1、专题专题 05 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 一、单选题一、单选题 1 （2020 四川省高二期末（理） ）直线3x 的倾斜角为( ) A30 B45 C60 D90 2 （2019 四川省仁寿一中高二期中（文） ）若直线1x 的倾斜角为，则（ ） A0 B 3 C 2 D 3 （2020 江苏省丹徒高中高一开学考试）直线10 xy 的倾斜角为（ ） A 4 B 3 4 C 5 4 D 2 4 （2019 江苏省扬州中学高一期中） 如果3,1A、2,Bk、8,11C在同一直线上， 那么k的值是( ) A-6 B-7 C-8 D-9 5 （2019 山东省高二期中）若直线过点(2,4)，
2、(1,43)，则此直线的倾斜角是（ ） A30 B60 C120 D150 6 （2019 浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为 45 且过点（1，2）的直线上（ ） A （2，3） B （0，1） C （3，3） D （3，2） 7 （2020 四川省高二期末（理） ）已知一直线经过两点(2,4)A，( ,5)B a，且倾斜角为 135 ，则 a 的值为 （ ） A-1 B-2 C2 D1 8 （2019 浙江省高二期中）直线 xsiny20 的倾斜角的取值范围是( ) A0，) B 3 0, ) 44 C0, 4 D0, ) 42 9 （2019 内蒙古自治区高二期末（文） ）已知直线l的
3、倾斜角为，若tan 3 3 ，则（ ） A0 B 2 C 5 6 D 10 （2019 浙江省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是, 3 2 U 2 , 23 ，则此直线的斜率 的取值范围是（ ） A 3, 3 B,3 U 3, C 33 , 33 D 3 , 3 U 3 , 3 二、多选题二、多选题 11 （2020 吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是( ) A若是直线l的倾斜角，则0180 B若k是直线l的斜率，则kR C任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 12 （2020 江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（
4、） A若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； B若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； C坐标平面上所有的直线都有倾斜角； D坐标平面上所有的直线都有斜率 13 （2018 全国单元测试）已知直线 1: 10lxy ，动直线 2:( 1)0()lkxkykkR，则下列结论 错误 的是（ ） A不存在k，使得 2 l的倾斜角为 90 B对任意的k， 1 l与 2 l都有公共点 C对任意的k， 1 l与 2 l都不 重合 D对任意的k， 1 l与 2 l都不垂直 三、填空题三、填空题 14 （2019 银川唐徕回民中学高三月考（理） ）已知点 P(3，1)，点 Q 在 y 轴上，直线 PQ 的
5、倾斜角为 120 ，则点 Q 的坐标为_ 15 （2020 浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为_，一条直线可能经过 _个象限. 16 （2019 浙江省效实中学高一期中）若直线斜率 k(1,1)，则直线倾斜角 _. 17 （2018 山西省山西大附中高二期中（文） ）已知直线 l 经过点1,0P且与以2,1A，3, 2B为端点 的线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为_ 四、解答题四、解答题 18 （2019 全国高一课时练习）已知点1,2A，在 y 轴上求一点 P，使直线 AP 的倾斜角为120 19 （2019 全国高一课时练习）点( , )M x y在函
6、数 28yx 的图像上，当2,5x时，求 1 1 y x 的取值 范围. 20 （2020 广东省恒大足球学校高三期末）已知直线l：320 xy的倾斜角为角. （1）求tan； （2）求sin，cos2的值. 21 （上海市七宝中学高二期中）已知直线l的方程为3 20 xmy ，其倾斜角为. （1）写出关于m的函数解析式； （2）若 3 , 34 ，求m的取值范围. 22 （2019 全国高一课时练习）经过点 (0, 1)P 作直线 l，若直线 l 与连接(1, 2)(2,1)AB 、的线段总有公共 点. （1）求直线 l 斜率 k 的范围； （2）直线 l 倾斜角的范围； 23 （上海位育中
7、学高二期中）直角坐标系 xOy 中，点 A 坐标为(2,0)，点 B 坐标为(4,3)，点 C 坐标为(1,3)， 且AM tAB （tR）. (1) 若 CMAB，求 t 的值； (2) 当 0 t 1 时，求直线 CM 的斜率 k 和倾斜角 的取值范围. 专题专题 05 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 一、单选题一、单选题 1 （2020 四川省高二期末（理） ）直线3x 的倾斜角为( ) A30 B45 C60 D90 【答案】D 【解析】 直线3x 的斜率不存在，其倾斜角为90. 故选：D. 2 （2019 四川省仁寿一中高二期中（文） ）若直线1x 的倾斜角为，则（ ） A0
8、B 3 C 2 D 【答案】C 【解析】 直线1x 与x轴垂直，故倾斜角为 2 . 故选：C. 3 （2020 江苏省丹徒高中高一开学考试）直线1 0 xy 的倾斜角为（ ） A 4 B 3 4 C 5 4 D 2 【答案】B 【解析】 由题意，直线10 xy 的斜率为1k 故 3 tan1 4 k 故选:B 4 （2019 江苏省扬州中学高一期中） 如果3,1A、2,Bk、8,11C在同一直线上， 那么k的值是( ) A-6 B-7 C-8 D-9 【答案】D 【解析】 (3,1)A 、 ( 2, )Bk 、 (8,11)C 三点在同一条直线上， 直线AB和直线AC的斜率相等， 111 1
9、2383 k ，解得9k 故选：D 5 （2019 山东省高二期中）若直线过点(2,4)，(1,43)，则此直线的倾斜角是（ ） A30 B60 C120 D150 【答案】C 【解析】 由题意知，直线的斜率3k ， 即直线的倾斜角满足tan3 ， 又0180 ，120 ， 故选：C 6 （2019 浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为 45 且过点（1，2）的直线上（ ） A （2，3） B （0，1） C （3，3） D （3，2） 【答案】B 【解析】 由直线的倾斜角为 45 ，则直线的斜率为tan451k ， 则过点2,3与点（1，2）的直线的斜率为 321 213 ，显然点2,3不满
10、足题意； 过点0,1与点（1，2）的直线的斜率为 12 1 01 ，显然点0,1满足题意； 过点3,3与点（1，2）的直线的斜率为 321 312 ，显然点3,3不满足题意； 过点3,2与点（1，2）的直线的斜率为 22 0 31 ，显然点2,3不满足题意； 即点0,1在倾斜角为 45 且过点（1，2）的直线上， 故选：B. 7 （2020 四川省高二期末（理） ）已知一直线经过两点 (2,4)A ，( ,5)B a，且倾斜角为 135 ，则 a 的值为 （ ） A-1 B-2 C2 D1 【答案】D 【解析】 由直线斜率的定义知,tan1351 AB k , 由直线的斜率公式可得, 54 2
11、 AB k a ， 所以 54 1 2a ,解得1a . 故选:D 8 （2019 浙江省高二期中）直线 xsiny20 的倾斜角的取值范围是( ) A0，) B 3 0, ) 44 C0, 4 D0, ) 42 【答案】B 【解析】 直线 xsin+y+20 的斜率为 ksin， 1sin1，1k1 倾斜角的取值范围是0， 4 3 4 ，） 故选：B 9 （2019 内蒙古自治区高二期末（文） ）已知直线l的倾斜角为，若tan 3 3 ，则（ ） A0 B 2 C 5 6 D 【答案】A 【解析】 tan3 tan3 313tan ，解得tan0， 0，0. 故选:A 10 （2019 浙江
12、省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是, 3 2 U 2 , 23 ，则此直线的斜率 的取值范围是（ ） A 3, 3 B,3 U 3, C 33 , 33 D 3 , 3 U 3 , 3 【答案】B 【解析】 因为直线倾斜角的范围是, 3 2 U 2 , 23 ,又直线的斜率tank, , 3 2 U 2 , 23 .故 tantan3 3 或 2 tantan3 3 . 故,3k U 3, . 故选：B 二、多选题二、多选题 11 （2020 吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是( ) A若是直线l的倾斜角，则0180 B若k是直线l的斜率，则kR C任意一条直线都有倾斜角，但
13、不一定有斜率 D任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【答案】ABC 【解析】 A. 若是直线l的倾斜角，则0 180 ,是正确的； B. 若k是直线l的斜率，则 tankR，是正确的； C. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，倾斜角为 90 的直线没有斜率，是正确的； D. 任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角，是错误的，倾斜角为 90 的直线没有斜率. 故选：ABC 12 （2020 江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（ ） A若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； B若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； C坐标平面上所有的直线都有倾斜角； D坐标平面上所
14、有的直线都有斜率 【答案】BD 【解析】 任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率 当倾斜角为90时，斜率不存在 故选：BD 13 （2018 全国单元测试）已知直线 1: 10lxy ，动直线 2:( 1)0()lkxkykkR，则下列结论 错误 的是（ ） A不存在k，使得 2 l的倾斜角为 90 B对任意的k， 1 l与 2 l都有公共点 C对任意的k， 1 l与 2 l都不 重合 D对任意的k， 1 l与 2 l都不垂直 【答案】AC 【解析】 逐一考查所给的选项： A.存在0k ，使得 2 l的方程为 0 x，其倾斜角为 90 ，故选项不正确 B 直线 1: 10lxy 过
15、定点0, 1，直线 2: 1010lkxkykkRk xyx过定点 0, 1，故 B 是正确的 C.当 1 2 x 时，直线 2 l的方程为 111 0 222 xy，即10 xy ， 1 l与 2 l都重合，选项 C 错误； D.两直线重合，则： 1110kk ，方程无解，故对任意的k，1 l与 2 l都不垂直，选项 D 正确 故选：AC. 三、填空题三、填空题 14 （2019 银川唐徕回民中学高三月考（理） ）已知点 P(3，1)，点 Q 在 y 轴上，直线 PQ 的倾斜角为 120 ，则点 Q 的坐标为_ 【答案】(0，2) 【解析】 因为Q在y轴上，所以可设Q点坐标为0, y， 又因
16、为tan1203 ， 则 1 3 03 y ，解得2y ， 因此0, 2Q，故答案为0, 2. 15 （2020 浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为_，一条直线可能经过 _个象限. 【答案】 ) 0,p 0，2，3 【解析】 平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为0,， 一条直线可能经过 2 个象限，如过原点，或平行于坐标轴； 也可能经过 3 个象限，如与坐标轴不平行且不过原点时； 也可能不经过任何象限，如坐标轴； 所以一条直线可能经过 0 或 2 或 3 个象限 故答案为：0,，0 或 2 或 3 16 （2019 浙江省效实中学高一期中）若直线斜率 k(1,1)，则
17、直线倾斜角 _. 【答案】0 ，45 )(135 ，180 ) 【解析】 直线的斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大 由于斜率有正也有负，且直线的斜率为正时，斜率随着倾斜角的增大而增大，故 (0 ，45 )；又直线的斜 率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大，故 (135 ，180 )；斜率为 0 时，0 .所以 0 ，45 ) (135 ，180 ) 故答案为0 ，45 )(135 ，180 ) 17 （2018 山西省山西大附中高二期中（文） ）已知直线 l 经过点1,0P且与以2,1A，3, 2B为端点 的线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为_ 【答案】 3 0, ) 44
18、 【解析】 当直线l过 B 时，设直线l的倾斜角为，则 3 tan1 4 当直线l过 A 时，设直线l的倾斜角为，则 tan1 4 综合：直线 l 经过点P 1,0且与以A 2,1，B 3, 2为端点的线段AB有公共点时，直线l的倾斜角的取 值范围为 3 0, 44 四、解答题四、解答题 18 （2019 全国高一课时练习）已知点1,2A，在 y 轴上求一点 P，使直线 AP 的倾斜角为120 【答案】0,23P 【解析】 设(0, )Py， 2 0 1 PA y k ，tan120 2 01 y ，23y， P点坐标为(0,23). 19 （2019 全国高一课时练习）点 ( , )M x
19、y在函数28yx 的图像上，当2,5x时，求 1 1 y x 的取值 范围. 【答案】 1 5 , 6 3 【解析】 1( 1) 1( 1) yy xx 的几何意义是过( , ),( 1, 1)M x yN 两点的直线的斜率，点 M 在线段 28,2,5yxx 上运动，易知当2x时，4y ，此时(2,4)M与( 1, 1)N 两项连线的斜率最大， 为 5 3 ； 当5x 时， 2y ， 此时(5, 2)M 与( 1, 1)N 两点连线的斜率最小， 为 1 6 . 115 613 y x 剟,即HF的 取值范围为 1 5 , 6 3 20 （2020 广东省恒大足球学校高三期末）已知直线l：32
20、0 xy的倾斜角为角. （1）求tan； （2）求sin，cos2的值. 【答案】 （1） 1 3 ； （2） 10 10 ； 4 5 【解析】 （1）因为直线320 xy的斜率为 1 3 ，且直线的倾斜角为角， 所以 1 tan 3 （2）由（1）知 1 tan 3 ， 22 sin1 tan cos3 sincos1 解得 10 sin 10 3 10 cos 10 或 10 sin 10 3 10 cos 10 ， 因为, 2 ，所以 10 sin 10 3 10 cos 10 2 2 3 104 cos22cos121 105 21 （上海市七宝中学高二期中）已知直线l的方程为3 20
21、 xmy ，其倾斜角为. （1）写出关于m的函数解析式； （2）若 3 , 34 ，求m的取值范围. 【答案】 （1） 3 arctan,0 ,0 2 3 arctan,0 m m m m m ； （2）()3, 3m?. 【解析】 （1）直线l的方程为3 20 xmy ，其倾斜角为，当0m时， 2 当0m时，则斜率 3 tank m ， 3 arctan m ， 当0m时，则斜率 3 tank m ， 3 arctan m ， 所以 3 arctan,0 ,0 2 3 arctan,0 m m m m m ； （2）当, 3 2 骣骣 琪琪 琪琪 琪琪 桫桫 时，()() 3 3,0, 3k
22、m m =?， 当 2 时，0m， 当 3 , 24 骣骣 琪琪 琪琪 琪琪 桫桫 时，()() 3 ,1 ,3,0km m =?， 综上所述：()3, 3m?. 22 （2019 全国高一课时练习）经过点 (0, 1)P 作直线 l，若直线 l 与连接(1, 2)(2,1)AB 、的线段总有公共 点. （1）求直线 l 斜率 k 的范围； （2）直线 l 倾斜角的范围； 【答案】 （1）11k （2） 3 0 44 或 【解析】 （1） 2( 1) 1 1 0 pA k 1 ( 1) 1 20 pB k l与线段 AB 相交 pApB kkk 11k （2）由（1）知0tan11tan0 或
23、 由于tan0, 2 yx 在 及(,0) 2 均为减函数 3 0 44 或 23 （上海位育中学高二期中）直角坐标系 xOy 中，点 A 坐标为(2,0)，点 B 坐标为(4,3)，点 C 坐标为(1,3)， 且AM tAB （tR）. (1) 若 CMAB，求 t 的值； (2) 当 0 t 1 时，求直线 CM 的斜率 k 和倾斜角 的取值范围. 【答案】(1) 1 5 t ；(2) k(.,12,， 3 arctan2, 4 【解析】 (1)由题意可得42,30(6,3)AB ，(6 ,3 )AMtABtt ， 1 2, 30(3, 3)AC ，所以(63,33)CMAMACtt， CMAB，则CM AB ，6 633 334590CM ABttt， 解得 1 5 t ； (2)由01t ，AMtAB ，可得点 M 在线段 AB 上，由题中 A、B、C 点坐标，可得经过 A、C 两点的直 线的斜率 1 1k ，对应的倾斜角为 3 4 ，经过 C、B 两点的直线的斜率 2 2k ，对应的倾斜角为2arctan, 则由图像可知(如图所示)， 直线 CM 的斜率k的取值范围为：1k 或2k ，倾斜角的范围为： 3 arctan2, 4 .
