1、湖北省七市（州）教科研协作体湖北省七市（州）教科研协作体 2021 年高三年级年高三年级 3 月联考月联考 数学数学 一、一、单项选择题：单项选择题： 1.已知集合已知集合 A=x|log2x1,B=x|x-1|0,且且 f(x)+f (x)0（f (x)是是 f(x)的导函数），若的导函数），若 0a1(a+1)f(b) B.f(b)(1-a)f(a) C.af(a)bf(b) D.af(b)bf(a) 二、多项选择题：二、多项选择题： 9.设设 a,b,c,d 为实数，且为实数，且 ab0cd,则下列不等式正确的是则下列不等式正确的是 A.c2cd B.a-cbd D. cd ab 0 1
2、0.函数函数( )sin()(0,0,| |) 2 f xAxA 的部分图象如图所示，则下列结论的部分图象如图所示，则下列结论 正确的是正确的是 A.f(x)的最小正周期为的最小正周期为 2 B.把把 y=f(x)图象上所有点向右平移图象上所有点向右平移 12 个单位长度后得到函数个单位长度后得到函数 g(x)=2cos 2x 的图象的图象 C.f(x)在区间在区间 2 , 11 12 上单调递减上单调递减 D.( 6 ,0)是是 y=f(x)图象的一个对称中心图象的一个对称中心 11.已知抛物线已知抛物线:x2=4y的焦点为的焦点为F,过过F与与y轴垂直的直线交抛物线轴垂直的直线交抛物线于于
3、M,N两点，两点， 则下列说法正确的是则下列说法正确的是 A.点点 F 的坐标为（的坐标为（1,0) B.抛物线抛物线 的准线方程为 的准线方程为 y= -1 C.线段线段 MN 的长为的长为 4 D.直线直线 y=x-2 与抛物线与抛物线 相切相切 12.半正多面体（半正多面体（semiregular solid)亦称亦称“阿基米德多面体阿基米德多面体”，是由边数不全相同的，是由边数不全相同的 正多边形围成的多正多边形围成的多面面体， 体现了数学的对称美。 二十四等边体就是一种半正多面体，体， 体现了数学的对称美。 二十四等边体就是一种半正多面体， 是由正方体切截而成的，它是由正方体切截而成
4、的，它由由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它 的所有棱长都为的所有棱长都为2,则则 A.BF平面平面 EAB B.该二十四等边体的体积为该二十四等边体的体积为 20 3 C.该二十四等边体外接球的表面积为该二十四等边体外接球的表面积为 8 D.PN 与平面与平面 EBFN 所成角的正弦值为所成角的正弦值为 2 2 三、填空题：三、填空题： 13.已知矩形已知矩形 ABCD 中，中，AB=2,AD=1,设设 AC 与与 BD 交于点交于点 O,则则AO BO= 14.二项式二项式 3 2 a x x 的展开式中，的展开式中，x 的系数为的
5、系数为 270,则：（则：（1)a= ，（2)该二该二 项式展开式中所有项的系数和为项式展开式中所有项的系数和为 （本题第一空（本题第一空 3 分，第二空分，第二空 2 分）分） 15.为了衡量星星的明暗程度， 古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了为了衡量星星的明暗程度， 古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了 星等这个概念星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗，到星等这个概念星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗，到 了了 1850 年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学
6、家普森又提出了亮度 的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m1-m2=2.5(lg E2-IgE1),其中星等为其中星等为 mk的星的亮度为的星的亮度为 Ek(k=1,2).已知已知“心宿二心宿二”的星等的星等 是是1.00,“天津四天津四”的星等是的星等是 1.25,则则“心宿二心宿二”的亮度大约是的亮度大约是“天津四天津四”的的 倍。倍。 （结果精确到（结果精确到 0.01.当当|x|较小时，较小时，10 x1+2.3x+2.7x2) 16.已知双曲线已知双曲线 C: 22 22 xy ab 1
7、(a0,b0)的右焦点为的右焦点为 F(35,0),点点 N 的坐标为（的坐标为（0,2), 点点 M 为双曲线为双曲线 C 左支上的动点，且左支上的动点，且 MNF 的周长不小于的周长不小于 20,则双曲线则双曲线 C 的离心率的离心率 的取值范围为的取值范围为 . 四、解答题：四、解答题： 17.在在 ABC 中，角中，角 A,B,C 所对的边分别是所对的边分别是 a,b,c,且且 4cos(A+C)+2cos 2B+3=0. （1)求角求角 B;（2)若若 D 是是 BC 的中点，的中点，AD=43,AB=8,求求 ABC 的面积的面积 18.已知等差数列已知等差数列an,其前其前 n
8、项和为项和为 Sn,若若 a1+a3=10,S3=35. （1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式； （2)若数列若数列bn满足：满足：a1b1+a2b2+a3b3+ +anbn=1+(2n-1)2n,求数列求数列 221 1 (log) nn ab 的前的前 n 项和项和 Tn. 19.如图，四棱锥如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面中，底面 ABCD 是直角梯形，是直角梯形，AB/DC, BAD=90 , PD=DCBC=2PA=2AB=2,PDDC.（1)求证：求证：PA平面平面 ABCD;（2)设设BMBD (0b0)的左、右焦点分别是双曲线的左、右焦点分别是双曲线 C2 : 2
9、2 4 y x =1 的的 左、右顶点，且椭圆左、右顶点，且椭圆 C1的上顶点到双曲线的上顶点到双曲线 C2的渐近线的距离为的渐近线的距离为 5 5 .（ （1)求椭圆求椭圆 C1 的方程；（的方程；（2)设椭圆设椭圆 C1的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),经过左焦点经过左焦点 F1的直线的直线 l 与椭圆与椭圆 C1交于交于 M,N 两点，且满足两点，且满足 222 F PF MF N的点的点 P 也在椭圆也在椭圆 C1上，求四边上，求四边 形形 F2MPN 的面积的面积 21.某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统某电子公司新开发一电子产品，
10、该电子产品的一个系统 G 有有 2n-1 个电子元件组个电子元件组 成，各个电子元件能正常工作的概率均为成，各个电子元件能正常工作的概率均为 p,且每个电子元件能否正常工作相互独立。且每个电子元件能否正常工作相互独立。 若系统中有超过一半的电子元件正常工作， 则系统若系统中有超过一半的电子元件正常工作， 则系统 G 可以正常工作， 否则就需维修。可以正常工作， 否则就需维修。 （1)当当 n=2,p= 1 2 时， 若该电子产品由时， 若该电子产品由 3 个系统个系统 G 组成， 每个系统的维修所需费用为组成， 每个系统的维修所需费用为 500 元，设元，设 为该电子产品需要维修的系统所需的总
11、费用，求为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求 的分布列与数学期的分布列与数学期 望；望； （2)为提高系统为提高系统 G 正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件， 每个新元件正常工作的概率均为每个新元件正常工作的概率均为 p,且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作， 则系统则系统 C 可以正常工作，问可以正常工作，问 p 满足什么条件时，可以提高整个系统满足什么条件时，可以提高整个系统 G 的正常工作的正常工作 概率？概率？ 22.已知函数已知函数 1 ( ) x e f
12、x x ，其中，其中 e=2.718 28 为自然对数的底数为自然对数的底数 （1)求求 f(x)的单调区间；的单调区间； （2)若若 ex-2xlnx-kx-10 对对x0 恒成立，记恒成立，记 kmax=,证明：证明：1.1. 湖北省七市（州）教研协作体湖北省七市（州）教研协作体 2021 年高三年级年高三年级 3 月联考月联考 数学参考答案数学参考答案 一、一、单项单项选择题选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B B C A D C 二、多项二、多项选择题选择题 题号 9 10 11 12 答案 AD CD BC BCD 三、三、填空题填空题 13 3 4 143
13、,32 151.26 16(1, 5 四、解答题解答题 17 （1）因为ABC，所以ACB，由4cos()2cos230ACB， 可得 2 4cos2(2cos1)30BB， 即 2 4c o s4c o s1 0BB ， 3 分 得 1 cos 2 B ， 因为0B， 所以 3 B . 5 分 （2）在ABD中，由余弦定理可得 222 2cosADABBDAB BDB， 即 2 2 48642 1 8BDBD，即 2 1608BDBD，解得4BD . 7 分 所以 113 22284s163 22 in 2 ABCABD BSDBSAB . 10 分 18 （1）因为 13 5 10 35
14、aa S ，所以 1 1 5 27 ad ad ，解得 1 3 2 a d ， 2 分 所以 1 (1)21 n aandn 4 分 （2）由(1)得: 123 357.(21)1(21)2n n bbbnbn ， 所以 1 1231 )357.(21)1(23)22( n n bbbnbnn ， 两式相减得： 1 (21)(21)2(2) n n nbnn ，所以 1( )22 n n bn ， 7 分 又由式得 1 1b ，适合上式，所以 1* 2)( n n bnN 8 分 所以 224 1111 () (21)1 1 (23)2 223(log) nn nnabnn ， 10 分 所以
15、 1111111 () 2 35572123 n T nn 111 () 2 323n 69 n n 12 分 19 （1）因为ABCD是直角梯形，ABDC，90BAD，所以ADDC， 又因为PDDC，PDADD，所以CD 平面PAD， 又因为PA平面PAD，所以CDPA， 2 分 取CD的中点E，连接BE，在RtBCE中，2BC ，1CE ，可得3BE ， 所以3AD ，又22PDPA，所以 222 PAADPD，所以PAAD， 4 分 又ADCDD， 所以PA 平面ABCD. 5 分 （2）以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则(1,0,0)B，D
16、(0, 3,0)，(0,0,1)P，所以( 1,0,1)BP ，( 1, 3,0)BD ， 设平面PBD的法向量, ,x y zm，由 0 30 BPxz BDxy m m ， 得 0 30 xz xy ，令1y ，得 3,1 , 3m， 7 分 设 000 ,M xy z，由(01)BMBD，得 000 (1,)( 1, 3,0)xyz， 所以 1, 3 ,0M，所以(0,0,1)AP ， 1, 3 ,0AM， 设平面PAM的法向量 111 ,x y zn，由 0 0 AP AM n n ， 得 1 11 0 (1)30 z xy ，令 1 3x， 得平面PAM的一个法向量为( 3 ,1,0
17、) n. 9 分 设二面角APMB的平面角为， 则有 2 22 31417 cos 7 7 4217 ( 3 )(1) n m n m ， 解得0或 1 2 ， 因为01， 所以 1 2 . 12 分 20（1） 椭圆的左右焦点分别为 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c， 而双曲线 2 C： 2 2 4 1 y x 的顶点分别为( 1,0)， (1,0)， 所以 1c 1 分 又椭圆的上顶点为(0, )b，而双曲线 2 C： 2 2 4 1 y x 的一条渐近线为2yx， 则有 |5 55 b ，解得 1b 3 分 222 112a，所以椭圆E的方程为 2 2 2 1 x y 4 分 （
18、2）设直线l的方程为1xty，(t一定存在） ，代入 22 22xy，并整理得 22 (2)210tyty ， 22 44(2)0tt恒成立，设 1 (1M ty ， 1) y， 2 (1N ty ， 2) y， 则 12 2 2 2 t yy t ， 12 2 1 2 y y t 5 分 设 0 (P x， 0) y，由 222 F PF MF N，得 012 012 122xtyty yyy ， 即 2 012 2 012 2 6 ()3 2 2 2 t xt yy t t yyy t ，又点P在椭圆 1 C上，故 222 2222 (6)4 1 2(2)(2) tt tt ， 即 42
19、12280tt， 解得 2 14t （舍负） ， 8 分 因为满足 222 F PF MF N的点P也在椭圆 1 C上，所以四边形 2 F MPN是平行四边形， 设四边形 2 F MPN的面积为S，则有 222 2 12121212 222 4 2(1)44(2) | | 2 ()42 (2)2 ttt SFFyyyyy y tt ， 11 分 代入 2 14t ，得四边形 2 F MPN的面积 30 4 S 12 分 21 （1）当2n 时，一个系统有 3 个电子元件，则一个系统需要维修的概率为 233 3 111 C ( )( ) 222 1 分 设X为 该 电 子 产 品 需 要 维 修
20、 的 系 统 个 数 ， 则 1 (3, ) 2 XB，500X 2 分 3 3 11 (500 )()C ( ) ( ),0,1,2,3 22 kkk PkP Xkk 4 分 的分布列为 1 5003750 2 E 6 分 （2）记21k 个元件组成的系统正常工作的概率为 k p.21k 个元件中有i个正常工作的概率 为 21 21 C(1) iiki k pp ， 因 此 系 统 工 常 工 作 的 概 率 21 21 21 C(1). k iiki kk i k ppp 7 分 在21k 个元件组成的系统中增加两个元件得到21k 个元件组成的系统，则新系统正 常 工作可分为下列情形： （
21、 a ） 原 系 统 中 至 少 有1k 个 元 件 正 常 工 作 ， 概 率 为 1 21 C(1) kkk kk ppp ； 8 分 （b）原系统中恰有k个元件正常工作，且新增的两个元件至少有 1 个正常工作， 概率为 21 21 1(1) C(1) kkk k ppp ； 9 分 （c）原系统中恰有1k 个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作， 概率为 211 21 C(1) . kkk k ppp 10 分 因此， 211211 1212121 C(1)1(1) C(1)C(1) kkkkkkkkk kkkkk pppppppppp 0 500 1000 1500 P 1 8 3
22、 8 3 8 1 8 1 21 (1) C(21) kkk k ppp 故 当 1 2 p 时 ， k p单 调 增 加 ， 增 加 两 个 元 件 后 ， 能 提 高 系 统 的 可 靠 性 . 12 分 22（1） 22 ee1e ( )(1e) xxx x x fxx xx ， 1 分 易证当0 x 时，e1 x x，则e1 x x ，即 e10 x x ， 所以()0fx，故 ( )f x在 (,0)，(0,)上单调递 增 4 分 （2）由题意得0 x ， e1 2ln x x k x ， 令 e1 ( )2ln x F xx x ，要证：1.1，即证( )1.1F x 22 ee12
23、ee21 ( ) xxxx xxx F x xxx ， 令( )ee21 xx g xxx，则 ( )e2 x g xx，( )(1) e0 x gxx， 所以( )g x在(0,)上单调递增，又(0)20g ，(1)e20g， 故 0 (0,1)x，使得 0 ()0g x，即 0 0 2 ex x 6 分 所以 0 (0,)xx ，有( )0g x，( )g x单调递减； 0 (,)xx ，( )0g x，( )g x单调递增 所以 0 ( )()g xg x，(0)0g， 00 0000 0 2 ()ee212210 xx g xxxx x ， 3 2 31 ( )e20 22 g，所以存
24、在 10 3 (, ) 2 xx ，使得 1 0g x， 即 1 1 1 21 e 1 x x x ，且满足 1 (0,)xx ，( )0F x，( )F x单调递减； 1, xx ，( )0F x，( )F x单调递增； 所以 1 111 11 e1 ( )2ln2ln 1 1 x F xF xxx xx 8 分 令 1 ( )2ln 1 h xx x ，则 2 12 ( )0 (1) h x xx ，故( )h x单调递减， 又 1 3 2 x ，所以 33 ( )( )2(1ln) 22 h th 9 分 则只需证明 0.45209 3333 2(1ln)1.1ln0.45e( )e 2222 ， 又 8 e2 6 3 ，可先证明 209 38 ( )( ) 23 ，又 5 3243， 8 2256，则 58 32， 所以 3048219 38 32( )( ) 23 ， 而 2021 33 ( )( ) 22 ， 所以 2099 38 ( )( )e 23 ， 证毕！ 12 分 注：关于 33 2(1ln)1.1ln0.45 22 的证明下面再给出一种证法: 由对数均值不等式（需要证明）得 32 32 ln3ln2 ，即 6 ln3ln2 6 ， 又 2 1 0.45 6 ，所以 3 lnln3ln20.45 2 ，证毕！
