1、【 ;百万教育资源文库 】 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 (全国新课标卷 1) 数学（理科）答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 A 【解析】由 1 =i1 zz? ， 得 1 i ( 1 i)( 1 i )=i1 i (1 i ) (1 i )z ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故 1z? ， 故选 C 【提示】先化简复数，再求模即可 【考点】复数的运算 2.【答案】 D 【解析】原式 1s i n 2 0 c o s1 0 c o s 2 0 s i n 1 0 s i n 3 0 2? ? ? ?， 故选 D 【提示】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解
2、即可 【考点】三角函数的运算 3.【答案】 C 【解析】 命题的否定是 ： 2 2nnn? ? ?N， 【提示】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论 【考点】命题 4.【答案】 A 【解析】根据独立重复试验公式可得，该同学通过测试的概率为 2 2 33C 0 .6 0 .4 0 .6 =0 .6 4 8 .? 【提示】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可 【考点】概率 5.【答案】 A 【解析】由题知 12( 3 , 0) ( 3 , 0)FF? ， ， 2 200 12x y?， 所以 2 2 21 2 0 0 0 0 0 0 0( 3 , ) ( 3 , ) 3 3 1
3、0M F M F x y x y x y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?u u u r u u u urgg ， 解得033y? ? ?，故选 A 【提示】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定 0y 的取值范围 【考点】双曲线 6.【答案】 B 【解析】设圆锥底面半径为 r ， 则 1 1 62 3 8 ,43rr? ? ? ? ?所以米堆的体积为 【 ;百万教育资源文库 】 21 1 1 6 3 2 03 5 ,4 3 3 9? ? ? ? ?故堆放的米约为 320 1.62 22,9 ?故选 B 【考点】圆锥体积 【提示】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可
4、7.【答案】 A 【解析】由题知 1 1 1 4()3 3 3 3A D A C C D A C B C A C A C A B A B A C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur 【提示】将向量 ADuur 利用向量的三角形法则首先表示为 AC CD?uuur uuur ，然后结合已知表示为 ACACuuuruuur， 的形式 【考点】向量运算 8.【答案】 D 【解析】由五点作图知，1 42,5342? ? ?解得 , 4?，所以 ( ) cos ,4
5、f x x?令 2 2 ,4k x k k? ? ? ? ? Z解得 132 2 , ,44k x k k? ? ? ? ? Z 故 ()fx的单调递减区间为 132 , 2 ,44k k k? ? ?Z，故选 D 【提示】由周期求出 ? ，由五点法作图求出 ? ，可得 ()fx的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得 ()fx的减区间 【考点】三角函数运算 9.【答案】 C 【解析】执行第 1 次， 0.01, 1,tS? 10, 0.5,2nm? ? ? 0 .5 , 0 .2 5 ,2mS S m m? ? ? ? ?1, 0.5 0.01n S t? ? ? ?， 是，循环 ， 执行第
6、2 次， 0 .2 5 , 0 .1 2 5 ,2mS S m m? ? ? ? ?2 , 0 .2 5 0 .0 1n S t? ? ? ?，是，循环 ， 执行第 3 次， 0 . 1 2 5 , 0 . 0 6 2 5 ,2mS S m m? ? ? ? ?3, 0 .1 2 5 0 .0 1n S t? ? ? ?，是，循环 ， 执行第 4 次， 0 . 0 6 2 5 , 0 . 0 3 1 2 5 ,2mS S m m? ? ? ? ?4 , 0 .0 6 2 5 0 .0 1n S t? ? ? ?，是，循环 ， 执行第 5 次， 0 . 0 3 1 2 5 , 0 . 0 1 5
7、 6 2 5 ,2mS S m m? ? ? ? ?5 , 0 .0 3 1 2 5 0 .0 1n S t? ? ? ?，是 ， 循环 ， 执行第 6 次， 0 . 0 1 5 6 2 5 , 0 . 0 0 7 8 1 2 5 ,2mS S m m? ? ? ? ?6 , 0 .0 1 5 6 2 5 0 .0 1n S t? ? ? ?，是，循环 ， 执行第 7 次， 【 ;百万教育资源文库 】 0 .0 0 7 8 1 2 5,S S m? ? ? 2mm? 0.00390625? ， 7 , 0 .0 0 7 8 1 2 5 0 .0 1n S t? ? ? ?， 否，输出 7,n?
8、 故选 C 【提示】由题意 依次 计算， 当 7 , 0 .0 0 7 8 1 2 5 0 .0 1,n S t? ? ? ?停止 由此可得结论 【考点】程序框图 10.【答案】 C 【解析】在 25()x x y? 的五个因式中， 2 个取因式中 2x 剩余的 3 个因式中 1 个取 x ，其余因式取 y ，故 52xy的系数为 2 1 25 3 2C C C 30,? 故选 C 【提示】利用展开式的通项 进行 分析，即可得出结论 【考点】二项式展开式 11.【答案】 B 【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱和球的半径都是 r ， 圆柱的高为2r ， 其表面积为
9、 2 2 2 21 4 2 2 2 5 4 1 6 2 0 2 r r r r r r r r? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，解得 r=2，故选 B 【提示】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可 【考点】空间几何体的表面积 12.【答案】 D 【解析】设 ? ? ? ?e 2 1 , ,xg x x y ax a? ? ? ?由题知存在唯一的整数 0x ， 使得 0()gx 在直线 y ax a?的下方 因为 ( ) e (2 1)xg x x?， 所以当 12x? 时 ， ( ) 0gx? ，当 12x? ， ( ) 0,g x ? 所以当 12x? 时 ， 12m
10、in ( ) 2egx ? 当 0x? 时 (0) 1g ? ， (1) e 0g ? ，直线 y ax a?恒过 (1,0) 且斜率 a ， 故 (0) 1ag? ? ? ， 且1( 1) 3eg a a? ? ? ? ? ?， 解得 3 12e a? ， 故选 D 【提示】设 ? ? ? ?e 2 1 , ,xg x x y ax a? ? ? ?，问题转化为存在唯一的整数 0x 使得 0()gx 在 直线 y ax a?的下方，【 ;百万教育资源文库 】 由 导数可得函数的极值，数形结合可得 (0) 1ag? ? ? 且 1( 1) 3eg a a? ? ? ? ? ?，解关于 a 的不
11、等式组可得 【考点】带参函数 第 卷 二、填空题 13.【答案】 1 【解析】由题知 2ln( )y x a x? ? ? 是奇函数 ， 所以 2 2 2 2l n ( ) l n ( ) l n ( ) l n 0x a x x a x a x x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 解得 1.a? 【提示】由题意可得， ( ) ( )f x f x? ，代入根据对数的运算性质即可求解 【考点】函数奇偶性 14.【答案】 2 23 2524xy? ? ?【解析】设圆心为 (,0)a ， 则半径为 4 a? ，则 222(4 ) 2 ,aa? ? ?解得 32a? ， 故圆的标准方
12、程为 2 23 2524xy? ? ? 【提示】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程 【考点】圆的标准方程 15.【答案】 3 【解析】做出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， yx 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点 (1,3) 与原点连线的斜率最大 ， 故 yx 的最大值 3. 【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 yx 的最大值 【考点】线性规划问题 【 ;百万教育资源文库 】 16.【答案】 ( 6 2 , 6 2 )? 【解析】如下图所示：延长 BA CD， 交于点 E ，则可知在 ADE 中，
13、 105DAE? ? ? ， 45ADE? ? ? ， 30,E? ? ?设 12AD x? ， 22AE x? ， 624DE x? ， CD m? ， 2BC? ， 62 s in 1 5 14 xm? ? ? ?g? 62 624 xm? ? ? ?， ?04x? ， 而 6 2 242A B x m x? ? ?= 6 2 ,2 x?AB 的取值范围是 ( 6 2 , 6 2 )? 【提示】如图所示，延长 BA CD， 交于点 ， 设 12AD x? ， 22AE x?， 624DE x?， CD m? ，求出62 624 xm? ? ? ?，即可求出 AB 的取值范围 【考点】平面几
14、何问题 三解答题 17.【答案】（） 21n? （） 116 4 6n? ? 【解析】（）当 1n? 时 ， 21 1 1 12 4 3 4 + 3a a S a? ? ? ?，因为 0na? ， 所以 1a =3，当 2n ? 时 ， 221122n n n na a a a? ? ?= 14 3 4 3nnSS? ? ?=4na ， 即 1 1 1( ) ( ) 2 ( )n n n n n na a a a a a? ? ? ? ? ?， 因为 0na? ， 所以 1nnaa? =2，所以数列 na 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，所以 na =21n? ； （）由（ 1）知， 1
15、 1 1 1( 2 1 ) ( 2 3 ) 2 2 1 2 3nb n n n n? ? ? ? ? ?， 所以数列 nb 前 n 项和为12 1 1 1 1 1 1 1= 2 3 5 5 7 2 1 2 3nb b b nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= 116 4 6n? ? 【提示】（ ）根据数列的递推关系，利用作差法即可求 na 的通项公式： 【 ;百万教育资源文库 】 （ ）求出11nnnb aa?，利用裂项法即可求数列 nb 的前 n 项和 【考点】数列前 n 项和与第 n 项的关系，等差数列定义与通项公式 18
16、.【答案】（）答案见解析 （） 33【解析】（）连接 BD ，设 ,BD AC G?I 连接 EG FG EF， ， ，在菱形 ABCD 中，不妨设 1GB? ， 由 ABC=120，可得 3AG GC? 由 BE? 平面 ABCD ， AB BC? ，可知 AE EC? ， 又 AE EC? ， 3EG EG AC?， ， 在 Rt EBG 中，可得 2BE? ，故 22DF? 在 Rt FDG 中，可得 62FG? 在直角梯形 BDEF 中，由 2BD? ， 2BE? ， 22DF?， 可得 322EF?， 2 2 2EG FG EF?， EG FG? ， AC FG G? ， EG? 平
17、面 AFC ， EG? 平 面 AEC ， 平面 AFC 平面 AEC （）如图，以 G 为坐标原点，分别以 ,GBGCuur uuur 的方向为 x 轴 ， y 轴正方向， |GBuur 为单位长度 ， 建立空间直角坐标系 G xyz? ， 由 （）可得 0, 3,0)A（ - ， ()1,0, 2E ， 21,0.2F?， (0, 3,0)C ， (1, 3, 2)AE ?uuur ， 21, 3 ,2CF ? ? ?uuur 故 3c o s ,3| | |A E C FA E C F A E C F? ? ? ? ?uuur uuuruuur uuur guuur uuur， 【 ;百
18、万教育资源文库 】 所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为 33 【提示】（ ）连接 BD ，设 BD AC G?I ，连接 EG EF FG， ， ，运用线面垂直的判定定理得到 EG? 平面AFC ，再由面面垂直的判定定理，即可得到 . （ ）以 G 为坐标原点，分别以 GB GC， 为 x 轴， y 轴， GB 为单位长度，建立空间直角坐标系 G xyz? ，求得 A E F C， ， ， 的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值 【考点】空间垂直判定与性质，异面直线所成角的计算 19.【答案】 （ ）答案见解析 （） 答案见解析 （ ） (i )66.32 (ii )46.24 【解析】（ ）由散点图可以判断， y c d x? 适合作为年销售 y 关于年宣传费用 x 的回归方程类型 ( )令 wx? ，先建立 y 关于 w 的线
