1、专题专题 23 导数在研究函数中的应用（导数在研究函数中的应用（1） 一、单选题一、单选题 1 （2020 江西省奉新县第一中学高二月考（理） ）函数 f x的定义域为, a b，导函数 fx 在, a b内 的图象如图所示则函数 f x在, a b内有几个极小值点（ ） A1 B2 C3 D4 2（2020 江西省奉新县第一中学高二月考 （理） ） 将 ( )yf x 和( )yfx 的图象画在同一个直角坐标系中， 不可能 正确的是( ) A B C D 3 （2020 蚌埠田家炳中学高二开学考试（理） ）如图是函数 yf x的导函数 yfx 的图象，下列关 于函数 yf x的极值和单调性的
2、说法中，正确的个数是（ ） 2 x， 3 x， 4 x都是函数 yf x的极值点； 3 x， 5 x都是函数 yf x的极值点； 函数( )yf x在区间 1 (x， 3) x 上是单调的； 函数( )yf x在区间上 3 (x， 5) x 上是单调的 A1 B2 C3 D4 4 （2020 鸡泽县第一中学高二开学考试）如图是函数 yf x的导数 yfx的图象，则下面判断正确 的是（ ） A在3,1内 f x是增函数 B在1x 时 f x取得极大值 C在4,5内 f x是增函数 D在2x时 f x取得极小值 5 （2020 黄冈中学第五师分校高二期中（理） ）已知函数 2 fxx xc在2x处
3、取得极大值，则 c 的 值为（ ） A2 B6 C4 D4 6 （2020 蚌埠田家炳中学高二开学考试 （理） ） 已知函数 32 ( )f xxaxbx在1x 处有极值 10， 则 ( 2 )f 等于( ) A1 B2 C2 D1 7 （2020 江西省石城中学高二月考（文） ）已知函数 sinf xxx，xR，若 1 2 log 3af ， 1 3 log 2bf ， 2 2cf 则, ,a b c的大小为（ ） Aa bc Bbca Ccba Dbac 8.（2020 蚌埠田家炳中学高二开学考试（理） ）若函数 1 ( )lnf xxax x 在1,)上是单调函数，则 a 的取值范围是（
4、 ） A 1 (,0 4 B 1 ,0,) 4 C 1 ,0 4 D( ,1 二、多选题二、多选题 9 （2020 江苏省扬州中学高二期中）定义在R上的可导函数 yf x的导函数的图象如图所示，以下结 论正确的是（ ） A-3 是 f x的一个极小值点； B-2 和-1 都是 f x的极大值点； C f x的单调递增区间是 3, ； D f x的单调递减区间是 , 3 10 （2020 山东省高二期中）已知函数 f x的导函数( )fx 的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函 数 f x的图象的是（ ） A B C D 11 （2020 海南省高三其他）已知函数 sincosf xxxxx的
5、定义域为2 ,2 ，则（ ） A f x为奇函数 B f x在0,上单调递增 C f x恰有 4 个极大值点 D f x有且仅有 4 个极值点 12 （2020 江苏省高二期中）若函数( ) lnf xx在定义域上单调递增，则称函数 ( )f x具有M性质.下列函数 中所有具有M性质的函数为（ ）. A 1 ( )f x e B( )1f xx=- C 1 ( ) x f x e D( ) x f xe 三、填空题三、填空题 13 （2020 江苏省邗江中学高一期中）函数 32 ( )35f xxx的极小值为_ 14 （2020 蚌埠田家炳中学高二开学考试（理） ）已知函数 yf xxR的图象
6、如图所示，则不等式 0 xfx 的解集为_ 15 （2020 周口市中英文学校高二月考（理） ）如图是 yf x的导函数的图象，现有四种说法 （1） f x在2,1上是增函数， （2）1x是 f x的极小值点 （3） f x在1,2 上是增函数， （4）2x是 f x的极小值点 以上说法正确的序号是_ 16 （2020 山东省高二期中）若函数 lnf xkxx在区间 1,单调递增，则k的取值范围是_； 若函数 f x在区间 1,内不单调，则k的取值范围是_. 四、解答题四、解答题 17 （2020 横峰中学高二开学考试（文） ）已知函数( ) x f xxe （1）求曲线( )yf x在点(1
7、,(1)f处的切线方程； （2）求函数 ( )f x的极值 18 （2020 黄冈中学第五师分校高二期中（理） ）已知函数 2 ( )2(1)2 ln (0)f xxaxax a. （1）当1a 时，求曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程； （2）求 ( )f x的单调区间； 19 （2020 阳江市第三中学高二期中）已知函数 2 f xaxblnx在1x 处有极值 1 2 （1）求 a,b 的值； （2）求 f x的单调区间 20 （2020 山东省高二期中）已知函数 32 ( )f xaxxbx在 2 3 x 与1x 时都取得极值. （1）求a，b的值； （2）求函数 f x
8、的单调区间，并指出 2 3 f 与 1f是极大值还是极小值. 21 （2020 江苏省扬州中学高二期中）已知函数 f（x）ax3+bx23x 在 x1 和 x3 处取得极值. （1）求 a，b 的值 （2）求 f（x）在4，4内的最值. 22 （2020 安徽省池州一中高二期中（文） ）已知函数 2 8lnf xxx （1）求函数 f x的极值; （2）求函数 f x在区间 1 ,e e 上的最值 专题专题 23 导数在研究函数中的应用（导数在研究函数中的应用（1） 一、单选题一、单选题 1 （2020 江西省奉新县第一中学高二月考（理） ）函数 f x的定义域为, a b，导函数 fx 在,
9、 a b内 的图象如图所示则函数 f x在, a b内有几个极小值点（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】A 【解析】 因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正， 由图得：导函数值先负后正的点只有一个， 故函数 f x在, a b内极小值点的个数是 1. 故选：A 2（2020 江西省奉新县第一中学高二月考 （理） ） 将 ( )yf x和 ( )yfx 的图象画在同一个直角坐标系中， 不可能 正确的是( ) A B C D 【答案】D 【解析】 根据 0fx ，则 f x单调递增； 0fx ， f x单调递减， 容易判断, ,A B C正确； 对选项D：取 fx 与x
10、轴的两个交点的横坐标为 ,m n 数形结合可知当,xn 时， 0fx ， 故此时函数 f x应该在此区间单调递减， 但从图象上看 f x不是单调递减函数，故该选项错误. 故选：D. 3 （2020 蚌埠田家炳中学高二开学考试（理） ）如图是函数 yf x的导函数 yfx 的图象，下列关 于函数 yf x的极值和单调性的说法中，正确的个数是（ ） 2 x， 3 x， 4 x都是函数 yf x的极值点； 3 x， 5 x都是函数 yf x的极值点； 函数( )yf x在区间 1 (x， 3) x 上是单调的； 函数( )yf x在区间上 3 (x， 5) x 上是单调的 A1 B2 C3 D4 【
11、答案】C 【解析】 由图象得： ( )f x在 3 (,)x 递增，在 3 (x， 5) x 递减，在 5 (x，)递增， 故 3 x， 5 x都是函数( )yf x的极值点， 故正确， 故选：C 4 （2020 鸡泽县第一中学高二开学考试）如图是函数 yf x的导数 yfx的图象，则下面判断正确 的是（ ） A在3,1内 f x是增函数 B在1x 时 f x取得极大值 C在4,5内 f x是增函数 D在2x时 f x取得极小值 【答案】C 【解析】 对 A，由导函数( )yfx的图象可知，在区间( 3,1)内函数先减后增，在( 3,1)不单调，故 A 错误； 对 B，当1x 时， (1) 0
12、f，此时 (1)f 不是极大值，故 B 错误； 对 C，在(4,5)内( )0fx，此时函数单调递增，故 C 正确 对 D，当2x时， (2) 0f，但此时 (2)f 不是极小值，而是极大值，故 D 错误； 故选：C 5 （2020 黄冈中学第五师分校高二期中（理） ）已知函数 2 fxx xc在2x处取得极大值，则 c 的 值为（ ） A2 B6 C4 D4 【答案】B 【解析】 由题意得： 2 2fxxcx xc， 由 2 2222 20fcc，解得：6c 或2c . 当6c 时， 636fxxx ， 当,2x 时， 0fx ， f x单调递增；当2,6x时， 0fx ， f x单调递减；
13、 f x在 2x处取得极大值，符合题意； 当2c 时， 232fxxx ， 当 3 ,2 2 x 时， 0fx ， f x单调递减；当2,x时， 0fx ， f x单调递增； f x在 2x处取得极小值，不合题意； 综上所述：6c . 故选：B. 6 （2020 蚌埠田家炳中学高二开学考试 （理） ） 已知函数 32 ( )f xxaxbx在1x 处有极值 10， 则 ( 2 )f 等于( ) A1 B2 C2 D1 【答案】B 【解析】 32 f xxaxbx， 2 32fxxaxb， 函数 32 f xxaxbx 在1x 处有极值为 10， 320 110 ab ab ，解得 12 21
14、a b 经检验知，12,?21ab 符合题意 32 1221f xxxx， 32 2212 221 22f 选 B 点睛： 由于导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，故在求出导函数的零点后还要判断在该零点两侧导函 数的值的符号是否发生变化，然后才能作出判断同样在已知函数的极值点 0 x求参数的值时，根据 0 ()0fx求得参数的值后应要进行检验，判断所求参数是否符合题意，最终作出取舍 7 （2020 江西省石城中学高二月考（文） ）已知函数 sinf xxx，xR，若 1 2 log 3af ， 1 3 log 2bf ， 2 2cf 则, ,a b c的大小为（ ） Aab c Bbca
15、 Ccba Dbac 【答案】C 【解析】 sin1cos0f xxxfxx ，所以 f x是R上的增函数. 122 2 2 133 3 log 2log 2log 31,log 3log 3log 21,200 ， 所以 1 2 1 32 2log 2log 3cfbaff ，故本题选 C. 8.（2020 蚌埠田家炳中学高二开学考试（理） ）若函数 1 ( )lnf xxax x 在1,)上是单调函数，则 a 的取值范围是（ ） A 1 (,0 4 B 1 ,0,) 4 C 1 ,0 4 D(,1 【答案】B 【解析】 由题意得，f（x） 2 11 a xx ， 因为 1 f xlnxax
16、 x 在1，+）上是单调函数， 所以 f（x）0 或 f（x）0 在1，+）上恒成立， 当 f（x）0 时，则 2 11 0a xx 在1，+）上恒成立， 即 a 2 11 xx ，设 g（x） 2 2 11111 () 24xxx ， 因为 x1，+） ，所以 1 x （0，1， 当 1 x 1 时，g（x）取到最大值是：0， 所以 a0， 当 f（x）0 时，则 2 11 0a xx 在1，+）上恒成立， 即 a 2 11 xx ，设 g（x） 2 2 11111 () 24xxx ， 因为 x1，+） ，所以 1 x （0，1， 当 11 2x 时，g（x）取到最大值是： 1 4 ， 所
17、以 a 1 4 ， 综上可得，a 1 4 或 a0， 所以数 a 的取值范围是（， 1 4 0，+） ， 故选：B 二二、多多选题选题 9 （2020 江苏省扬州中学高二期中）定义在R上的可导函数 yf x的导函数的图象如图所示，以下结 论正确的是（ ） A-3 是 f x的一个极小值点； B-2 和-1 都是 f x的极大值点； C f x的单调递增区间是 3, ； D f x的单调递减区间是 , 3 【答案】ACD 【解析】 当3x时，( )0fx ，( 3,)x 时( )0fx ， 3是极小值点，无极大值点，增区间是3, ，减区间是, 3 故选：ACD. 10 （2020 山东省高二期中
18、）已知函数 f x的导函数( )fx 的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函 数 f x的图象的是（ ） A B C D 【答案】BCD 【解析】 由导函数图像可得： 当0 x时，( )0fx ，即函数 f x在,0上单调递增； 当02x时，( )0fx ，即函数 f x在0,2上单调递减； 当2x 时，( )0fx ，即函数 f x在2,上单调递增； 故 BCD 错误，A 正确. 故选：BCD. 11 （2020 海南省高三其他）已知函数 sincosf xxxxx的定义域为2 ,2，则（ ） A f x为奇函数 B f x在 0,上单调递增 C f x恰有 4 个极大值点 D f x有且
19、仅有 4 个极值点 【答案】BD 【解析】 因为 f x的定义域为2 ,2，所以 f x是非奇非偶函数， sincosf xxxxx 1 coscossin1sinfxxxxxxx ， 当 ) 0,xp时， 0fx，则 f x在 ) 0,p上单调递增. 显然 00 f ，令 0fx，得 1 sin x x ， 分别作出 sinyx ， 1 y x 在区间2 ,2上的图象， 由图可知，这两个函数的图象在区间2 ,2上共有 4 个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故 f x在区间2 ,2上的极值点的个数为 4，且 f x只有 2 个极大值点. 故选：BD. 12 （2020 江苏省高二期中）
20、若函数( ) lnf xx在定义域上单调递增，则称函数 ( )f x具有M性质.下列函数 中所有具有M性质的函数为（ ）. A 1 ( )f x e B( )1f xx=- C 1 ( ) x f x e D( ) x f xe 【答案】AD 【解析】 对于 A， 1 ( ) lnlng xf xxx e 定义域为0,，则 1 0gx ex 恒成立，故满足条件； 对于 B， ( ) ln1 lng xf xxxx定义域为0,，则 1 ln1gxx x ，又 2 111 ln10 x xxx ， 1 1ln110 1 g ，即当01x时 0gx，函数 g x在0,1上 单调递减，当1x 时 0g
21、x ，函数 g x在1,上单调递增，故不满足条件； 对于 C， 1 ( ) lnln x g xf xxx e 定义域为0,， 1 ln x x x gx e ， 又 2 111 l n0 x xxx ， 即 g x 在定义域上单调递减，且 1 1 0 e e g e e ，故不满足函数 g x在定义域上单调递增，故错误； 对于 D， ( ) lnln x g xf xxex定义域为0,， 11 lnln xxx gxexeex xx ，令 1 lnh xx x ， 22 111x h x xxx ， 则1x 时， 0h x ；当01x时 0h x ，即 h x在0,1上单调递减，在 1,上单
22、调递增，在 1x 处取得极小值即最小值 min 110h xh ，所以 1 ln0 x gxex x 恒成立，即 g x在定 义域上单调递增，故 D 正确； 故选：AD 三、填空题三、填空题 13 （2020 江苏省邗江中学高一期中）函数 32 ( )35f xxx的极小值为_ 【答案】1 【解析】 32 ( )35f xxx，故 2 ( )3632fxxxx x， 取 ( ) 0fx 得到02x，故函数在0,2上单调递减； 取 ( ) 0fx 得到2x 或0 x，故函数在,0和2,上单调递增. 故极小值为 (2)1f. 故答案为：1. 14 （2020 蚌埠田家炳中学高二开学考试（理） ）已
23、知函数 yf xxR的图象如图所示，则不等式 0 xfx 的解集为_ 【答案】 1 02 2 ， 【解析】 由 yf x图象特征可得， 导数 fx ，在 1 (, 2,) 2 上 0fx，在 1 ( ,2) 2 上 0fx ， 所以 0 xfx 等价于 0 0 x fx 或 0 0 x fx ，解得 1 0 2 x或2x， 即不等式 0 xfx 的解集为 1 0, 2,) 2 15 （2020 周口市中英文学校高二月考（理） ）如图是 yf x的导函数的图象，现有四种说法 （1） f x在2,1上是增函数， （2）1x是 f x的极小值点 （3） f x在1,2 上是增函数， （4）2x是 f
24、 x的极小值点 以上说法正确的序号是_ 【答案】 （2） ， （3） 【解析】 由函数的图象可知：( 2)0f ，( 1)0f ， f x在2,1上不是增函数， 1不正确； 1x时 ( 1)0f ，函数在3, 1 递减， 在1,2递增，1x是 f x的极小值点；所以 2正确； f x在1,2上 ( )0fx ，函数是增函数，所以 3正确； 函数在1,2递增，在2,4递减，2x是 f x的极大值点，所以 D 不正确 故答案为：(2)(3) 16 （2020 山东省高二期中）若函数 lnf xkxx在区间 1,单调递增，则k的取值范围是_； 若函数 f x在区间 1,内不单调，则k的取值范围是_.
25、 【答案】1, 0, 1 【解析】 若 lnf xkxx在区间 1,单调递增，所以 1 0fxk x 在1,上恒成立， 即 1 k x 在1,上恒成立，又1x 时， 1 1 x ，所以1k ； 若函数 f x在区间 1,内不单调，则方程 1 0fxk x 在区间1,有解， 因为1x 时， 1 01 x ，因此只需01k. 故答案为：1,；0,1. 四四、解答题、解答题 17 （2020 横峰中学高二开学考试（文） ）已知函数( ) x f xxe （1）求曲线( )yf x在点(1, (1)f 处的切线方程； （2）求函数 ( )f x的极值 【答案】 （1）20exye； （2）极小值为 1
26、 e ，无极大值 【解析】 （1）( ) x f xxe，则 (1)fe ，切点坐标为1,e 由题意知，( )(1) xxx fxxeexe ， (1)2kfe，由直线的点斜式方程有：2 (1)yee x 即20exye （2）由（1）知，( )(1) x fxxe ， 令( )0fx ，得1x ；令( )0fx ，得1x 则 ( )f x在(, 1) 上单调递减，在( 1,) 上单调递增， 所以 ( )f x的极小值为 1 ( 1)f e ，无极大值 18 （2020 黄冈中学第五师分校高二期中（理） ）已知函数 2 ( )2(1)2 ln (0)f xxaxax a. （1）当1a 时，求
27、曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程； （2）求 ( )f x的单调区间； 【答案】 （1）3y （2）详见解析 【解析】 （1）1a ， 2 42lnf xxxx， 2 24fxx x ， 10 f ，又 11 43f ， f x在 1,1f处的切线方程为 3y . （2） 2 2212212 2210 xaxaxaxa fxxax xxx ， 令 0fx ，解得： 1 xa， 2 1x . 当01a时，若0,xa和 1,时， 0fx ；若,1xa时， 0fx ； f x的单调递增区间为0,a， 1,；单调递减区间为,1a ； 当1a 时， 0fx 在0,上恒成立， f x的单
28、调递增区间为0,，无单调递减区间； 当1a 时，若0,1x和, a 时， 0fx ；若1,xa时， 0fx ； f x的单调递增区间为0,1，, a ；单调递减区间为1,a； 综上所述：当01a时， f x的单调递增区间为0,a，1,；单调递减区间为,1a； 当1a 时， f x的单调递增区间为0,，无单调递减区间； 当1a 时， f x的单调递增区间为0,1，, a ；单调递减区间为1,a. 19 （2020 阳江市第三中学高二期中）已知函数 2 f xaxblnx在1x 处有极值 1 2 （1）求 a,b 的值； （2）求 f x的单调区间 【答案】(1) 1 2 a ,1b(2) 单调减
29、区间是0,1,单调增区间是1, 【解析】 （1） 2. b fxax x 又 f x在1x 处有极值 1 2 , 1 1 2 10 f f 即 1 2 20 a ab 解得 1 2 a ,1b （2）由（1）可知 2 1 2 f xxlnx,其定义域是0, 111 xx fxx xx 由 0fx ,得01x；由 0fx ,得1x 函数 yf x 的单调减区间是0,1,单调增区间是 1, 20 （2020 山东省高二期中）已知函数 32 ( )f xaxxbx在 2 3 x 与1x 时都取得极值. （1）求a，b的值； （2）求函数 f x的单调区间，并指出 2 3 f 与 1f是极大值还是极小
30、值. 【答案】（1）2a，4b . （2） 函数 f x的单调递增区间是 2 , 3 和 1,， 单调递减区间是 2 ,1 3 ， 2 3 f 是极大值，(1)f是极小值 【解析】 （1）由 32 f xaxxbx，所以 2 32fxaxxb. 由题意可知 2 0 3 f ，( )01 f ， 整理列方程组 44 0 33 320 ab ab 解得2a，4b . （2）由（1）知 2 6242 321fxxxxx 当x变化时， fx f x的变化情况如下表： x 2 , 3 2 3 2 ,1 3 1 1, fx + 0 - 0 + ( )f x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所
31、以函数 f x的单调递增区间是 2 , 3 和 1,，单调递减区间是 2 ,1 3 当 2 3 x 时，( )f x有极大值 244 327 f ； 当1x 时， ( )f x有极小值(1)3f . 21 （2020 江苏省扬州中学高二期中）已知函数 f（x）ax3+bx23x 在 x1 和 x3 处取得极值. （1）求 a，b 的值 （2）求 f（x）在4，4内的最值. 【答案】 （1）a 1 3 ，b1（2）f（x）min 76 3 ，f（x）max 5 3 【解析】 （1）( )fx3ax2+2bx3， 由题意可得( )fx3ax2+2bx30 的两个根为1 和 3， 则 2 1 3 3
32、 1 1 3 b a a ， 解可得 a 1 3 ，b-1， （2）由（1）)(1)3)(fxxx(， 易得 f（x）在(- ,-1)，(3,)单调递增，在( 1,3)上单调递减， 又 f（4） 76 3 ，f（1） 5 3 ，f（3）9，f（4） 20 3 ， 所以 f（x）minf（4） 76 3 ，f（x）maxf（1） 5 3 . 22 （2020 安徽省池州一中高二期中（文） ）已知函数 2 8lnf xxx （1）求函数 f x的极值; （2）求函数 f x在区间 1 ,e e 上的最值 【答案】 （1）极小值为4 8ln2；无极大值（2）最小值为4 8ln2，最大值为 2 1 8 e 【解析】 （1）由题意得： f x定义域为0,， 2228 2 xx fxx xx ， 当0,2x 时， 0fx ；当2,x时， 0fx ， f x在0,2上单调递减，在2,上单调递增， f x的极小值为 24 8ln2f，无极大值； （2）由（1）知： f x在 1 ,2 e 上单调递减，在2,e上单调递增， min 24 8ln2f xf， max 1 max,f xff e e ， 又 2 11 8f ee ， 2 8f ee， 1 ff e e ， 2 max 11 8f xf ee .
