1、专题专题 26 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、单选题一、单选题 1 （2020 湖北省高二期中）将 3 名防控新冠疫情志愿者全部分配给 2个不同的社区服务，不同的分配方案 有（ ） A12种 B9 种 C8 种 D6 种 2 （2020 山东省高二期中）现有高一学生 5名，高二学生 4名，高三学生 3名.从中任选 1人参加市团委组 织的演讲比赛，有多少种不同的选法（ ） A60 B45 C30 D12 3 （2020 广东省湛江二十一中高二开学考试）有不同的语文书 9 本，不同的数学书 7 本，不同的英语书 5 本，从中选出不属于同一学科的书 2 本
2、，则不同的选法有（ ） A21 种 B315 种 C153 种 D143 种 4 （2020 浙江省宁波诺丁汉附中高二期中）教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法 有（ ） A10 种 B 5 2种 C 2 5种 D 4 2 种 5 （2020 天津大钟庄高中高二月考）四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在某学 校举行的“文学名著阅读月”活动中， 甲、 乙、 丙、 丁、 戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著 红楼梦 、 三国演义 、 水浒传 、 西游记 （每种名著至少有 5 本） ，若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案 种数为（ ） A 5 4 B 4
3、5 C 4 5 C D 4 5 A 6 （2020 宁夏回族自治区宁夏育才中学高二开学考试（理） ）如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路 网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有（ ） A10 B13 C15 D25 7 （2020 吉林省长春市实验中学高二期中（理） ）某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个 号码只能从字母 BCD中选择，其他四个号码可以从 09这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一 个号码(从左到右)只想在数字 35689中选择，其他号码只想在 1369中选择，则他的车牌号码可选的 所有可能情况有（ ） A180种 B36
4、0种 C720种 D960种 8 （2020 江苏省高二期中）由0,1,2,3,5组成的无重复数字的五位偶数共有（ ） A36 个 B42 个 C48 个 D120 个 9 （2020 北京十二中高二月考（理） ）将数字 1，1，2，2，3，3 排成三行两列，要求每行的数字互不相同， 每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（ ） A12种 B18种 C24种 D36种 10 （2020 江西省高三三模（理） ）在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、 列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，算筹有纵式和横式两种，如图是利用算筹表示19的 数字，表示多位数时，
5、个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，例如，137可以 用7根小木棍表示“”，则用6根小木棍（要求用完6根）能表示不含“0”且没有重复数字的三位数的 个数是（ ） A12 B18 C24 D27 11 （2020 北京市鲁迅中学高二月考）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数 学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图： 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图： 如果把 5 根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ） A46 B
6、44 C42 D40 12 （2018 浙江省高三三模）三位数中，如果百位数字、十位数字、个位数字刚好能构成等差数列，则称为 “等差三位数”，例如：147，642，777，420等等.等差三位数的总个数为（ ） A32 B36 C40 D45 二、填空题二、填空题 13 （2020 四川省泸县第二中学高二期中（理） ）已知某种新产品的编号由 1个英文字母和 1 个数字组成， 且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A，B，C，D，E这 5 个字母中的 1个，数字是 1，2，3， 4，5，6，7，8，9这 9 个数字中的一个，则共有_个不同的编号（用数字作答）. 14 （2020 汪清县汪清第六
7、中学高二期中（理） ）现有 4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要 求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为_. 15 （2018 浙江省高三月考）用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中 6个格子，每格子染一种颜色，并且 从左往右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为_ 16（2020 山东省高二期中） 用 0， 1， 2， 3， 4， 5六个数字， 可以组成没有重复数字的三位数的个数是_； 可以组成有重复数字的三位数的个数为_. 三、解答题三、解答题 17小明同学要从教学楼的一层到四层，已知从第一层到第二层有 4 个扶梯可走，从第二层到第三层
8、有 3 个扶梯可走，从第三层到第四层有 2 个扶梯可走，那么小明同学从第一层到第四层有多少种不同的走法？ 18 （2020 唐山市第十一中学高二期中） 某班有男生 28 名、 女生 20名，从该班选出学生代表参加校学代会 （1）若学校分配给该班 1名代表，则有多少种不同的选法？ （2）若学校分配给该班 2名代表，且男、女生代表各 1名，则有多少种不同的选法？ 19 （2020 宜昌市人文艺术高中（宜昌市第二中学）高二月考）已知集合3, 2, 1,0,1,2M ，若 a，b， cM，则： （1） 2 yaxbxc可以表示多少个不同的二次函数？ （2） 2 yaxbxc可以表示多少个图象开口向上的
9、二次函数？ 20 （2019 甘南藏族自治州合作第一中学高二期中（理） ）一个口袋里有 5 封信，另一个口袋里有 4封信， 各封信内容均不相同. （1）从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？ （3）把这两个口袋里的 9封信，分别投入 4个邮筒，有多少种不同的投法？ 21 （2020 南京市中华中学高二月考）现有 3 名医生，5 名护士、2名麻醉师 （1）从中选派 1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？ （2）从这些人中选出 1 名医生、1名护士和 1 名麻醉师组成 1个医疗小组，有多少种不同的选法？ 22 （2020 武汉市钢城第四中
10、学高二期中）某校学生会由高一年级 5 人，高二年级 6 人，高三年级 4 人组成 （1）选其中 1 人为学生会主席，有多少种不同的选法？ （2）若每年级选 1 人为校学生会常委，有多少种不同的选法？ （3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？ 专题专题 26 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、单选题一、单选题 1 （2020 湖北省高二期中）将 3 名防控新冠疫情志愿者全部分配给 2个不同的社区服务，不同的分配方案 有（ ） A12种 B9 种 C8 种 D6 种 【答案】C 【解析】 每名防控新冠疫情志愿者都有两种不同的分配方
11、法， 根据分步计数原理可知， 不同的分配方案总数为 3 28 种. 故选：C 2 （2020 山东省高二期中）现有高一学生 5名，高二学生 4名，高三学生 3名.从中任选 1人参加市团委组 织的演讲比赛，有多少种不同的选法（ ） A60 B45 C30 D12 【答案】D 【解析】 因为三个年级共有12名学生， 由分类加法计数原理可得： 从中任选 1 人参加市团委组织的演讲比赛，共有12种不同的选法. 故选：D. 3 （2020 广东省湛江二十一中高二开学考试）有不同的语文书 9 本，不同的数学书 7 本，不同的英语书 5 本，从中选出不属于同一学科的书 2 本，则不同的选法有（ ） A21
12、种 B315 种 C153 种 D143 种 【答案】D 【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有 9 7=63 种， 选一本数学书一本英语书有 5 7=35 种， 选一本语文书一本英语书有 9 5=45 种， 共有 63+45+35=143 种选法. 故选 D. 4 （2020 浙江省宁波诺丁汉附中高二期中）教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法 有（ ） A10 种 B 5 2种 C 2 5种 D 4 2 种 【答案】D 【解析】 共分 4 步：一层到二层 2 种，二层到三层 2 种，三层到四层 2 种，四层到五层 2 种，一共 4 2 =16 种. 故选 D 5 （202
13、0 天津大钟庄高中高二月考）四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在某学 校举行的“文学名著阅读月”活动中， 甲、 乙、 丙、 丁、 戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著 红楼梦 、 三国演义 、 水浒传 、 西游记 （每种名著至少有 5 本） ，若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案 种数为（ ） A 5 4 B 4 5 C 4 5 C D 4 5 A 【答案】A 【解析】 对于甲来说，有 4 种借阅可能，同理每人都有 4 种借阅可能，根据乘法原理，故共 有 5 4种可能，答案为 A. 6 （2020 宁夏回族自治区宁夏育才中学高二开学考试（理） ）如图，某城市中，M、N
14、两地有整齐的道路 网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有（ ） A10 B13 C15 D25 【答案】C 【解析】 因为只能向东或向北两个方向 向北走的路有 5 条，向东走的路有 3 条 走路时向北走的路有 5种结果，向东走的路有 3种结果 根据分步计数原理知共有3 5 15 种结果，选 C 7 （2020 吉林省长春市实验中学高二期中（理） ）某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个 号码只能从字母 BCD中选择，其他四个号码可以从 09这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一 个号码(从左到右)只想在数字 35689中选择，其他号码只想在
15、1369中选择，则他的车牌号码可选的 所有可能情况有（ ） A180种 B360种 C720种 D960种 【答案】D 【解析】 根据题意，车主第一个号码在数字 35689 中选择，共 5种选法， 第二个号码只能从字母 BCD 中选择，有 3种选法， 剩下的 3个号码在 1369 中选择，每个号码有 4 种选法，则共有 4 4 4=64 种选法， 则共有 5 3 64=960 种， 故选：D. 8 （2020 江苏省高二期中）由0,1,2,3,5组成的无重复数字的五位偶数共有（ ） A36 个 B42 个 C48 个 D120 个 【答案】B 【解析】 分两类：一、若五位数的个位数是0，则有
16、1 4 3 2 124n 种情形； 二、若五位数的个位数是2，由于0不排首位，因此只有1,3,5有3种情形，中间的三个位置有32 16 种 情形，依据分步计数原理可得 2 3 618n 种情形 由分类计数原理可得所有无重复五位偶数的个数为 12 24 1842nnn，应选答案 B 9 （2020 北京十二中高二月考（理） ）将数字 1，1，2，2，3，3 排成三行两列，要求每行的数字互不相同， 每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（ ） A12种 B18种 C24种 D36种 【答案】A 【解析】 由题意，可按分步原理计数， 第一步，第一行第一个位置可从 1，2，3 三数字中任意选一个，
17、有三种选法， 第二步，第一行第二个位置可从余下两数字中选一个，有二种选法， 第三步，第二行第一个位置，由于不能与第一行第一个位置上的数字同，故其有两种选法， 第四步，第二行第二个位置，由于不能与第一行第二个数字同也不能第二行第一个数字同，故它只能有一 种填法， 第五步，第三行第一个数字不能与第一行与第二行的第一个数字同，故其只有一种填法， 第六步，此时只余下一个数字，故第三行第二列只有一种填法， 由分步原理知，总的排列方法有 3 2 2 1 1 112种. 故选：A 10 （2020 江西省高三三模（理） ）在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、 列式和计算.算筹实际
18、上是一根根相同长度的小木棍，算筹有纵式和横式两种，如图是利用算筹表示19的 数字，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，例如，137可以用 7根小木棍表示“”，则用6根小木棍（要求用完6根）能表示不含“0”且没有重复数字的三位数的个 数是（ ） A12 B18 C24 D27 【答案】C 【解析】 数字7、2、1组成6个，数字7、6、1组成6个，数字6、3、1组成6个，数字3、2、1组成6个，共24 个符合要求的三位数. 故选:C. 11 （2020 北京市鲁迅中学高二月考）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数 学的发展做出了很大贡献.
19、在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图： 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图： 如果把 5 根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ） A46 B44 C42 D40 【答案】B 【解析】 按每一位算筹的根数分类一共有 15 种情况,如下 (5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0), (2,2,1),(2,1,2),(2,3,0),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4), 2 根
20、以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理， 则上列情况能表示的三位数字个数分别为： 2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2， 根据分布加法计数原理，5 根算筹能表示的三位数字个数为： 22242444442242244. 故选 B. 12 （2018 浙江省高三三模）三位数中，如果百位数字、十位数字、个位数字刚好能构成等差数列，则称为 “等差三位数”，例如：147，642，777，420等等.等差三位数的总个数为（ ） A32 B36 C40 D45 【答案】D 【解析】 由题意得若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为 0 的“等差三位数”，则只要各位数字不为零即
21、可，有 9 个； 若百位数字、十位数字个位数字构成公差为 1 的“等差三位数”，则百位数字不大于 7，有 7个； 若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为 2的“等差三位数”，则百位数字不大于 5，有 5 个； 若百位数字十位数字个位数字构成公差为 3的“等差三位数”，则百位数字不大于 3，有 3 个；若百位数字、 十位数字、个位数字构成公差为 4的“等差三位数”，则百位数字只能为 1，有 1个； 若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为1的“等差三位数，则百位数字不小于 2，有 8个； 若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为2的“等差三位数”，则百位数字不小于 4，有 6个； 若百位数字、
22、十位数字、个位数字构成公差为3的“等差三位数”，则百位数字不小于 6，有 4个； 若百位数字、十位数字个位数字构成公差为4的“等差三位数”，则百位数字不小于 8有 2 个. 综上所述，“等差三位数”的总数为9753 1 864245 个， 故选：D. 二、填空题二、填空题 13 （2020 四川省泸县第二中学高二期中（理） ）已知某种新产品的编号由 1个英文字母和 1 个数字组成， 且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A，B，C，D，E这 5 个字母中的 1个，数字是 1，2，3， 4，5，6，7，8，9这 9 个数字中的一个，则共有_个不同的编号（用数字作答）. 【答案】45 【解析】
23、对于英文字母来说，共有 5 种可能，对于数字来说，共有 9 种可能，按照分步乘法原理，即可知道共有 5 945 个不同的编号. 14 （2020 汪清县汪清第六中学高二期中（理） ）现有 4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要 求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为_. 【答案】48 【解析】 根据题意，设需要涂色的四个部分依次分 A、B、C、D， 对于区域 A，有 4种颜色可选，有 4种涂色方法， 对于区域 B，与区域 A 相邻，有 3种颜色可选，有 3 种涂色方法， 对于区域 C，与区域 A,B相邻，有 2种 颜色可选， 有 2种涂色方法， 对于区域 D，与区域
24、 B,C相邻，有 2种颜色可选，有 2 种涂色方法， 则不同的涂色方法有4 3 2 248 种. 故答案为：48 15 （2018 浙江省高三月考）用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中 6个格子，每格子染一种颜色，并且 从左往右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为_ 【答案】20 【解析】 从左往右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子包含的情况有： 全染黑色，有 1 种方法； 第一个格子染黑色， 另外 5 个格子中有 1 个格子染白色， 剩余的都染黑色， 有 5种方法； 第一个格子染黑色， 另外 5 个格子中有 2个格子染白色，剩余的都染黑色，有 9种方
25、法；第一个格子染黑色，另外 5 个格黑子中 有 3个格子染白色，剩余的都染黑色，有 5种方法 所以从左往右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法数为1 59520 故答案为：20 16（2020 山东省高二期中） 用 0， 1， 2， 3， 4， 5六个数字， 可以组成没有重复数字的三位数的个数是_； 可以组成有重复数字的三位数的个数为_. 【答案】100 180 【解析】 百位的数字可以选择的种数为5种，十位，个位可以选的种数分别为 5种，4 种 则可组成无重复数字的三位数的种数为5 5 4=100 ； 可组成有重复数字的三位数的种数为5 6 6180 . 故答案为：(1
26、).100；(2). 180 三三、解答题、解答题 17小明同学要从教学楼的一层到四层，已知从第一层到第二层有 4 个扶梯可走，从第二层到第三层有 3 个扶梯可走，从第三层到第四层有 2 个扶梯可走，那么小明同学从第一层到第四层有多少种不同的走法？ 【答案】24 【解析】 第 1 步，从第一层到第二层有 4 种不同的走法； 第 2 步，从第二层到第三层有 3 种不同的走法； 第 3 步，从第三层到第四层有 2 种不同的走法； 根据分步乘法计数原理，小明同学从教学楼的第一层到第四层的不同走法有4 3 224 种 18 （2020 唐山市第十一中学高二期中） 某班有男生 28 名、 女生 20名，
27、从该班选出学生代表参加校学代会 （1）若学校分配给该班 1名代表，则有多少种不同的选法？ （2）若学校分配给该班 2名代表，且男、女生代表各 1名，则有多少种不同的选法？ 【答案】 （1）48； （2）560. 【解析】 （1）选出 1名代表，可以选男生，也可以选女生，因此完成“选 1名代表”这件事分 2类： 第 1类，从男生中选出 1名代表，有 28 种不同方法； 第 2类，从女生中选出 1名代表，有 20 种不同方法 根据分类加法计数原理，共有 282048种不同的选法 （2）完成“选出男、女生代表各 1名”这件事，可以分 2步完成： 第 1步，选 1 名男生代表，有 28种不同方法； 第
28、 2步，选 1 名女生代表，有 20种不同方法 根据分步乘法计数原理，共有 28 20560种不同的选法 19 （2020 宜昌市人文艺术高中（宜昌市第二中学）高二月考）已知集合3, 2, 1,0,1,2M ，若 a，b， cM，则： （1） 2 yaxbxc可以表示多少个不同的二次函数？ （2） 2 yaxbxc可以表示多少个图象开口向上的二次函数？ 【答案】 （1）180； （2）72. 【解析】 （1）因为 a不能取 0，所以有 5 种取法，b有 6 种取法，c 有 6 种取法， 所以 2 yaxbxc可以表示5 6 6180 个不同的二次函数. （2） 2 yaxbxc的图象开口向上时
29、，a 不能取小于等于 0 的数，所以有 2种取法，b有 6种取法，c有 6 种取法， 所以 2 yaxbxc可以表示2 6 672 个图象开口向上的二次函数 20 （2019 甘南藏族自治州合作第一中学高二期中（理） ）一个口袋里有 5 封信，另一个口袋里有 4封信， 各封信内容均不相同. （1）从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？ （3）把这两个口袋里的 9封信，分别投入 4个邮筒，有多少种不同的投法？ 【答案】 （1）9， （2）20， （3） 9 4 【解析】 （1）任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，是分类问题
30、 从第一个口袋中取一封信有 5种情况，从第二个口袋中取一封信有 4种情况 则共有549种 （2）各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能完成这件事，是分步问题 应分两个步骤完成，第一步，从第一个口袋中取一封信有 5种情况， 第二步，从第二个口袋中取一封信有 4种情况 由分步乘法计数原理，共有5 420 种 （3）第一封信投入邮筒有 4种可能 第二封信投入邮筒有 4种可能 第九封信投入邮筒有 4种可能 由分步乘法计数原理可知，共有 9 4种不同的投法 21 （2020 南京市中华中学高二月考）现有 3 名医生，5 名护士、2名麻醉师 （1）从中选派 1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？ （2）
31、从这些人中选出 1 名医生、1名护士和 1 名麻醉师组成 1个医疗小组，有多少种不同的选法？ 【答案】 （1）10； （2）30 【解析】 （1）分三类：第一类：选出的是医生，共有 3 种选法； 第二类：选出的是护士，共有 5 种选法； 第三类：选出的是麻醉师，共有 2种选法； 根据分类加法计数原理，共有 3+5+2=10 种选法. （2）分三步：第一步：选出 1名医生，共有 3种选法； 第二步：选出 1 名护士，共有 5 种选法； 第三步：选出 1 名麻醉师，共有 2种选法； 根据分步乘法计数原理，共有3 5 230 种选法. 22 （2020 武汉市钢城第四中学高二期中）某校学生会由高一年
32、级 5 人，高二年级 6 人，高三年级 4 人组成 （1）选其中 1 人为学生会主席，有多少种不同的选法？ （2）若每年级选 1 人为校学生会常委，有多少种不同的选法？ （3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？ 【答案】 （1）15； （2）120； （3）74 【解析】 （1）选其中 1 人为学生会主席，各年级均可，分三类：N=5+6+4=15 种； （2）每年级选 1人为校学生会常委，可分步从各年级分别选择，N=5 6 4=120 种； （3）要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，首先按年级分三类“1，2 年级”，“1，3 年级”，“2，3年 级”， 再各类分步选择：N=5 6+6 4+4 5=74 种 ；
