1、专题专题 08 圆的方程圆的方程 一、单选题一、单选题 1 （2020 湖南省高二月考）曲线方程 22 40 xyExy表示一个圆的充要条件为（ ） A15E B15E C 2 15E D 2 15E 2 （2019 浙江省高二期中）圆心在(2) 1，上，半径为 3 的圆的标准方程为（ ） A 22 (2)(1)3xy B 22 (2)(1)9xy C 22 (2)(1)3xy D 22 (2)(1)9xy 3 （2020 北京高三一模）设2141AB，则以线段AB为直径的圆的方程是（ ） A 22 (3)2xy B 22 (3)8xy C 22 (3)2xy D 22 (3)8xy 4 （2
2、020 吴江汾湖高级中学高一月考）圆心为1,1且过原点的圆的方程是（ ） A 22 111xy B 22 111xy C 22 112xy D 22 112xy 5 （2019 瓦房店市实验高级中学高二月考）已知点3,6A，1,4B，1,0C，则ABC外接圆的圆心 坐标为( ) A5,2 B5,2 C2,5 D5, 2 6 （2020 陕西省陕西师大附中高一期末）若圆C的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线4 30 xy 和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A 22 (2)(1)1xy B 2 2 7 (3)1 3 xy C 22 (1)(3)1xy D 2 2 3 (1)1 2 xy 7
3、 （2020 江苏省王淦昌中学高一开学考试）已知圆 M 与直线340 xy和34 +100 xy都相切，圆心 在直线4yx 上，则圆M的方程为（ ） A 22 (3)(1)1xy B 22 (3)(1)1xy C 22 (3)(1)1xy D 22 (3)(1)1xy 8 （2020 广东省高三月考（理） ）已知圆 22 1xy，点()1 ,0A，ABC内接于圆，且60BAC，当B， C在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是（ ） A 22 1 2 xy B 22 1 4 xy C 22 11 22 xyx D 22 11 44 xyx 9 （2020 全国高三月考（理） ）已知圆C过点 4,6
4、,2, 2 , 5,5，点 ,M N在圆C上，则 CMN面积 的最大值为（ ） A100 B25 C50 D 25 2 10 （2019 全国高三二模（文） ）已知 2，2mn，6成等差数列，则圆C： 2 2 3 514xy上 的点到点,M m n距离的最大值为（ ） A1 B2 C5 D3 5 二、多选题二、多选题 11 （2019 辽宁省高二期末）圆 22 410 xyx （ ） A关于点2,0对称 B关于直线 0y 对称 C关于直线 320 xy 对称 D关于直线 20 xy 对称 12 （2019 福建省南安第一中学高二月考）已知点cos ,sinPR，直线: 40l xmy ，下列
5、结论正确的是（ ） Al恒过定点 4,0 B 1OP （O为坐标原点） CP到直线l的距离有最小值，最小值为 3 DP到直线l的距离有最大值，最大值为 5 13 （2019 福建省高一期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两 个定点,A B的距离之比为定值1 的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗 尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy中,2,0 ,4,0 ,AB点 1 2 PA P PB 满足 .设点P的轨迹为C, 下列结论正确的是（ ） AC的方程为 2 2 49xy B在x轴上存在异于 ,A B的两定点,D E,使得 1 2
6、 PD PE C当 , ,A B P三点不共线时,射线PO是 APB的平分线 D在C上存在点M,使得 2|MOMA 三、填空题三、填空题 14 （2019 江苏省南京师大附中高三一模）圆 22 :(1)(2)4Cxy关于直线 21yx的对称圆的方程 为_. 15 （2020 广东省红岭中学高二期末）方程 22 230 xyxmym 表示圆 C 中，则圆 C 面积的最小 值等于_. 16 （2020 全国高三月考（理） ）已知点 (0,0)O ，(4,0)A，M是圆 22 :(2)1Cxy上一点，则 | | OM AM 的最小值为_ 17 （2019 山东省高三期中）已知圆心在直线 30 xy
7、上的圆C与y轴的正半轴相切，且截x轴所得的弦 长为4 2，则圆C的方程为_，则点 6,5P 到圆C上动点Q的距离最大值为_. 四、解答题四、解答题 18 （2019 四川省仁寿一中高二期中（文） ）求过点 A(0,6)且与圆 C：x2y210 x10y0 切于原点的圆的 方程 19 （2019 吉林省东北师大附中高一月考）已知一个圆与y轴相切，在直线y x 上截得弦长为 2 7，且 圆心在直线30 xy上，求此圆的方程. 20 （2020 吴江汾湖高级中学高一月考）已知圆 ：，圆 关于直线 对称，圆心在第二象限，半径为. （1）求圆 的方程； （2）直线 与圆 相切，且在 轴、 轴上的截距相等
8、，求直线 的方程. 21 （2019 四川省成都七中高二期中（理） ）已知圆 P 过5, 2 , (0,3), (4,1)ABC. （1）求圆 P 的方程； （2）若过点( 3, 3)M 的直线 l 被圆 P 所截得的弦长为 8，求直线 l 的方程. 22 （2019 瓦房店市实验高级中学高二月考）圆 C 过点60A，1,5B，且圆心在直线:2 780lxy 上. （1）求圆 C 的方程； （2）P 为圆 C 上的任意一点，定点8,0Q，求线段PQ中点 M 的轨迹方程. 23 （2019 四川省成都七中高二期中（理） ）已知圆 C 的圆心在直线320 xy上，并且与 x 轴的交点分别 为( 2
9、,0),(6,0)AB. （1）求圆 C 的方程； （2）若直线 l 过原点且垂直于直线320 xy，直线 l 交圆 C 于 M，N，求MCN的面积. 专题专题 08 圆的方程圆的方程 一、单选题一、单选题 1 （2020 湖南省高二月考）曲线方程 22 40 xyExy表示一个圆的充要条件为（ ） A15E B15E C 2 15E D 2 15E 【答案】C 【解析】 表示圆的充要条件是 2 2 14 40E ，即 2 15E . 故选：C 2 （2019 浙江省高二期中）圆心在(2) 1，上，半径为 3 的圆的标准方程为（ ） A 22 (2)(1)3xy B 22 (2)(1)9xy
10、C 22 (2)(1)3xy D 22 (2)(1)9xy 【答案】B 【解析】 圆心在(2) 1，上，半径为 3 的圆的标准方程为： 22 (2)(1)9xy 故选： B 3 （2020 北京高三一模）设2141AB，则以线段AB为直径的圆的方程是（ ） A 22 (3)2xy B 22 (3)8xy C 22 (3)2xy D 22 (3)8xy 【答案】A 【解析】 AB的中点坐标为：3,0，圆半径为 22 22 2 22 AB r ， 圆方程为 22 (3)2xy. 故选：A. 4 （2020 吴江汾湖高级中学高一月考）圆心为1,1且过原点的圆的方程是（ ） A 22 111xy B
11、22 111xy C 22 112xy D 22 112xy 【答案】D 【解析】 设圆的方程为 22 11(0)xym m，且圆过原点，即 22 0 10 1(0)m m，得2m， 所以圆的方程为 22 112xy.故选 D. 5 （2019 瓦房店市实验高级中学高二月考）已知点3,6A，1,4B，1,0C，则ABC外接圆的圆心 坐标为( ) A5,2 B5,2 C2,5 D5, 2 【答案】A 【解析】 线段AB中点坐标为2,5， 线段AB斜率为 64 1 3 1 ， 所以线段AB垂直平分线的斜率为1， 故线段AB 的垂直平分线方程为52yx ，即7yx . 线段AC中点坐标为2,3， 线
12、段AC斜率为 60 3 3 1 ， 所以线段AC垂直平分线的斜率为 1 3 ， 故线段AC 的垂直平分线方程为 1 32 3 yx ，即 111 33 yx . 由 7 5 111 2 33 yx x yyx .所以ABC外接圆的圆心坐标为 5,2. 故选：A 6 （2020 陕西省陕西师大附中高一期末）若圆C的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线4 30 xy 和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A 22 (2)(1)1xy B 2 2 7 (3)1 3 xy C 22 (1)(3)1xy D 2 2 3 (1)1 2 xy 【答案】A 【解析】 设圆心坐标为（a，b） （a0，b0）
13、， 由圆与直线 4x-3y=0 相切，可得圆心到直线的距离 d= 43 1 5 ab r ，化简得：|4a-3b|=5， 又圆与 x 轴相切，可得|b|=r=1，解得 b=1 或 b=-1（舍去） ， 把 b=1 代入得：4a-3=5 或 4a-3=-5，解得 a=2 或 a=- 1 2 （舍去） ，圆心坐标为（2，1） ， 则圆的标准方程为： （x-2）2+（y-1）2=1 故选 A 7 （2020 江苏省王淦昌中学高一开学考试）已知圆 M 与直线340 xy和34 +10 0 xy都相切，圆心 在直线4yx 上，则圆M的方程为（ ） A 22 (3)(1)1xy B 22 (3)(1)1x
14、y C 22 (3)(1)1xy D 22 (3)(1)1xy 【答案】C 【解析】 到两直线340 xy及34100 xy的距离都相等的直线方程为3450 xy，联立方程组 3450 4 xy yx ，解得 3 1 x y .两平行线之间的距离为2，所以，半径为1，从而圆M的方程为 22 311xy. 选C. 8 （2020 广东省高三月考（理） ）已知圆 22 1xy，点()1 ,0A，ABC内接于圆，且60BAC，当B， C在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是（ ） A 22 1 2 xy B 22 1 4 xy C 22 11 22 xyx D 22 11 44 xyx 【答案】D 【解
15、析】 设BC中点为D， 圆心角等于圆周角的一半，60BAC， 60BOD， 在直角三角形BOD中，由 11 22 ODOB， 故中点D的轨迹方程是： 22 1 4 xy， 如图，由BAC的极限位置可得， 1 4 x . 故选：D 9 （2020 全国高三月考（理） ）已知圆C过点 4,6 ,2, 2 , 5,5，点 ,M N在圆C上，则 CMN面积 的最大值为（ ） A100 B25 C50 D 25 2 【答案】D 【解析】 设圆C的方程为 22 0 xyDxEyF，将 4,6 ,2, 2 , 5,5代入可得， 52460 8220 50550 DEF DEF DEF ，解得2,4,20DE
16、F . 故圆C的一般方程为 22 24200 xyxy，即 22 1225xy， 故CMN的面积 11125 sin5 5sin5 5 1 2222 SCM CNMCNMCN . CMN面积的最大值为 25 2 . 故选：D. 10 （2019 全国高三二模（文） ）已知 2，2mn，6成等差数列，则圆C： 2 2 3 514xy上 的点到点,M m n距离的最大值为（ ） A1 B2 C5 D3 5 【答案】C 【解析】 因为 2，2mn，6成等差数列，所以222 6mn，可得220mn， 所以点M的轨迹方程为220 xy，圆心3 5, 1，则圆C上的点到点M的最大值为 max 3 522
17、2325 5 d . 故选：C 二、多选题二、多选题 11 （2019 辽宁省高二期末）圆 22 410 xyx （ ） A关于点2,0对称 B关于直线0y 对称 C关于直线 320 xy 对称 D关于直线 20 xy 对称 【答案】ABC 【解析】 2222 4102)5(xyxxy ，所以圆心的坐标为2,0. A：圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点2,0是圆心，所以本选项正确； B：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线0y 过圆心，所以本选项正确； C：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线 320 xy 过圆心，所以本选项正确； D：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线 20 xy 不过圆心，
18、所以本选项不正确. 故选：ABC 12 （2019 福建省南安第一中学高二月考）已知点cos ,sinPR，直线: 40l xmy ，下列 结论正确的是（ ） Al恒过定点 4,0 B 1OP （O为坐标原点） CP到直线l的距离有最小值，最小值为 3 DP到直线l的距离有最大值，最大值为 5 【答案】ABD 【解析】 直线:40l xmy，当0y 时，4x，故 A 正确； 22 cossin1OP，故 B 正确； 点P的轨迹是以0,0为圆心，半径为 1 的圆，直线过定点4,0，位置如图： 由图可知，点P到直线l的距离最小值为 0， 当直线与x轴垂直时，圆心到直线的距离最大，最大值为 4，所以
19、P到直线l的距离有最大值，最大值为 5. 故 C 错误，D 正确. 故选：ABD. 13 （2019 福建省高一期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两 个定点,A B的距离之比为定值1 的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗 尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy中,2,0 ,4,0 ,AB点 1 2 PA P PB 满足 .设点P的轨迹为C, 下列结论正确的是（ ） AC的方程为 2 2 49xy B在x轴上存在异于 ,A B的两定点,D E,使得 1 2 PD PE C当 , ,A B P三点不共线时,射线PO是 APB的平
20、分线 D在C上存在点M,使得 2|MOMA 【答案】BC 【解析】 设点,P x y，则 2 2 2 2 2 1 = 2 4 xyPA PB xy ，化简整理得 22 80 xyx，即 2 2 416xy，故 A 错误；当1,0 ,2,0 ,DB时， 1 2 PD PE ，故 B 正确；对于 C 选项， 222 cos= 2 APPOAO APO AP PO ， 222 cos= 2 BPPOBO BPO BP PO ,要证 PO 为角平分线，只需证明cos=cosAPOBPO，即证 222222 22 APPOAOBPPOBO AP POBP PO ， 化简整理即证 22 28POAP， 设
21、 ,Pxy， 则 222 P Oxy ， 222222222 282828APxxyxxyxyxy ，则证 cos=cosAPOBPO，故 C 正确；对于 D 选项，设 00 ,M x y,由2|MOMA可得 2 222 0000 =2xyxy ， 整理得 22 000 3316+160 xyx， 而点M在圆上， 故满足 22 80 xyx， 联立解得 0=2 x， 0 y无实数解，于是 D 错误.故答案为 BC. 三、填空题三、填空题 14 （2019 江苏省南京师大附中高三一模）圆 22 :(1)(2)4Cxy关于直线 21yx的对称圆的方程 为_. 【答案】 22 (3)4xy 【解析】
22、 22 :(1)(2)4Cxy的圆心为( 1,2) ，关于21yx对称点设为( , ) x y， 则有: 21 21 22 21 12 yx y x ，解得 3 0 x y ， 所以对称后的圆心为(3,0)，故所求圆的方程为 22 (3)4xy. 故答案为： 22 (3)4xy 15 （2020 广东省红岭中学高二期末）方程 22 230 xyxmym 表示圆 C 中，则圆 C 面积的最小 值等于_. 【答案】3 【解析】 2 2 2 22 23014 24 mm xyxmymxym 2 2 2 1 423 44 m Rmm 当2m时，半径最小为3，故面积为 2 3R 故答案为3 16 （20
23、20 全国高三月考（理） ）已知点 (0,0)O ， (4,0)A ，M是圆 22 :(2)1Cxy上一点，则 | | OM AM 的最小值为_ 【答案】 1 3 【解析】 设点( , )M x y，则 222 222 | |(4) OMxy AMxy 又因为 22 (2)1xy，则 22 1 (2)yx ， 故 2 2 |4310 1 |413413 OMx AMxx ，1,3x， 易得函数 10 1 413 y x 在1,3上单调递增. 则 2 2 | | OM AM 的最小值为 1 9 ，故 | | OM AM 的最小值为 1 3 . 故答案为： 1 3 17 （2019 山东省高三期中
24、）已知圆心在直线30 xy上的圆C与y轴的正半轴相切，且截x轴所得的弦 长为4 2，则圆C的方程为_，则点6,5P到圆C上动点Q的距离最大值为_. 【答案】 22 319xy 8 【解析】 设圆的方程为 222 ()()xaybr(0,0)ab 由题意可得 22 30 8 ab ar br ，解得 3 1 3 a b r ， 所以圆的方程为 22 319xy； 设点 6,5P 到圆心(3,1)C的距离为 22 (63)(5 1)5d ， 则点 6,5P 到圆C上动点Q的距离最大值为5 38dr . 故答案为： 22 319xy；8 四、解答题四、解答题 18 （2019 四川省仁寿一中高二期中
25、（文） ）求过点 A(0,6)且与圆 C：x2y210 x10y0 切于原点的圆的 方程 【答案】(x3)2(y3)218. 【解析】 设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0) 由题意得 222 222 (6) abr abr ab 解得圆的方程为(x3)2(y3)218. 点睛： 确定圆的方程方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 (2)待定系数法 若已知条件与圆心( , ) a b和半径r有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于, ,a b r的方程组，从而 求出, ,a b r的值； 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知
26、条件列出关于 D、E、F 的方程组， 进而求出 D、E、F 的值 19 （2019 吉林省东北师大附中高一月考）已知一个圆与y轴相切，在直线y x 上截得弦长为 2 7，且 圆心在直线30 xy上，求此圆的方程. 【答案】 22 (3)(1)9xy， 22 (3)(1)9xy 【解析】 设圆的方程为： 222 ()()xaybr， 则：|ar， 30ab， 2 | 7 2 ab r ， 所以 3 1 3 a b r 或 3 1 3 a b r ， 因此圆的方程为： 22 (3)(1)9xy， 22 (3)(1)9xy. 20 （2020 吴江汾湖高级中学高一月考）已知圆 ：，圆 关于直线 对称
27、，圆心在第二象限，半径为. （1）求圆 的方程； （2）直线 与圆 相切，且在 轴、 轴上的截距相等，求直线 的方程. 【答案】 （1）（2）或.或 【解析】 分析： （1）通过圆 关于直线对称，可知圆心在直线上，再结合半径为，得到关于的方程组，求解方程组， 选择在第二象限中的根，即可求得圆的方程； （2）分截距为零和不为零两种情况讨论，利用圆心到直线距 离等于半径求解直线方程。 详解： （1）由知圆心 的坐标为， 圆 关于直线对称， 点在直线上， 则，又，圆心 在第二象限， ， 所求圆 的方程为 （2）当切线在两坐标轴上的截距相等且不为零时，可设 的方程为， 圆 的方程可化为，圆心到切线的距
28、离等于半径， 即，或 当切线在两坐标轴上的截距为零，设，求得： 所求切线方程或或 21 （2019 四川省成都七中高二期中（理） ）已知圆 P 过5, 2 , (0,3), (4,1)ABC. （1）求圆 P 的方程； （2）若过点( 3, 3)M 的直线 l 被圆 P 所截得的弦长为 8，求直线 l 的方程. 【答案】 （1） 22 4210 xyy； （2）4 3210 xy 或3x. 【解析】 （1）设圆 P 的方程为： 22 0 xyDxEyF. A，B，C 都在圆上， 29520 930 1740 DEF EF DEF ，解得 0 4 21 D E F . 所求圆 P 的方程为 22
29、 4210 xyy. （2）由 22 (2)25xy，知圆心 (0, 2)P ，半径=5r， 由直线 l 被圆 p 截得的弦长为 8，得圆心距 22 543d 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 方程为：3(3)yk x， 即 330kxyk ， 圆心 P 到直线 l 距离 2 31 3 1 k d k ，化简得68k，则 4 3 k . 直线 l 方程为： 4 3(3) 3 yx ，即43210 xy 当直线lx轴时，直线 l 方程为3x， 代入圆方程得 2 4120yy，解得 12 6,2yy ， 弦长仍为 8，满足题意. 综上，直线 l 的方程为43210 xy或 3x 22 （
30、2019 瓦房店市实验高级中学高二月考）圆 C 过点60A，1,5B，且圆心在直线:2 780lxy 上. （1）求圆 C 的方程； （2）P 为圆 C 上的任意一点，定点8,0Q，求线段PQ中点 M 的轨迹方程. 【答案】 （1） 22 (3)(2)13xy； （2） 2 2 1113 (1) 24 xy . 【解析】 （1）直线AB的斜率 50 1 1 6 k ， 所以AB的垂直平分线 m 的斜率为 1. AB的中点的横坐标和纵坐标分别为 6 17 22 x ， 955 22 y . 因此，直线 m 的方程为 57 1 22 yx .即 10 xy . 又圆心在直线l上，所以圆心是直线 m
31、 与直线l的交点.联立方程组 10 2780 xy xy ， 解得 3 2 x y 所以圆心坐标为3,2C，又半径13rCA， 则所求圆的方程是 22 (3)(2)13xy. （2）设线段PQ的中点,M x y， 00 ,P x y M 为线段PQ的中点，则 0 0 8 2 0 2 x x y y ， 解得 0 0 28 2 xx yy 28,2Pxy代入圆 C 中得 22 (283)(22)13xy ， 即线段PQ中点 M 的轨迹方程为 2 2 1113 (1) 24 xy . 23 （2019 四川省成都七中高二期中（理） ）已知圆 C 的圆心在直线320 xy上，并且与 x 轴的交点分别
32、 为( 2,0),(6,0)AB. （1）求圆 C 的方程； （2）若直线 l 过原点且垂直于直线320 xy，直线 l 交圆 C 于 M，N，求MCN的面积. 【答案】 （1） 22 (2)(3)25xy； （2）2 39. 【解析】 （1）线段AB的中垂线方程为：2x， 圆与 x 轴的交点分别为( 2,0),(6,0)AB，则圆心在线段AB的中垂线上. 由 2 320 x xy ，得3y ，圆心 C 为(2,3)， 又半径5rAC， 圆 C 的方程为 22 (2)(3)25xy. （2）直线 l 垂直于直线320 xy，则 2 3 l k 又直线 l 过原点，则直线 l 的方程为：230 xy， 所以点 C 到直线 l 的距离为： 49 13 49 d ， 22 24 3MNrd， 11 |4 3132 39 22 MCN SMNd.
