 3, 2,1),(0,4,3)AEB E ，设平面 1 B AE的法向量为 222 (,)nxyz 1 0 0 n AE n B E ， 222 22 2 320 430 xyz yz ，不妨取 2 3 3y ，则 2 5x ， 2 4 3z ( 5,3 3, 4 3)n ，平面AEF的法向量为(0,1,2)m ，设二面角 1 BAEF的平面角为， 15 cos | |10 m n mn 第 18 页（共 21 页） 20 （12 分）进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行为

36、此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如表：时间周一周二周三周四周五周六周日车流量(x 万辆） 10 9 9.5 10.5 11 8 8.5 空气质量指数y 78 76 77 79 80 73 75 （1）根据表中周一到周五的数据，求y关于x的线性回归方程（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2，则认为得到的线性回归方程是可靠的请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？注：回归方程 ybxa中斜率和截距最小二乘估计公式分别为 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b

37、 xx ， a ybx 【解答】解：（1） 1 (1099.510.511)10 5 x ， 1 (7876777980)78 5 y （2 分） 5 1 ()()5 ii i xxyy ，（4 分） 5 2 1 ()2.5 i i xx ， 5 2 2.5 b （7 分） 782 1058aybx （8 分）第 19 页（共 21 页） y关于x的线性回归方程为258yx（9 分）（2）当8x 时，2 85874y ，满足|7473| 12 ，（10 分）当8.5x 时，2 8.55875y 满足|7575| 02，（11 分）所得的线性回归方程是可靠的（12 分） 21 （1

38、2 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 2 (1,) 2 A，且以 1( ,0)Fc， 2( F c，0)(0)c 为焦点，椭圆C的离心率为 2 2 （1）求实数c的值；（2）过左焦点 1 F的直线l与椭圆C相交于B、D两点，O为坐标原点，问椭圆C上是否存在点P，使线段BD和线段OP相互平分？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由【解答】解：（1）椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab 已知椭圆C过点 2 (1,) 2 A， 22 11 1 2ab 1( ,0)Fc， 2( F c，0)(0)c 为椭圆C的焦点，椭圆C的离心率为

39、 2 2 ， 2 2 c a ， 222 cab 解得2a ，1b ，1c （2）由（1）有椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y， 1( 1,0) F 假设存在点P满足题意，且BD和OP相交于点 0 (Q x， 0) y，则 0 (2Px， 0 2)y 当直线l与x轴重合时，不满足题意设直线l的方程为1xty， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y 联立 2 2 1 1 2 xty x y 得 22 (2)210tyty ， 12 2 2 2 t yy t ， 12 2 1 2 y y t 则 0 2 2 t y t ， 2 00 22 2 11 22 t xty tt ，

40、将 0 2x， 0 2y代入 2 2 1 2 x y有 2 2222 84 1 (2)(2) t tt 第 20 页（共 21 页）解得2t ， 2 ( 1,) 2 P ，故存在P使线段BD和OP相互平分，其坐标为 2 ( 1,) 2 P 22 （12 分）已知函数( )f xlnxxa有两个不同零点 1 x， 212 ()xxx （1）求a的取值范围；（2）证明：当 1 1 0 4 x时， 2 12 1 4 x x 【解答】解：（1）由题， 11 ( )1 x fx xx ，则当01x剟时，( )0fx，( )f x单调递增；当1x 时，( )0fx，( )f x单调递减故(

41、)f x在1x 处取得最大值f（1）1a，由题可知，需满足f（1）0，即1a 当1a 时，01 a e，()0 aa f ee ，故函数( )f xlnxxa在( a e，1)上存在一个根，存在 2 (11)1ba，使得 2222 ()(11)(11)(11)2(11)(11)0fbfalnaaaaaa，从而函数( )f xlnxxa在(1, )b上存在一个根，故a的取值范围为(1,) （2）证明：由（1）可知 12 01xx ， 12 ()()0f xf x，因此 22211 2222 1111 1111 ()()()()32 2 4444 f xflnxxalnalnxxln xxxx ，令 2 11 ( )322(0) 44 F xlnxxlnx x ，则 23 33 316211 ( )1(0) 224 xx F xx xxx ，而 233 6 621210 16 xxx ，即( )0F x，从而( )F x在 1 (0, 4 上单调递减所以 1 ( )( )0 4 F xF，第 21 页（共 21 页）因此 2 2 1 1 ()() 4 f xf x ，又因为( )f x在(1,)上单调递减，且 2 1x ， 2 1 1 1 4x ，所以 2 2 1 1 4 x x ，从而 2 12 1 4 x x

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