1、专题专题 12 双曲线双曲线 一、单选题一、单选题 1 （2019 浙江省高三期中）双曲线 22 2=2xy的焦点坐标为（ ） A( 1,0) B(3,0) C(0, 1) D(0,3) 2 （2020 安徽省高三三模（文） ）已知双曲线 22 1 4 xy m 的离心率为 2，则实数m的值为( ) A4 B8 C12 D16 3 （2019 重庆巴蜀中学高二期中（理） ）下列双曲线中，渐近线方程为 3 2 yx 的是（ ） A 22 1 32 xy B 22 1 32 yx C 22 1 94 xy D 22 1 94 yx 4 （2020 安徽省高三三模（理） ）已知双曲线 22 22 :
2、10,0 xy Cab ab 离心率为 3，则双曲线 C 的渐近 线方程为( ) A 2 2 yx B2yx C2 2yx D 2 4 yx 5 （2019 安徽省高二期末（理） ）已知双曲线 22 22 :1 (0,0) xy Cab ab 的焦距为2 5，其渐近线方 程为 1 2 yx ，则焦点到渐近线的距离为（ ） A1 B 3 C2 D2 3 6 （2020 四川省成都外国语学校高二开学考试（理） ）已知双曲线 2 2 :1 3 y C x 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，过 1 F的直线l分别与两条渐近线交于A、B两点，若 12 0FB F B， 1 FAAB，则（ ） A 3
3、 2 B 1 2 C1 D 3 4 7 （2020 天津高三一模）已知双曲线 22 10 4 xy m m 的渐近线方程为30 xy，则双曲线的离心 率为（ ） A2 B3 C 2 3 3 D 3 2 8 （2020 江西省靖安中学高二月考（理） ）已知双曲线中心为原点，焦点在x轴上，过点( 2,2)，且渐近 线方程为2yx，则该双曲线的方程为（ ） A 2 2 1 2 y x B 22 42xy C 2 2 1 4 y x D 22 21xy 9 （2019 天津高三三模（文） ）双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为 3， 则C的焦距等
4、于（ ） A2 B2 2 C4 D4 2 10 （2020 安徽省高三月考（文） ）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为 2，则它的一条渐近线 被圆 22 60 xyx截得的线段长为（ ） A 3 2 B3 C 3 2 2 D3 2 二、多选题二、多选题 11 （2020 山东省胶州市第一中学高三一模）已知双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1( 5,0) F ， 2(5,0) F，则能使双曲线 C 的方程为 22 1 169 xy 的是( ) A离心率为 5 4 B双曲线过点 9 5, 4 C渐近线方程为3 40 xy
5、D实轴长为 4 12 （2020 湖南省衡阳市一中高二期末）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ，右顶点为A，以A为圆心， b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若60MAN ，则有（ ） A渐近线方程为 3 3 yx B 3 2 2 e C 2 3 3 e D渐近线方程为3yx 13 （2020 高密市第一中学高三月考）已知点P是双曲线E： 22 1 169 xy 的右支上一点， 1 F， 2 F为双曲线 E的左、右焦点， 12 PFF的面积为 20，则下列说法正确的是（ ） A点P的横坐标为 20 3 B 12 PFF的周长为 80 3 C 12
6、 FPF小于 3 D 12 PFF的内切圆半径为 3 4 三、填空题三、填空题 14 （2018 民勤县第一中学高二期末（文） ）双曲线 2 2 1 4 y x 的渐近线方程为 15 （2020 天水市第一中学高二月考（文） ）以双曲线 22 1 45 xy 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 _ 16 （2020 天水市第一中学高二月考）已知平行于x轴的直线l与双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的 两条渐近线分别交于P，Q两点，O为坐标原点，若OPQ为等边三角形， 则双曲线C的离心率为_. 17 （2020 山东省高三一模）过点(,0)( 0)Mmm 的直线l与直线330
7、 xy垂直，直线l与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线分别交于点,A B，若点 ( ,0)P m 满足| | |PAPB ，则双曲线C的渐近 线方程为_，离心率为_. 四、解答题四、解答题 18 （2020 定远县育才学校高二月考（文） ）双曲线与椭圆 22 1 2736 xy 有相同焦点，且经过点( 15,4). （1）求双曲线的标准方程； （2）求双曲线的离心率及渐近线方程. 19 （2020 陕西省西安市远东一中高二期末（理） ）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，且长轴长为 12，离心率为 1 3 . （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）已
8、知双曲线 E 过点2 3,3，且双曲线 E 的焦点与椭圆 C 的焦点重合，求双曲线 E 的标准方程. 20（2019 甘南藏族自治州合作第一中学高二期末 （文） ） 过双曲线 22 1xy的右焦点 F 作倾斜角为60的 直线l，交双曲线于 A、B 两点， （1）求双曲线的离心率和渐近线； （2）求|AB|. 21.（2019 宁波中学高二期中）已知三点7,0A ，7,0B，2, 12C. （1）若椭圆过,A B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程； （2）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和是 2，求点M的轨迹方程. 22 （2019 安徽省高二期中（理） ）已知双曲线 C： 2
9、2 22 1 xy ab (a0，b0)与椭圆 22 1 1814 xy 有共同的焦 点，点(3,7)A在双曲线 C 上 （1）求双曲线 C 的标准方程； （2）以(1,2)P为中点作双曲线 C 的一条弦 AB，求弦 AB 所在直线的方程 23 （2019 会泽县第一中学校高二月考（理） ）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的实轴长为2 3， 一个焦点的坐标为(5,0). （1）求双曲线的方程； （2）若斜率为 2 的直线l交双曲线C交于,A B两点，且4AB ，求直线l的方程. 专题专题 12 双曲线双曲线 一、单选题一、单选题 1 （2019 浙江省高三期中）双曲
10、线 22 2=2xy的焦点坐标为（ ） A( 1,0) B( 3,0) C(0, 1) D(0, 3) 【答案】B 【解析】 由 22 22xy可得 22 a2,1b，焦点在x轴上，所以 222 a3cb，因此3c 所以焦点坐标为3,0； 故选 B 2 （2020 安徽省高三三模（文） ）已知双曲线 22 1 4 xy m 的离心率为 2，则实数m的值为( ) A4 B8 C12 D16 【答案】C 【解析】 因为双曲线 22 1 4 xy m 的离心率为 2，所以 4 2 2 m ，解得12m . 故选：C. 3 （2019 重庆巴蜀中学高二期中（理） ）下列双曲线中，渐近线方程为 3 2
11、yx 的是（ ） A 22 1 32 xy B 22 1 32 yx C 22 1 94 xy D 22 1 94 yx 【答案】D 【解析】 C. 22 1 94 xy ，渐近线为： 2 3 yx ；D. 22 1 94 yx ，渐近线为： 3 2 yx ； 故选：D. 4 （2020 安徽省高三三模（理） ）已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 离心率为 3，则双曲线 C 的渐近 线方程为( ) A 2 2 yx B2yx C2 2yx D 2 4 yx 【答案】C 【解析】 因为 22 2 3 cab e aa ，所以2 2 b a ， 由双曲线的几何性质可得渐近线方程
12、为：2 2yx ， 故选：C 5 （2019 安徽省高二期末（理） ）已知双曲线 22 22 :1 (0,0) xy Cab ab 的焦距为2 5，其渐近线方 程为 1 2 yx ，则焦点到渐近线的距离为（ ） A1 B 3 C2 D2 3 【答案】A 【解析】 由题知：22 5c ，5c ， 2( 5,0) F. 2 F到直线20 xy的距离 22 50 1 12 d . 故选：A 6 （2020 四川省成都外国语学校高二开学考试（理） ）已知双曲线 2 2 :1 3 y C x 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，过 1 F的直线l分别与两条渐近线交于A、B两点，若 12 0FB F B
13、， 1 FAAB，则（ ） A 3 2 B 1 2 C1 D 3 4 【答案】C 【解析】 由 12 0FB F B，可知 12 FBF B，则 2 BOOFc， 因为双曲线 2 2 :1 3 y C x 的渐近线为3yx ，所以 2 120AOF ， 2 60BOF ，故 2 BOF为正 三角形，且 2 /AO BF， 所以AO为 12 BFF的中位线，A为线段 1 FB的中点，即 1 FAAB，故1. 故选：C. 7 （2020 天津高三一模）已知双曲线 22 10 4 xy m m 的渐近线方程为30 xy，则双曲线的离心率 为（ ） A2 B3 C 2 3 3 D 3 2 【答案】A
14、【解析】 将双曲线的标准方程表示为 22 22 10,0 xy ab ab ， 由于该双曲线的渐近线方程为30 xy，则3 b a ， 因此，该双曲线的离心率为 2 22 12 abb e aa . 故选：A. 8 （2020 江西省靖安中学高二月考（理） ）已知双曲线中心为原点，焦点在x轴上，过点( 2,2)，且渐近 线方程为2yx，则该双曲线的方程为（ ） A 2 2 1 2 y x B 22 42xy C 2 2 1 4 y x D 22 21xy 【答案】C 【解析】 渐近线方程为20 xy ,设双曲线方程为 22 4xy,0 将( 2,2)P的坐标代入方程得, 22 4( 2)2,求
15、得4 则该双曲线的方程为 2 2 1 4 y x . 故选:C. 9 （2019 天津高三三模（文） ）双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为 3， 则C的焦距等于（ ） A2 B2 2 C4 D4 2 =【答案】C 【解析】 设双曲线的焦距为 2c，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，又 ，解得，故答案选 C 10 （2020 安徽省高三月考（文） ）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为 2，则它的一条渐近线 被圆 22 60 xyx截得的线段长为（ ） A 3 2 B3 C 3 2 2 D3 2 【答案】D
16、【解析】 由题意可得 e2 c a ， 即 c 2 a，即有 b 22 caa， 设双曲线的一条渐近线方程为 y b a x，即为 yx， 圆 22 60 xyx的圆心为（3，0） ，半径 r3， 即有圆心到渐近线的距离为 d 33 2 21 1 ， 可得截得的弦长为 2 22 rd2 9 93 2 2 故选：D 二、多选题二、多选题 11 （2020 山东省胶州市第一中学高三一模）已知双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1( 5,0) F ， 2(5,0) F，则能使双曲线 C 的方程为 22 1 169 xy 的是( ) A离心率为 5 4 B双曲
17、线过点 9 5, 4 C渐近线方程为3 40 xy D实轴长为 4 【答案】ABC 【解析】 由题意，可得：焦点在x轴上，且5c ； A 选项，若离心率为 5 4 ，则4a，所以 222 9bca，此时双曲线的方程为： 22 1 169 xy ，故 A 正确； B 选项， 若双曲线过点 9 5, 4 ， 则 22 222 81 25 16 1 25 ab abc ， 解得： 2 2 16 9 a b ； 此时双曲线的方程为： 22 1 169 xy ， 故 B 正确； C 选项，若双曲线的渐近线方程为3 40 xy ，可设双曲线的方程为： 22 (0) 169 xy m m， 所以 2 169
18、25cmm，解得：1m，所以此时双曲线的方程为： 22 1 169 xy ，故 C 正确； D 选项，若实轴长为 4，则2a，所以 222 21bca，此时双曲线的方程为： 22 4 1 21 xy ，故 D 错误； 故选：ABC. 12 （2020 湖南省衡阳市一中高二期末）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ，右顶点为A，以A为圆心， b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若60MAN ，则有（ ） A渐近线方程为 3 3 yx B 3 2 2 e C 2 3 3 e D渐近线方程为3yx 【答案】AC 【解析】 双曲线 C： 22 22 xy
19、ab 1（a0，b0）的右顶点为 A（a，0） ， 以 A 为圆心，b 为半径做圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点 若MAN60 ，可得 A 到渐近线 bx+ay0 的距离为：bcos30 3 2 b， 可得： 22 3 2 ab b ab ，即 3 2 a c ，故 e 2 3 3 且 2 3 1 3 b e a ，故渐近线方程为渐近线方程 为 3 3 yx 故选：AC 13 （2020 高密市第一中学高三月考）已知点P是双曲线E： 22 1 169 xy 的右支上一点， 1 F， 2 F为双曲线 E的左、右焦点， 12 PFF的面积为 20，则下列说法正确的是（
20、） A点P的横坐标为 20 3 B 12 PFF的周长为 80 3 C 12 FPF小于 3 D 12 PFF的内切圆半径为 3 4 【答案】ABC 【解析】 设 12 FPF的内心为I，连接 22 IPIFIF、， 双曲线E： 22 1 169 xy 中的4a，3b，5c ， 不妨设P mn，0m，0n， 由 12 PFF的面积为 20，可得 12 1 520 2 FF ncnn，即4n， 由 2 16 1 169 m ，可得 20 3 m ，故 A 符合题意； 由 20 4 3 P ，且 1 50F ， 2 50F， 可得 1 12 35 PF k， 2 12 5 PF k， 则 12 1
21、212 360 535 tan03 12 12 319 1 5 35 FPF ， 则 12 3 FPF ，故 C 符合题意； 由 2 12 3525371350 1616 99333 PFPF ， 则 12 PFF的周长为 5080 10 33 ，故 B 符合题意； 设 12 PFF的内切圆半径为r，可得 121212 11 4 22 r PFPFFFFF， 可得 80 40 3 r ，解得 3 2 r ，故 D 不符合题意 故选：ABC 三、填空题三、填空题 14 （2018 民勤县第一中学高二期末（文） ）双曲线 2 2 1 4 y x 的渐近线方程为 【答案】2yx 【解析】 由双曲线方
22、程可知 22 1,41,2abab 渐近线方程为 2yx 15 （2020 天水市第一中学高二月考（文） ）以双曲线 22 1 45 xy 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 _ 【答案】 22 1 95 xy 【解析】 由双曲线的相关性质可知，双曲线 22 :1 45 xy C-=的焦点为( 3,0) ，顶点为( 2 0) ? ， 所以椭圆的顶点为( 3,0)，焦点为( 2 0) ? ， 因为 222 5bac=-=，所以椭圆的方程为 22 1 95 xy ， 故答案为 22 1 95 xy 。 16 （2020 天水市第一中学高二月考）已知平行于x轴的直线l与双曲线C： 22 22 10
23、,0 xy ab ab 的 两条渐近线分别交于P，Q两点，O为坐标原点，若OPQ为等边三角形，则双曲线C的离心率为_. 【答案】2 【解析】 据题设分析知，60POQ，所以tan60 b a ，得 3ba ， 所以双曲线C的离心率 2222 3 2 cabaa e aaa . 17 （2020 山东省高三一模）过点( ,0)(0)Mmm 的直线l与直线330 xy垂直，直线l与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线分别交于点,A B，若点 ( ,0)P m 满足| | |PAPB ，则双曲线C的渐近 线方程为_，离心率为_. 【答案】 1 2 yx ， 5 2 【
24、解析】 过点(,0)(0)Mmm的直线l与直线330 xy垂直， 直线l的方程为30 xym， 双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线方程为 b yx a ， 将两个方程联立，可得(,) 33 mamb A baba ，(,) 33 mamb B baba ， AB的中点坐标为 22 2222 3 (,) 99 mamb N baba ， 点 ( ,0)P m 满足PAPB， 点( ,0)P m 在线段AB的中垂线上，即PNAB 2 22 2 22 3 0 9 3 9 mb ba ma m ba ， 2ab ， 则 1 2 b a ， 22 22 5 1 2 cb e
25、 aa ， 渐近线方程为 1 2 yx ，离心率为 5 2 . 故答案为： 1 2 yx ， 5 2 . 四、解答题四、解答题 18 （2020 定远县育才学校高二月考（文） ）双曲线与椭圆 22 1 2736 xy 有相同焦点，且经过点( 15,4). （1）求双曲线的标准方程； （2）求双曲线的离心率及渐近线方程. 【答案】 （1） 22 1 45 yx ； （2） 2 5 5 yx . 【解析】 （1）由题意知双曲线焦点为 12 (0, 3),(0,3)FF. 可设双曲线方程为 22 22 1 9 yx aa ，点( 15,4)在曲线上，代入得 2 4a 或 2 36a （舍） ， 双曲
26、线的方程为 22 1 45 yx . （2）由（1）得2a，3c ，双曲线的离心率 3 2 c e a . 渐近线方程： 2 5 5 yx . 19 （2020 陕西省西安市远东一中高二期末（理） ）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，且长轴长为 12，离心率为 1 3 . （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）已知双曲线 E 过点2 3,3，且双曲线 E 的焦点与椭圆 C 的焦点重合，求双曲线 E 的标准方程. 【答案】 （1） 22 1 3632 xy （2） 2 2 1 3 x y 【解析】 （1）由题意知，212a ， 1 3 c a 所以6a，2c ，所以 222 32ba
27、c 又因为双曲线 E 的焦点在 x 轴上，所以椭圆 C 的方程为 22 1 3632 xy （2）双曲线 E 的标准方程为 22 11 22 11 10,0 xy ab ab 由题可知双曲线 E 的焦点坐标为2,0，2,0，所以 22 11 4ab 又双曲线 E 过点2 3,3，所以 22 11 123 1 ab ，解得 2 1 3a ， 2 1 1b 所以双曲线 E 的标准方程为 2 2 1 3 x y 20（2019 甘南藏族自治州合作第一中学高二期末 （文） ） 过双曲线 22 1xy的右焦点 F 作倾斜角为60的 直线l，交双曲线于 A、B 两点， （1）求双曲线的离心率和渐近线； （
28、2）求|AB|. 【答案】 （1） 2e ，y x （2）|AB=8 2| 【解析】 （1）因为双曲线方程为 22 1xy,所以1ab,则 22 2cab , 所以2 c e a ,渐近线方程为y x （2）由（1）,右焦点为2 0，,则设直线l为32yx, 代入双曲线 22 1xy中,化简可得 2 26 270 xx , 所以 12 3 2xx+=-, 12 7 2 xx , 所以 2 21121 2 1 3248 2ABxxxxx x 21.（2019 宁波中学高二期中）已知三点7,0A ，7,0B，2, 12C. （1）若椭圆过,A B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程； （2
29、）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和是 2，求点M的轨迹方程. 【答案】(1) 2 2 1(0) 48 y xx；(2) 2 49(7)xyxx 【解析】 （1）设另一个焦点( , )P x y，则由椭圆定义知：| |ACAPBCBP， 22 |( 72)(0 12)15AC ， 22 |(72)(0 12)13BC ， | | 2BPAPACBC ，说明 P 是以 A、B 为焦点的双曲线的左支，其中 2 1,7,48acb， 所以焦点P的轨迹方程为 2 2 1(0) 48 y xx; （2）设( , )M x y，则, 77 AMBM yy kk xx ， 2 77 AMBM yy
30、kk xx ，化简得 2 49(7)xyxx ， 所以点M的轨迹方程为 2 49(7)xyxx . 22 （2019 安徽省高二期中（理） ）已知双曲线 C： 22 22 1 xy ab (a0，b0)与椭圆 22 1 1814 xy 有共同的焦 点，点(3, 7)A在双曲线 C 上 （1）求双曲线 C 的标准方程； （2）以(1,2)P为中点作双曲线 C 的一条弦 AB，求弦 AB 所在直线的方程 【答案】 （1） 22 1 22 xy ； （2） 230 xy 【解析】 由已知椭圆方程求出其焦点坐标，可得双曲线 C 的焦点为 F1(2，0)，F2(2，0)， 由双曲线定义 12 2AFAF
31、a，即 2571 72a ， 所以 2a ， 2 422b ，所以所求双曲线的标准方程为 22 1 22 xy （2）设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 因为 A，B 在双曲线上，所以 22 11 22 22 2 2 xy xy ， 得 12121212 0 xxxxyyyy， 所以 1212 1212 21 42 yyxx xxyy ， 1 2 AB k， 故弦 AB 所在直线的方程为 1 21 2 yx，即230 xy 23 （2019 会泽县第一中学校高二月考（理） ）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的实轴长为2 3， 一个焦点的坐标为(5,0).
32、 （1）求双曲线的方程； （2）若斜率为 2 的直线l交双曲线C交于 ,A B两点，且4AB ，求直线l的方程. 【答案】 （1）； （2） 210 2 3 yx或 210 2 3 yx . 【解析】 （1）由2 2 3a ，得3a ，又5c ， 222 2bca， 双曲线C的方程为 22 1 32 xy . （2）设直线l的方程为2yxm， 1122 ( ,), (,)A x yB xy， 由 22 2 1 32 yxm xy ，得 22 10123(2)0 xmxm， 2 24(10)0m ，得10m ， 弦长 2 5 24(10) 4 10 m AB ，解得 210 3 m ， 直线l的方程为 210 2 3 yx或 210 2 3 yx . 点睛：主要考察了双曲线的基本问题，属于基础题型，尤其对于第二问，根据弦长公式求直线方程时，设 直线方程，根据弦长公式，或是 ，这样根据直线方程与圆锥曲线方程联立，可以求参数.
