1、【 ;百万教育资源文库 】 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (全国 新课标卷 1) 文科数学 答案解析 第 卷 一 、 选择题 1.【答案】 A 【解析 】 因为 2 x , 1 , 4 , 9 ,1 6 B x n n A? ? ? ?， 所以 4AB?， ， 故选 A 2.【答案】 B 【解析 】21 2 i 1 2 i 1 2 i i 2 i 1= 1 + i1 i 2 i 2 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.【答案】 B 【解析 】 由题意知总事件数为 6，且分别为 (1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,3)， (2,4)， (3,4)
2、，满足条件的事件数是 2，所以所求的概率为 13 4.【答案】 C 【解析 】 因为 5e 2? ， 所以 52ca?，即 22 54ca?； 因为 222c a b ， 所以 22 14ba?，所以 12ba? ； 因为双曲线的渐近线方程为 byxa? ，所以渐近线方程为 12yx? 故选 C 5.【答案】 B 【解析 】 由 0023 知， p 为假命题。令 ? ? 321h x x x ， ? ? ? ?0 1 0 , 1 1 0hh ， 3210xx 在 (0，1)内有解。 32,1x x x?R ，即命题 q 为真命题。由此可知只有 pq? 为真命题。故选 B 6.【答案】 D 【解
3、析 】 112113 211 1 332n nnn naa a qqq aaqS ? ? ? ? ? ? ，故选 D 7.【答案】 A 【 ;百万教育资源文库 】 【解析 】 当 11t? 时， 3st ，则 3)3s? ， 当 13t? 时， 24s t t ， 该函数的对称轴为 t 2， 该函数在 12， 上单调递增，在 23， 上单调递减。 4maxs ， 3mins 43,s? 综上知 ,43s? 故选 A 8.【答案】 C 【解析 】 利用 2 4 2PF xP ? ，可得 32Px 26Py ? 。 23PP O FS O F y 故选 C 9.【答案】 C 【解析 】 由 ? ?
4、 1 co sin()sf x x x 知其为奇函数 ， 可排除 B； 当 0,2x ? ? ?时， ? ? 0fx ，排除 A； 当 )(0x? ，时， ? ? 22s i n c o s 1 c o s 2 c( o s c o s 1)f x x x x x x? ； 令 ? ? 0fx? ，得 23x? ， 故极值点为 23x? ，可排除 D，故选 C 10.【答案】 D 【解析 】 由 223cos cos2 0AA ，得 2 2cos 15A 。 0,2A ? ?， cos 15A ； 23s 6 4926co bA b? ， 5b或 135b? （ 舍 ）； 故选 D 11.【答
5、案】 A 【解析 】 该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体 ， 2 2 4 8V ?半 圆 柱 ，4 2 2 16V ?长 方 体 所以所求体积为 16 8 ； 故选 A 12.【答案】 D 【解析 】 可画出 ?fx的图象如图所示 ： 当 0a 时， y ax 与 ? ?y f x 恒有公共点，所以排除 B， C； 当 0a? 时，若 0x ，则 ? ?f x ax? 恒成立 ； 若 0x? ，则以 y ax 与 2 2|y x x 相切为界限， 【 ;百万教育资源文库 】 由2, 2,y axy x x? ?得 2 2()0x a x 22()0a? ， 2a ,02a? ；
6、故选 D 第 卷 二、填空题 13.【答案】 2 【解析 】 0?bc ， 1 ab ， , 60? ab ， 1111 22? ? ?ab 1( 0 ) tt b c a b b，即 210()tt a b b 112 0t t ； 2t 14.【答案】 3 【解析 】 画出可行域如图所示。 画出直线 20xy ，并平移，当直线经过点 3(3)A， 时， z 取最大值，且最大值为 2 3 3 3z ? 15.【答案】 92 【解析 】 如图， 【 ;百万教育资源文库 】 设球 O 的半径为 R，则 AH 23R ， OH 3R 又 2 EH ， 1EH 在 Rt OEH 中， 22 2+13
7、RR ?， 2 98R 2 924SR球 16.【答案】 255? 【解析 】 ? ? s i n 2 c o s s5 ( )inf x x x x ? ，其中 sin 255? ， cos 55? ； 当 (22 )x k k? ? Z 时， ?fx取最大值 ， 即 ()22 kk? ? Z ， ()22 kk? Z ； c o s2c o s s in? 255? 三、解答题 17.【答案】 （ ） 2nan （ ） 12nn? 【解析 】 （ ） 设 ?na 的公差为 d，则1 ( 1)2n nS nna d?； 由已知可得 113 3 0,5 10 5,ad? ， 解得 1 1a ，
8、 1d 故 ?na 的通项公式为 2nan （ ） 由 （ ） 知2 1 2 11nnaa? 1 1 1 13 2 1 2 2 2 3 2 1n n n n? ? ? ? ? ? ?， 【 ;百万教育资源文库 】 从而数列2 1 2 11nnaa?的前 n 项和为 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 3 2 3 2 1nn? ? ? ? ? ? ? ? 12nn? 18.【答案】 （ ） A 药 （ ） A 药 【解析 】 （ ） 设 A 药观测数据的平均数为 x ， B 药观测数据的平均数为 y ； 由观测结果可得 ： x 120 (0.6 1.2 1.2 1.5 1.5 1.8 2.
9、2 2.3 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.5) 2.3； y 120 (0.5 0.5 0.6 0.8 0.9 1.1 1.2 1.2 1.3 1.4 1.6 1.7 1.8 1.9 2.1 2.4 2.5 2.6 2.7 3.2) 1.6 由以上计算结果可得 x y ，因此可看出 A 药的疗效更好 （ ） 由观测结果可绘制如下茎叶图： 从以上茎叶图可以看出， A 药疗效的试验结果有 710 的叶集中在茎 2， 3 上，而 B 药疗效的试验结果有 710 的叶集中在茎 0， 1 上，由此可看出 A 药的疗效更好 19.【答案】 （
10、）见解析 （ ） 3 【解析 】 （ ） 证明：取 AB 的中点 O，连结 OC， OA1， A1B 因为 CA CB ，所以 OC AB? 由于 1AB AA ， 1 60BAA? ，故 1AAB 为等边三角形，所以 1OA AB? 【 ;百万教育资源文库 】 因为 1OC OA O? ，所以 AB? 平面 1OAC 又 1AC? 平面 1OAC ，故 1AB AC? （ ） 解：由题设知 ABC 与 1AAB 都是边长为 2 的等边三角形，所以 1 3OC OA ； 又 1 6AC ，则 1221 2A C OC OA ，故 1OA OC? ； 因为 OC AB O? ，所以 1OA? 平
11、面 ABC， 1OA 为三棱柱 1 1 1ABC ABC 的高 ； 又 ABC 的面积 3ABCS ，故三棱柱 1 1 1ABC ABC 的体积 1 3ABCV S OA? 20.【答案】 （ ） 4, 4ab （ ） 24(1 )e 【解析 】 （ ） ? ? ()e 2 4xf x a x a b x? 由已知得 ? ?04f ， ? ?04f? ； 故 4b ， 8ab 从而 4, 4ab （ ） 由 （ ） 知， ? ? 24 e 1 4()xf x x x x ， ? ? 4 e 2 2 4 4 1( 2) ) e2( xxf x x x x ? ? ? ； 令 ? ? 0fx? 得
12、， ln2x 或 2x 从而当 , 2 ln 2 ,( ) ( )x ? ? ? ? 时， ? ? 0fx? ；当 2, )ln2(x? 时， ? ? 0fx? ； 故 ?fx在 ( 2),? ， ln2(), ? 上单调递增，在 )2, 2( ln 上单调递减。 当 2x 时，函数 ?fx取得极大值，极大值为 2( ) (2 4 1 e )f 21.【答案】 （ ） 22=1( )43 2xxy? ? （ ） 187 【解析 】 由已知得圆 M 的圆心为 ()10M ， ，半径 11r ；圆 N 的圆心为 0(1)N， ，半径 2 3r 设圆 P 的圆心为 ,()Pxy ，半径为 R （ ）
13、 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以 1 2 1 2( ) ( ) 4P M P N R r r R r r 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M， N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3 的椭圆 （ 左顶点除外 ） ，其方程为 22=1( )43 2xxy? ? （ ） 对于曲线 C 上任意一点 ,()Pxy ，由于 2 2 2P M P N R ? ，所以 2R? ，当且仅当圆 P 的圆心为【 ;百万教育资源文库 】 (2)0， 时， 2R 所以当圆 P 的半径最长时，其方程为 2224()xy 若 l 的倾斜角为 90 ，则 l 与 y 轴重合，可得 23AB
14、； 若 l 的倾斜角不为 90 ，由 1 rR? 知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x轴的交点为 Q，则1|QP RQM r? ，可求得 ()40Q ， ，所以可设 l： ( 4)y k x 由 l 与圆 M 相切得2 1|3 |1 kk? ，解得 24k ? 当 24k 时，将 2 24yx?代入 22=143xy? ，并整理得 27 8 8 0xx ，解得12 4 6 27x ?， ，所以2 211 | |A B x xk? 187 当 24k ? 时，由图形的对称性可知 187AB 综上， 23AB 或 187AB 22.【答案】 （ ） 证明：连结 DE，交 BC 于点 G 由弦切
15、角定理得， ABE BCE? ， 而 ABE CBE? ，故 CBE BCE? ， BE CE 又因为 DB BE? ，所以 DE 为直径， 90DCE? ，由勾股定理可得 DB DC （ ） 解：由 （ ） 知， CDE BDE? ， DB DC，故 DG 是 BC 的中垂线，所以 BG 32 设 DE 的中点为 O，连结 BO，则 60BOG? 从而 30A B E B C E C B E? ? ? ? ，所以 CF BF， 故 Rt BCF 外接圆的半径等于 32 23.【答案】 （ ） 2 8 c o s 1 0 s in 1 6 0? ? ? ? ? （ ） 2,4?和 2,2?【
16、;百万教育资源文库 】 【解析 】 （ ） 将 4 5cos ,5 5sinxtyt? ?消去参数 t，化为普通方程 224 5 2) 5( ) (xy ； 即 1C ： 22 8 1 0 1 6 0x y x y 将 cos ,sinxy ? ?代入 22 8 1 0 1 6 0x y x y 得 2 8 c o s 1 0 s in 1 6 0? ? ? ? ? 所以 1C 的极坐标方程为 ： 2 8 c o s 1 0 s in 1 6 0? ? ? ? ? （ ） 2C 的普通方程为 2220x y y 由 22228 1 0 1 6 0 ,20x y x yx y y? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得 1,1xy?或 0,2.xy?所以 1C 与 2C 交点的极坐标分别为 2,4?， 2,2? 24.【答案】 （ ） 2|0xx （ ） 41,3?
