1、专题专题 15 圆锥曲线的方程单元测试卷圆锥曲线的方程单元测试卷 一、单选题一、单选题 1 （2020 辽宁省高三月考（文） ）若抛物线 2 4yx上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 点到 y 轴的距离是 （ ） A6 B8 C9 D10 2 （2019 涟水县第一中学高二月考）椭圆 22 1 4 xy m 的焦距为2，则m的值等于（ ） A5 B3 C5或3 D8 3 （2018 镇原县第二中学高二期末（文） ）设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x=2，则抛物线的方程是 （ ） Ay2=8x By2=8x Cy2=4x Dy2=4x 4 （2020 天津高三一模）设F为抛物线 2 :3
2、C yx的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两 点，则AB （ ） A 30 3 B6 C12 D7 3 5 （2018 镇原县第二中学高二期末（文） ）已知9ab，3c ，则椭圆的标准方程是（ ） A 22 1 259 xy B 22 1 2516 xy C 22 1 2516 xy 或 22 5 1 162 xy D 22 1 169 xy 6（2018 镇原县第二中学高二期末 （文） ） 双曲线 22 2 10 12 xy b b 的一条渐近线为230 xy， 则b （ ） A3 B2 C 3 D2 2 7 （2018 民勤县第一中学高二期末（文） ）已知椭圆的一个焦点为 F（0
3、，1） ，离心率 1 2 e ，则椭圆的标 准方程为（ ） A 2 2 1 2 x y B 2 2 1 2 y x C 22 1 43 xy D 22 1 34 xy 8 （2019 涟水县第一中学高二月考）设双曲线 22 22 1 xy ab (a0，b0)的虚轴长为 2，焦距为 23，则双 曲线的渐近线方程为( ) Ay 2x By 2x Cy 2 2 x Dy1 2 x 9 （2019 浙江省高二期中） 如图，A，B，C是椭圆 22 22 1 xy ab 0ab上的三个点，AB经过原点O， AC经过右焦点F，若BFAC且 3BFCF，则该椭圆的离心率为（ ） A 1 2 B 2 2 C
4、3 2 D 2 3 10 （2018 安徽省合肥一中高三一模（文） ）已知椭圆 2 2 2 1(1) x ya a 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，A是 椭圆在第一象限上的一个动点，圆C与 1 F A的延长线， 12 FF的延长线以及线段 2 AF都相切，且3,0M为 其中一个切点则椭圆的离心率为（ ） A 3 2 B 2 2 3 C 2 2 D 6 3 二、多选题二、多选题 11 （2019 山东省青岛二中高二月考） （多选题）下列说法正确的是（ ） A方程 2 xxyx表示两条直线 B椭圆 22 1 102 xy mm 的焦距为 4，则4m C曲线 22 259 xy xy关于坐标原
5、点对称 D双曲线 22 22 xy ab 的渐近线方程为 b yx a 12（2019 山东省高二期中） 已知椭圆C的中心在原点， 焦点 1 F， 2 F在y轴上， 且短轴长为 2， 离心率为 6 3 ， 过焦点 1 F作y轴的垂线，交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（ ） A椭圆方程为 2 2 1 3 y x B椭圆方程为 2 2 1 3 x y C 2 3 3 PQ D 2 PF Q的周长为4 3 13 （2019 江苏省苏州实验中学高二月考）已知双曲线C过点3, 2且渐近线为 3 3 yx ，则下列结论 正确的是（ ） AC的方程为 2 2 1 3 x y BC的离心率为3 C曲线
6、 2 1 x ye 经过C的一个焦点 D直线210 xy 与C有两个公共点 三、填空题三、填空题 14 （2019 江苏省高三三模）双曲线 2 2 1 2 x y的焦距为_. 15 （2019 重庆巴蜀中学高二期中（理） ）若双曲线 22 1 54 xy 的左焦点在抛物线 2 2ypx的准线上，则p 的值为_. 16 （2020 浙江省高三二模）已知椭圆 22 1 97 xy C：，F 为其左焦点，过原点 O 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，点 A 在第二象限，且FABBFO，则直线 l 的斜率为_ 17 （2019 乐清市知临中学高二期末）已知抛物线 2 2yx的焦点为F，定点32A ，
7、.若抛物线上存在一点 M，使MA MF 最小，则点M的坐标为_，最小值是_. 四、解答题四、解答题 18 （2018 镇原县第二中学高二期末（文） ）已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线方程是 3yx，它的一个焦点在抛物线 2 24yx的准线上. （1）求双曲线的焦点坐标； （2）求双曲线的标准方程. 19 （2019 湖南省衡阳市八中高二月考）已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，点M在抛物线上，且 点M的横坐标为4，5MF （1）求抛物线的方程； （2）设过焦点F且倾斜角为45的l交抛物线于AB、两点，求线段AB的长 20 （2020 陕西省西安市远东一
8、中高二期末（理） ）已知抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，对称轴为 x 轴，其 准线过点2, 1. (1)求抛物线 C 的方程； (2)过抛物线焦点 F 作直线 l，使得抛物线 C 上恰有三个点到直线 l 的距离都为2 2，求直线 l 的方程. 21 （2019 会泽县第一中学校高二月考（理） ）设抛物线C： 2 2(0)xpy p的焦点为F，( ,1)M p p是C 上的点 （1）求C的方程： （2）若直线l：2ykx与C交于A，B两点，且13AFBF，求k的值 22 （2018 民勤县第一中学高二期末（文） ）在直线l： 90 xy 上任取一点M，过M作以 1 3,0F ， 2 3,0F为
9、焦点的椭圆，当M在什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此椭圆方程. 23 （2019 安徽省高二期末（理） ）已知点O为坐标原点椭圆 22 22 :1 (0) xy Cab ab 的右焦点为F， 离心率为 1 2 ，点,P Q分别是椭圆C的左顶点、上顶点，POQ的边PQ上的中线长为 7 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F的直线l交椭圆于AB、两点直线PA PB、分别交直线2xa于MN、两点，求FM FN 专题专题 15 圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程单元测试卷单元测试卷 一、单选题一、单选题 1 （2020 辽宁省高三月考（文） ）若抛物线 2 4yx上的点 M 到焦点的距离为 10，则
10、 M 点到 y 轴的距离是 （ ） A6 B8 C9 D10 【答案】C 【解析】 抛物线 2 4yx的焦点10F ，准线为1x，由 M 到焦点的距离为 10， 可知 M 到准线的距离也为 10，故到 M 到的距离是 9，故选 C 2 （2019 涟水县第一中学高二月考）椭圆 22 1 4 xy m 的焦距为2，则m的值等于（ ） A5 B3 C5或3 D8 【答案】C 【解析】 若椭圆的焦点在x轴上时，则有242m，解得5m； 若椭圆的焦点在y轴上时，则有2 42m，解得3m. 综上所述，5m或3. 故选：C. 3 （2018 镇原县第二中学高二期末（文） ）设抛物线的顶点在原点，准线方程为
11、 x=2，则抛物线的方程是 （ ） Ay2=8x By2=8x Cy2=4x Dy2=4x 【答案】B 【解析】 准线方程为 x=2 =2 p=4 抛物线的方程为 y2=8x 故选 B 4 （2020 天津高三一模）设F为抛物线 2 :3C yx的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两 点，则AB （ ） A 30 3 B6 C12 D7 3 【答案】C 【解析】 由题意，得 3 ( ,0) 4 F又因为 0 3 ktan30 3 ，故直线 AB 的方程为 33 () 34 yx，与抛物线 2=3 yx联 立，得 2 1616890 xx，设 1122 ( ,), (,)A x yB x
12、y，由抛物线定义得， 12 ABxxp 1683 12 162 ，选 C 5 （2018 镇原县第二中学高二期末（文） ）已知9ab，3c ，则椭圆的标准方程是（ ） A 22 1 259 xy B 22 1 2516 xy C 22 1 2516 xy 或 22 5 1 162 xy D 22 1 169 xy 【答案】C 【解析】 由9ab，3c ， 222 abc，可解得 2 25a ， 2 16b ， 则当椭圆的焦点在x轴上时，此时椭圆的标准方程为： 22 1 2516 xy ； 当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为： 22 5 1 162 xy . 故选：C 6（2018 镇原县
13、第二中学高二期末 （文） ） 双曲线 22 2 10 12 xy b b 的一条渐近线为230 xy， 则b （ ） A3 B2 C 3 D2 2 【答案】D 【解析】 双曲线的焦点在x轴，2 3a ，渐近线方程是 b yx a ，而已知一条渐近线为230 xy， 26 33 k ，所以 6 32 3 b ，解得： 2 2b . 故选：D 7 （2018 民勤县第一中学高二期末（文） ）已知椭圆的一个焦点为 F（0，1） ，离心率 1 2 e ，则椭圆的标准 方程为（ ） A 2 2 1 2 x y B 2 2 1 2 y x C 22 1 43 xy D 22 1 34 xy 【答案】D 【
14、解析】 由题意知1c，又离心率 1 2 e ，所以2a， 222 3bac，即所求椭圆的标准方程 22 1 34 xy ，故 选 D 8 （2019 涟水县第一中学高二月考）设双曲线 22 22 1 xy ab (a0，b0)的虚轴长为 2，焦距为 23，则双 曲线的渐近线方程为( ) Ay 2x By 2x Cy 2 2 x Dy1 2 x 【答案】C 【解析】 由题意知 2b=2,2c=2 3, b=1,c= 3,a 2=c2-b2=2,a= 2, 渐近线方程为 y=b a x= 1 2 x= 2 2 x.故选 C. 9 （2019 浙江省高二期中） 如图，A，B，C是椭圆 22 22 1
15、 xy ab 0ab上的三个点，AB经过原点O， AC经过右焦点F，若BFAC且3BFCF，则该椭圆的离心率为（ ） A 1 2 B 2 2 C 3 2 D 2 3 【答案】B 【解析】 取左焦点 1 F，连接 111 ,AF CF BF，BFAC，根据椭圆的对称性可得： 1 AFBF是矩形， 设 11 ,2,3 ,23 ,22CFm CFam BFAFm AFam ACam， 1 Rt AFC中， 222 11 AFACCF即： 222 (3 )(22 )(2)mamam 解得： 3 a m ，则 1 ,AFa AFa 在 1 Rt AFF中 222 11 AFAFFF即： 222 (2 )
16、aac， 2 22 2 1 2, 2 c ac a 所以椭圆离心率为 2 2 . 故选：B 10 （2018 安徽省合肥一中高三一模（文） ）已知椭圆 2 2 2 1(1) x ya a 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，A是 椭圆在第一象限上的一个动点，圆C与 1 F A的延长线， 12 FF的延长线以及线段 2 AF都相切，且3,0M为 其中一个切点则椭圆的离心率为（ ） A 3 2 B 2 2 3 C 2 2 D 6 3 【答案】B 【解析】 设圆C与 1 F A的延长线相切于点N，与 2 AF相切于点T，由切线长相等，得ANAT， 11 FNFM， 22 FTF M， 1( ,0)
17、Fc， 2( ,0) F c， 由椭圆的定义可得， 12 2AFAFa， 11122 3+22+FNFMcAFANaAFANaANATTF 2 22(3)aF Mac， 则26a ，即3a ， 又1b，所以 22 2 2cab ， 因此椭圆的离心率为 2 2 3 c e a . 故选：B. 二二、多选题多选题 11 （2019 山东省青岛二中高二月考） （多选题）下列说法正确的是（ ） A方程 2 xxyx表示两条直线 B椭圆 22 1 102 xy mm 的焦距为 4，则4m C曲线 22 259 xy xy关于坐标原点对称 D双曲线 22 22 xy ab 的渐近线方程为 b yx a 【
18、答案】ACD 【解析】 方程 2 xxyx即10 x xy，表示0 x， 10 xy 两条直线，所以 A 正确； 椭圆 22 1 102 xy mm 的焦距为 4， 则1 024mm或2104mm ， 解得4m或8m， 所以 B 选项错误； 曲线 22 259 xy xy上任意点,P x y，满足 22 259 xy xy，,P x y关于坐标原点对称点,Pxy 也满足 22 259 xy xy ，即,Pxy 在 22 259 xy xy上，所以曲线 22 259 xy xy关于坐标原点对称，所 以 C 选项正确； 双曲线 22 22 xy ab 即0，其渐近线方程为 b yx a 正确，所以
19、 D 选项正确. 故选：ACD 12（2019 山东省高二期中） 已知椭圆C的中心在原点， 焦点 1 F， 2 F在y轴上， 且短轴长为 2， 离心率为 6 3 ， 过焦点 1 F作y轴的垂线，交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（ ） A椭圆方程为 2 2 1 3 y x B椭圆方程为 2 2 1 3 x y C 2 3 3 PQ D 2 PF Q的周长为4 3 【答案】ACD 【解析】 由已知得，2b=2，b=1， 6 3 c a ， 又 222 abc，解得 2 3a ， 椭圆方程为 2 2 1 3 y x， 如图： 2 222 3 33 b PQ a ， 2 PF Q的周长为4 4
20、 3a 故选：ACD 13 （2019 江苏省苏州实验中学高二月考）已知双曲线C过点3, 2且渐近线为 3 3 yx ，则下列结论 正确的是（ ） AC的方程为 2 2 1 3 x y BC的离心率为3 C曲线 2 1 x ye 经过C的一个焦点 D直线210 xy 与C有两个公共点 【答案】AC 【解析】 对于选项 A：由已知 3 3 yx ，可得 22 1 3 yx，从而设所求双曲线方程为 22 1 3 xy，又由双曲线C 过点3, 2，从而 22 1 3( 2) 3 ，即1，从而选项 A 正确； 对于选项 B：由双曲线方程可知3a ，1b，2c ，从而离心率为 22 3 33 c e a
21、 ，所以 B 选项 错误； 对于选项 C：双曲线的右焦点坐标为2,0，满足 2 1 x ye ，从而选项 C 正确； 对于选项 D：联立 2 2 210 1 3 xy x y ，整理，得 2 2-2 20yy，由 2 (2 2)4 20 ，知直线与双 曲线C只有一个交点，选项 D 错误. 故选 AC 三、填空题三、填空题 14 （2019 江苏省高三三模）双曲线 2 2 1 2 x y的焦距为_. 【答案】2 3 【解析】 双曲线 2 2 1 2 x y的焦距为 22 222 3cab . 故答案为：2 3. 15 （2019 重庆巴蜀中学高二期中（理） ）若双曲线 22 1 54 xy 的左
22、焦点在抛物线 2 2ypx的准线上，则p 的值为_. 【答案】6 【解析】 双曲线 22 1 54 xy 的左焦点为3,0，即3 2 p -=-，故6p =. 故答案为：6. 16 （2020 浙江省高三二模）已知椭圆 22 1 97 xy C：，F 为其左焦点，过原点 O 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，点 A 在第二象限，且FABBFO，则直线 l 的斜率为_ 【答案】 7 3 【解析】 设 00 ,A x y，则 00 ,Bxy， 0 0 x ， 0 0y 且 22 00 1 97 xy ， F 为其左焦点， 2,0F ， 0 0 tan 2 y BFO x ，直线 AB 的斜率 0
23、 1 0 y k x 经分析直线 AF 的斜率必存在，设为 0 2 0 2 y k x ， 则 012 22 1 2 000 2 tan 12 ykk FAB k kxxy ， 又FABBFO， 00 22 0000 2 22 yy xxyx ， 22 000 2 22xxy，又 22 00 1 97 xy ， 0 ( 3,0)x ，可解得： 0 3 2 2 x ， 0 14 2 y ， 直线 l 的斜率为 0 0 7 3 y x 故答案为： 7 3 17 （2019 乐清市知临中学高二期末）已知抛物线 2 2yx的焦点为F，定点32A ，.若抛物线上存在一点 M，使MA MF 最小，则点M的
24、坐标为_，最小值是_. 【答案】2 2， 7 2 【解析】 根据题意，作MH垂直于准线，画出几何关系如下图所示： 根据抛物线定义可知，MFMH， 因而当,A M H在同一直线上时，MAMF的值最小， 此时 7 2 MAMFAH， M的纵坐标为 2，代入抛物线解析式可知42x， 所以M的横坐标为 2，即2,2M， 故答案为：2,2M， 7 2 ； 四、解答四、解答题题 18 （2018 镇原县第二中学高二期末（文） ）已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线方程是 3yx，它的一个焦点在抛物线 2 24yx的准线上. （1）求双曲线的焦点坐标； （2）求双曲线的标准方程.
25、 【答案】 （1）6,0F ； （2） 22 1 927 xy 【解析】 因为抛物线 2 24yx的准线方程为6x， 则由题意得，点 1 6,0F 是双曲线的左焦点. （1）双曲线的焦点坐标6,0F . （2）由（1）得 222 36abc， 又双曲线的一条渐近线方程是3yx， 所以3 b a ，解得 2 9a ， 2 27b ， 所以双曲线的方程为： 22 1 927 xy . 19 （2019 湖南省衡阳市八中高二月考）已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，点M在抛物线上，且 点M的横坐标为4，5MF （1）求抛物线的方程； （2）设过焦点F且倾斜角为45的l交抛物线于AB、两点，
26、求线段AB的长 【答案】 （1） 2 4yx； （2）8. 【解析】 （1）由题意得45 2 p MF， 2p ，故抛物线方程为 2 4yx （2）直线l的方程为 0tan45(1)yx ，即1yx 与抛物线方程联立，得 2 1 4 yx yx ， 消y，整理得 2 610 xx ，其两根为1 2 ,x x，且 12 6xx 由抛物线的定义可知， 12 |628ABxxp 所以，线段AB的长是8 20 （2020 陕西省西安市远东一中高二期末（理） ）已知抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，对称轴为 x 轴，其 准线过点2, 1. (1)求抛物线 C 的方程； (2)过抛物线焦点 F 作直线 l
27、，使得抛物线 C 上恰有三个点到直线 l 的距离都为2 2，求直线 l 的方程. 【答案】(1) 2 8yx；(2) 20 xy 【解析】 (1)由题意得，抛物线的焦点在x轴正半轴上，设抛物线 C 的方程为 2 2ypx， 因为准线过点2,1，所以2 2 p ，即4p . 所以抛物线 C 的方程为 2 8yx. (2)由题意可知，抛物线 C 的焦点为2,0F. 当直线 l 的斜率不存在时，C 上仅有两个点到 l 的距离为2 2，不合题意； 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为2yk x， 要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点 P 到直线 l 的距离为2 2， 过点 P 的
28、直线平行直线:2l yk x且与抛物线 C 相切. 设该切线方程为y kxm ， 代入 2 4yx，可得 222 280k xkmxm. 由 2 22 2840kmk m ，得2km. 由 2 2 2 2 1 km k ，整理得 22 4mk， 又2km，解得 2 1k ，即 1k . 因此，直线 l 方程为20 xy. 21 （2019 会泽县第一中学校高二月考（理） ）设抛物线C： 2 2(0)xpy p的焦点为F，( ,1)M p p是C 上的点 （1）求C的方程： （2）若直线l：2ykx与C交于A，B两点，且13AFBF，求k的值 【答案】 （1） 2 4xy（2）1k . 【解析】
29、 （1）因为,1M p p是C上的点， 所以 2 21pp p， 因为0p ，解得2p ， 抛物线C的方程为 2 4xy. （2）设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 由 2 2 4 ykx xy 得 2 480 xkx， 2 16320k 则 12 4xxk， 12 8x x ， 由抛物线的定义知， 1 1AFy， 2 1BFy， 则 1212 1133AFBFyykxkx， 2 1 212 39k x xk xx， 2 4913k， 解得1k . 22 （2018 民勤县第一中学高二期末（文） ）在直线l： 90 xy 上任取一点M，过M作以 1 3,0F ， 2 3,0F为焦点
30、的椭圆，当M在什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此椭圆方程. 【答案】5,4M ， 22 1 4536 xy 【解析】 设 1 3,0F 关于l：90 xy的对称点,F x y， 则 3 90 9 22 06 1 3 xy x yy x ， 9,6F ，连 2 F F交l于M，点M即为所求点. 2 F F： 1 (3) 2 yx ，即230 xy， 解方程组 2305 904 xyx xyy ，5,4M ，当点M取异于M的点时， 22 FMM FFF. 满足题意的椭圆的长轴最短时， 2 2 2 29 366 5aFF ， 所以 3 5a ，3c ， 222 45936bac . 椭圆的方程为：
31、 22 1 4536 xy . 23 （2019 安徽省高二期末（理） ）已知点O为坐标原点椭圆 22 22 :1 (0) xy Cab ab 的右焦点为F， 离心率为 1 2 ，点,P Q分别是椭圆C的左顶点、上顶点，POQ的边PQ上的中线长为 7 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F的直线l交椭圆于AB、两点直线PAPB、分别交直线2xa于MN、两点，求FM FN 【答案】 （1） 22 1 43 xy ； （2）0. 【解析】 （1）如图所示 由题意得POQ为直角三角形，且PQ上的中线长为 7 2 ， 所以7PQ 则 22 222 1 2 7 c a ab abc ，解得 2 3
32、 1 a b c . 所以椭圆的标准方程为： 22 1 43 xy . （2） 由题意，如图设直线l的方程为：1xmy， 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 3 4,My， 4 4,Ny， 联立方程 22 1 1 43 xmy xy 化简得 22 (34)690mymy. 则 12 2 12 2 6 34 9 34 m yy m yy m . 由,P A M三点共线易得 31 1 00 422 yy x ， 化简得 1 3 1 6 3 y y my ，同理可得 2 4 2 6 3 y y my . 12 3434 12 66 (3,) (3,)99 33 yy FM FNyyy y mymy 12 2 1212 36 9 39 y y m y ym yy 2 222 2 22 9 36() 36 9 34 990 96 9189(34) ()3 ()9 3434 m m mmm mm mm
