1、专题专题 02 空间向量及其运算的坐标表示空间向量及其运算的坐标表示 一、单选题一、单选题 1 （2019 黑龙江省牡丹江一中高二期中）已知向量(1, 2,1)a ，( 1,2, 1)ab ，则向量b （ ） A(2, 4,2) B( 2,4, 2) C( 2,0, 2) D(2,1, 3) 2 （2020 南京市秦淮中学高二期末）已知向量3,2,ax，向量2,0,1b ，若ab，则实数x（ ） A3 B3 C6 D6 3 （2019 湖南省衡阳县江山学校高二月考） 若向量(0,1, 1),(1,1,0)ab， 且()aba， 则实数的 值是（ ） A1 B0 C2 D1 4 （2019 浙江
2、省宁波市鄞州中学高二月考）已知空间向量1, ,2an，2,1,2b ，若2a b 与b垂直， 则a r 等于（ ） A 3 5 2 B 5 3 2 C 37 2 D 21 2 5 （2019 佛山市荣山中学高二期中）已知2, 1,2a ，4,2,bx ，且 /ab，则x（ ） A-4 B-5 C5 D-2 6 （2019 湖北省沙市中学高二月考）若(1,21,0),(2,)ammbm m，则b a的最小值是（ ） A5 B6 C 2 D3 7 （2019 南郑中学高二期末）在空间直角坐标系中，点 (2, 1,3)A关于平面xOz的对称点为B，则 OA OB( ) A10 B10 C12 D12
3、 8 （2019 陕西省西北农林科技大学附中高二期末）已知向量), 4(4, 2a ，)6,(3,2b ，则下列结论正 确的是（ ） A )10, 6(5ab B2, 1, 6ab C 10a b r r D6a 9 （2017 陕西省西安中学高二期中）已知2, 1,3a ，1,4, 4b ， 7,7,c，若a、b、c三个 向量共面，则实数( ) A3 B5 C7 D9 10 （2020 北京交通大学附属中学高二月考） 如图， 在边长为2的正方体 1111 ABCDABC D中，E为BC的 中点，点P在底面ABCD上移动，且满足 11 BPDE，则线段 1 B P的长度的最大值为（ ） A 4
4、 5 5 B2 C2 2 D3 二、多选题二、多选题 11 （2019 晋江市南侨中学高二月考）已知向量(1,1,0)a ，则与a共线的单位向量e （ ） A 22 (,0) 22 B(0,1,0) C 22 (,0) 22 D(1,1,1) 12 （2020 南京市秦淮中学高二期末）对于任意非零向量 111 ,ax y z， 222 ,bxy z，以下说法错误 的有( ) A若ab，则 12121 2 0 x xy yz z B若 /a b rr ，则 111 222 xyz xyz C 12121 2 222222 111222 cos, x xy yz z xyz a z b xy D若
5、 111 1xyz，则a为单位向量 13（2020 辽宁省高二期末） 若 1, , 2a ，2, 1,1b ，a与b的夹角为120， 则的值为 （ ） A17 B17 C1 D1 三、填空题三、填空题 14 （2019 佛山市荣山中学高二期中）已知3,2,5a ，1,5, 1b ，则a b _. 15（2020 浙江省高二期末） 已知向量 (1,2,2)a= r ， (2, , 1)bx=- r ， 则a _； 若a b ， 则x_ 16 （2020 贵州省铜仁第一中学高二开学考试）已知1,1,0a ，0,1,1b ，1,0,1c ，pab， 2qabc，则p q _. 17（2020 黑龙江
6、省黑龙江实验中学高三期末） 如图， 棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，M是棱 1 AA 的中点，点 P 在侧面 11 ABB A内，若 1 D P垂直于CM，则PBC的面积的最小值为_. 四、解答题四、解答题 18 （2020 宁夏回族自治区宁夏育才中学高二期末）已知2, 1,3a ，4,2,bx ，1,2cx. （1）若 /ab，求x的值； （2）若abc，求x的值. 19 （2019 甘肃省静宁县第一中学高二期末）已知向量1,1,1AB ，1,2, 1AC ，3, ,1ADy. （1）若ADAC，求y的值； （2）若A、B、C、D四点共面，求y的值. 20.（2019
7、北京高二期末）已知向量( 2, 1,2) a，( 1,1,2)b ，( ,2,2)xc. （）当| | 2 2c 时，若向量ka b 与c垂直，求实数x和k的值； （）若向量c与向量a，b共面，求实数x的值. 21 （2019 新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）已知空间三点 2,0,2 ,1,1,2 ,3,0,4ABC，设,aAB bAC. （1）求a和b的夹角的余弦值； （2）若向量ka b 与2kab互相垂直，求k的值. 22 （2019 建瓯市第二中学高二月考）已知向量1,2, 2a . （1）求与a共线的单位向量b； （2）若a与单位向量0, ,cm n垂直，求 m，n 的值.
8、 23（2019 佛山市荣山中学高二期中） 已知空间中三点 2,0, 2A，1, 1, 2B ，3,0, 4C， 设a A B ， bAC . （1）若3c ，且 / /cBC，求向量c； （2）已知向量ka b 与b互相垂直，求k的值； （3）求ABC的面积. 专题专题 02 空间向量及其运算的坐标表示空间向量及其运算的坐标表示 一、单选题一、单选题 1 （2019 黑龙江省牡丹江一中高二期中）已知向量(1, 2,1)a ，( 1,2, 1)ab ，则向量b （ ） A(2, 4,2) B( 2,4, 2) C( 2,0, 2) D(2,1, 3) 【答案】A 【解析】 由已知可得 1, 2
9、,11,2, 12, 4,2b . 故选：A. 2 （2020 南京市秦淮中学高二期末）已知向量3,2,ax，向量2,0,1b ，若ab，则实数x（ ） A3 B3 C6 D6 【答案】D 【解析】 3,2,ax，2,0,1b ，ab， 60a bx ，解得6x. 故选：D. 3 （2019 湖南省衡阳县江山学校高二月考） 若向量(0,1, 1),(1,1,0)ab， 且()aba， 则实数的 值是（ ） A1 B0 C2 D1 【答案】C 【解析】 由已知(0,1, 1)(1,1,0)( ,1, 1)ab， 由()aba得：()( ,1, 1) (0,1, 1)110aba ， 2， 故选：
10、C. 4 （2019 浙江省宁波市鄞州中学高二月考）已知空间向量1, ,2an，2,1,2b ，若2a b 与b垂直， 则a r 等于（ ） A 3 5 2 B 5 3 2 C 37 2 D 21 2 【答案】A 【解析】 由空间向量1, ,2an，2,1,2b ，若2a b 与b垂直， 则(2)0abb， 即 2 2a bb ， 即249n， 即 5 2 n ， 即 5 1,2 2 a ， 即 25 14 4 a r 3 5 2 ， 故选：A. 5 （2019 佛山市荣山中学高二期中）已知2, 1,2a ，4,2,bx ，且 /ab，则x（ ） A-4 B-5 C5 D-2 【答案】A 【解
11、析】 因为2, 1,2a ，4,2,bx ，且 /ab， 所以存在实数，使得b a ， 即 42 2 2x 解得 2 4x 故选：A 6 （2019 湖北省沙市中学高二月考）若(1,21,0),(2,)ammbm m，则b a的最小值是（ ） A5 B6 C 2 D3 【答案】C 【解析】 (1,1,)bamm m，所以 2222 (1)(1)322bammmm，故选 C 7 （2019 南郑中学高二期末）在空间直角坐标系中，点 (2, 1,3)A关于平面xOz的对称点为B，则 OA OB( ) A10 B10 C12 D12 【答案】D 【解析】 由题意，空间直角坐标系中，点 (2, 1,3
12、)A关于平面xOz的对称点(2,1,3)B， 所以 =(2, 1,3),(2,1,3)OAOB,则2 2( 1) 1 3 312OA OB ，故选 D. 8 （2019 陕西省西北农林科技大学附中高二期末）已知向量), 4(4, 2a ，)6,(3,2b ，则下列结论正 确的是（ ） A )10, 6(5ab B2, 1, 6ab C 10a b r r D6a 【答案】D 【解析】 因为), 4(4, 2a ，)6,(3,2b 所以)10, 2(5ab，2,1, 6ab ， 4 6234222a b 22 2 4246a 故选：D 9 （2017 陕西省西安中学高二期中）已知2, 1,3a
13、，1,4, 4b ， 7,7,c，若a、b、c三个 向量共面，则实数( ) A3 B5 C7 D9 【答案】A 【解析】 2, 1,3a ， 1,4, 4b ， 7,7,c， a、b、c三个向量共面， 存在实数m，n，使得c manb ，即有： 72 74 34 mn mn mn ， 解得5m，3n， 实数3 5433 故选：A 10 （2020 北京交通大学附属中学高二月考） 如图， 在边长为2的正方体 1111 ABCDABC D中，E为BC的 中点，点P在底面ABCD上移动，且满足 11 BPDE，则线段 1 B P的长度的最大值为（ ） A 4 5 5 B2 C2 2 D3 【答案】D
14、 【解析】 如下图所示，以点D为坐标原点，DA、DC、 1 DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系 Dxyz ， 则点 1 2,2,2B、 1 0,0,2D 、1,2,0E，设点, ,002,02P x yxy， 1 1,2, 2D E ， 1 2,2, 2B Pxy， 11 D EB P， 11 2224220B P D Exyxy ，得22xy， 由 02 02 x y ，得 0222 02 y y ，得01y， 22 2 1 224548B Pxyyy， 01y，当1y 时， 1 B P取得最大值3. 故选：D. 二、多选题二、多选题 11 （2019 晋江市南侨中学高二月考）
15、已知向量(1,1,0)a ，则与a共线的单位向量e （ ） A 22 (,0) 22 B(0,1,0) C 22 (,0) 22 D(1,1,1) 【答案】AC 【解析】 设与a共线的单位向量为e，所以a e ，因而ae，得到a 故 a e a ，而1 12a ，所以 22 (,0) 22 e 或 22 (,0) 22 e 故选：AC 12 （2020 南京市秦淮中学高二期末）对于任意非零向量 111 ,ax y z， 222 ,bxy z，以下说法错误 的有( ) A若ab，则 12121 2 0 x xy yz z B若 /a b rr ，则 111 222 xyz xyz C 12121
16、 2 222222 111222 cos, x xy yz z xyz a z b xy D若 111 1xyz，则a为单位向量 【答案】BD 【解析】 对于 A 选项，因为ab，则 1 2121 2 0a bx xy yz z ，A 选项正确； 对于 B 选项，若 2 0 x ，且 2 0y ， 2 0z ，若 /a b rr ，但分式 1 2 x x 无意义，B 选项错误； 对于 C 选项， 由空间向量数量积的坐标运算可知 12121 2 222222 111222 cos, x xy yz z xyz a z b xy ， C 选项正确； 对于 D 选项，若 111 1xyz，则 222
17、 1113a ，此时，a不是单位向量，D 选项错误. 故选：BD. 13（2020 辽宁省高二期末） 若 1, , 2a ，2, 1,1b ，a与b的夹角为120， 则的值为 （ ） A17 B17 C1 D1 【答案】AC 【解析】 由已知 224a b ， 22 145,4 1 16ab ， 2 41 cos120 2 56 a b a b ，解得17或1 ， 故选：AC. 三、填空题三、填空题 14 （2019 佛山市荣山中学高二期中）已知3,2,5a ，1,5, 1b ，则a b _. 【答案】2 【解析】 3,2,5a ，1,5, 1b 3 1 2 5512a b 故答案为：2 15
18、（2020 浙江省高二期末） 已知向量 (1,2,2)a= r ， (2, , 1)bx=- r ， 则a _； 若a b ， 则x_ 【答案】3 0 【解析】 向量 (1,2,2)a= r ， (2, , 1)bx=- r ， |1443a . 若a b ，则 2220a bx ，解得0 x. 故答案为：3，0. 16 （2020 贵州省铜仁第一中学高二开学考试）已知1,1,0a ，0,1,1b ，1,0,1c ，pab， 2qabc，则p q _. 【答案】-1 【解析】 依题意1,0, 1 ,0,3,1pabq，所以00 11p q . 故答案为：1 17（2020 黑龙江省黑龙江实验中
19、学高三期末） 如图， 棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，M是棱 1 AA 的中点，点 P 在侧面 11 ABB A内，若 1 D P垂直于CM，则PBC的面积的最小值为_. 【答案】 2 5 5 【解析】 以 D 点为空间直角坐标系的原点，以 DC 所在直线为 y 轴，以 DA 所在直线为 x 轴，以 1 DD 为 z 轴，建立 空间直角坐标系.则点 1 (2, , ),(0,0,2)Py z D， 所以 1 (2, ,2)DPy z. 因为(0,2,0),(2,0,1)CM，所以(2, 2,1)CM , 因为 1 DPCM,所以4 220yz ，所以22zy， 因为 B(
20、2，2，0)，所以(0,2, )BPyz， 所以 22222 (2)(2)(22)5128BPyzyyyy 因为02y，所以当 6 5 y 时， min 2 5 5 BP. 因为 BCBP,所以 min 12 52 5 ()2 255 PBC S . 故答案为： 2 5 5 . 四、解答题四、解答题 18 （2020 宁夏回族自治区宁夏育才中学高二期末）已知2, 1,3a ，4,2,bx ，1,2cx. （1）若 /ab，求x的值； （2）若abc，求x的值. 【答案】 （1）-6； （2）-4. 【解析】 （1）b a ， 24 2 3x ， 6x. （2）2,1,3abx ， ()abc，
21、 ()0abc ， 22 30 xx ， 4x. 19 （2019 甘肃省静宁县第一中学高二期末）已知向量1,1,1AB ，1,2, 1AC ，3, ,1ADy. （1）若ADAC，求y的值； （2）若A、B、C、D四点共面，求y的值. 【答案】 （1）1y ； （2）4y . 【解析】 （1）ADAC，得AD AC ， 0AD AC ， 3, ,11,2, 10y，3210y ，解得 1y ； （2）由A、B、C、D四点共面，得，R，使得，ADABAC， 1,1,11,2, 13, ,1y， 3 2 1 y ，解得4y . 20.（2019 北京高二期末）已知向量( 2, 1,2) a，(
22、1,1,2)b ，( ,2,2)xc. （）当| | 2 2c 时，若向量ka b 与c垂直，求实数x和k的值； （）若向量c与向量a，b共面，求实数x的值. 【答案】 （）实数x和k的值分别为0和3.（） 1 2 【解析】 ()因为| 2 2c ,所以 222 222 20 xx . 且ka b ( 21,1,22)kkk. 因为向量ka b 与c垂直, 所以()0kabc . 即260k. 所以实数x和k的值分别为0和3. ()因为向量c与向量a，b共面,所以设cab rrr （,R ）. 因为( ,2,2)( 2, 1,2)( 1,1,2)x, 2, 2, 222 , x 所以 1 ,
23、2 1 , 2 3 . 2 x 所以实数x的值为 1 2 . 21 （2019 新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）已知空间三点 2,0,2 ,1,1,2 ,3,0,4ABC，设,aAB bAC. （1）求a和b的夹角的余弦值； （2）若向量ka b 与2kab互相垂直，求k的值. 【答案】 （1） 10 10 ； （2） 5 2 k 或2k . 【解析】 ( 1,1,2)( 2,0,2)(1,1,0)aAB ， ( 3,0,4)( 2,0,2)( 1,0,2)bAC （1） 1 0010 cos 10|25 a b a b ， 所以a与b的夹角的余弦值为 10 10 . （2）, ,0
24、1,)0,21, ,()()(2kabk kkk ， 2, ,02,)0,42, ,()()(4kabk kkk ， 所以 2 1, ,22, ,(4) ()1280kkkkkkk , 即 2 2100kk， 所以 5 2 k 或2k . 22 （2019 建瓯市第二中学高二月考）已知向量1,2, 2a . （1）求与a共线的单位向量b； （2）若a与单位向量0, ,cm n垂直，求 m，n 的值. 【答案】 （1） 1 22 , 3 33 b 或 12 2 , 33 3 b .（2） 2 , 2 2 2 m n 或 2 , 2 2 . 2 m n 【解析】 （1）设b=(,2,-2)，而b为
25、单位向量， |b|=1，即 2+42+42=92=1，=1 3 . b= 1 22 , 3 33 或b= 12 2 , 33 3 . （2）由题意，知0a c ，且1c 故可得 222 1 0220, 01, mn mn 解得 2 , 2 2 2 m n 或 2 , 2 2 . 2 m n 23（2019 佛山市荣山中学高二期中） 已知空间中三点 2,0, 2A，1, 1, 2B ，3,0, 4C， 设a A B ， bAC . （1）若3c ，且 / /cBC，求向量c； （2）已知向量ka b 与b互相垂直，求k的值； （3）求ABC的面积. 【答案】 （1）2,1, 2c r 或2, 1
26、,2c ； （2）5； （3） 3 2 【解析】 （1）空间中三点2,0, 2A，1, 1, 2B ，3,0, 4C，设a AB ，b AC ， 所以 1, 1, 22,0, 21, 1,0aAB ， 3,0, 42,0, 21,0, 2bAC， (3,0, 4)(1, 1, 2)(2,1, 2)BC ， 3c ，且 /c BC，设c mBC 2,1, 22 , 2cmBCmm mm， 222 ( 2 )()(2 )33cmmmm ， 1m，2,1, 2c r 或2, 1,2c （2） 1,0, 21, 21, 1,0kabkkk ，1,0, 2b 且向量ka b 与b互相垂直， 140kab bk ，解得5k k的值是5 （3）因为1, 1,0AB ，1,0, 2AC ， 2,1, 2BC 1AB AC ， 22 112AB ， 2 2 125AC 11 cos, | |2510 AB AC AB AC ABAC ， 13 sin,1 1010 AB AC， 1 sin, 2 ABC SABACAB AC 13 25 210 3 2
