1、专题专题 19 数列的求和数列的求和 一、单选题一、单选题 1（2019 商丘市第一高级中学高二期中 （理） ） 数列 n a的前 n 项和为 n S， 若 1 1 n a n n ， 则 9 S （ ） A1 B 1 10 C 9 10 D 1 30 2 （2018 甘肃省武威十八中高二课时练习）化简 211 12222 22 nn n Snnn 的结 果是（ ） A 1 222 n n B 1 22 n n C2 2 n n D 1 22 n n 3 （2020 江西省江西师大附中高三月考 （理） ） 数列 11111 1 ,3,5 ,7,(21), 248162n n 的前n项和 n S
2、的 值等于（ ） A 2 1 1 2n n B 2 1 21 2n nn C 2 1 1 1 2n n D 2 1 1 2n nn 4 （2019 福建省莆田一中高三期中（文） ）等差数列 n a中， 4 9a ， 7 15a ，则数列( 1)n n a 的前 20 项和等于（ ） A-10 B-20 C10 D20 5（2020 珠海市第二中学高一开学考试） 已知数列 n a且满足： 1 4 2 n n a a ， 且 1 4a ， 则 n S为数列 n a 的前n项和，则 2020= S（ ） A2019 B2021 C2022 D2023 6 （2018 厦门市华侨中学高二期中） 已知等
3、比数列 n a的前n项和为 n S， 若 36 7,63SS， 则数列 n na 的前n项和为（ ） A3(1)2 n n B3(1)2nn C1(1)2 n n D1(1)2nn 7 （2019 福建省厦门第六中学高二期中（理） ）已知数列满足 ， 则数列的最小值是 A25 B26 C27 D28 8 （2020 江苏省高二期中）设函数 2 21 x fx ，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得 54045fffff的值为（ ） A9 B11 C 9 2 D11 2 二、多选题二、多选题 9 （2020 海南省高三其他）已知数列 n a的首项为 4，且满足 * 1 2(1)0 nn n
4、ananN ，则（ ） A n a n 为等差数列 B n a为递增数列 C n a的前n项和 1 (1) 24 n n Sn D 1 2 n n a 的前n项和 2 2 n nn T 10已知数列an为等差数列，首项为 1，公差为 2，数列bn为等比数列，首项为 1，公比为 2，设 n nb ca ， Tn为数列cn的前 n 项和，则当 Tn2019 时，n 的取值可以是下面选项中的（ ） A8 B9 C10 D11 11 （2020 山东省高二期末）已知数列 n a满足 1 1a ， * 1 23 n n n a anN a ，则下列结论正确的有 （ ） A 1 3 n a 为等比数列 B
5、 n a的通项公式为 1 1 23 n n a C n a为递增数列 D 1 n a 的前n项和 2 234 n n Tn 12 （2019 江苏省苏州实验中学高二月考）已知等差数列 n a的首项为 1，公差4d ，前 n 项和为 n S，则 下列结论成立的有( ) A数列 n S n 的前 10 项和为 100 B若 1, a 3, a m a成等比数列，则21m C若 1 1 16 25 n i ii aa ，则 n 的最小值为 6 D若 210mn aaaa，则 116 mn 的最小值为 25 12 三、填空题三、填空题 13 （2020 宁夏回族自治区银川一中高三三模（理） ）等差数列
6、 n a的前 n 项和为 n S， 34 310aS， 则 1 1 n k k S _. 14 （2020 全国高三月考（文） ）已知数列 n a满足： 1 1a ， 1 2n nn aa ，则数列 n a的前n项和 n S _. 15 （2020 安徽省高三一模（理） ）已知数列 n a中， 1 1a ， * 1 2n nn a anN ，记 n S为 n a的前 n 项 和，则 2n S=_. 16 （2020 山东省临沂第一中学高二期中）已知数列 n a满足 1 2a ， 1 1 1 n n a a ，设 n a的前n项和 为 n S，则 6 a _， 2017 S_ 四、解答题四、解答
7、题 17 （2019 全国高一课时练习）设函数 9 93 x x f x ，计算 124022 402340234023 fff . 18 （2020 福建省高三其他（文） ）已知数列 n a为递减的等差数列， 1 a， 6 a为方程 2 9140 xx的两 根 （1）求 n a的通项公式； （2）设2n nn ba，求数列 n b的前 n 项和 19 （2020 毕节市实验高级中学高一期中）已知数列 n a是等差数列,其前n项和为 n S, 33 1 6 2 aS. （1）求数列 n a的通项公式； （2）求和： 12 111 n SSS . 20 （2020 合肥市第十一中学高一期中）数列
8、 n b满足： 11 22, nnnnn bbbaa ，且 12 24aa ， . （1）证明数列2 n b 为等比数列； （2）求数列 n a的通项公式. 21 （2020 合肥市第十一中学高一期中）已知等差数列 n a的前n项和 n S满足 35 6,15SS. （1）求 n a的通项公式； （2）设, 2 n n n a a b 求数列 n b的前n项和 n T. 22 （2011 安徽省高三一模（文） ）设奇函数对任意都有 求和的值； 数列满足：，数列是等差数列吗？请给予 证明； 专题专题 19 数列的求和数列的求和 一、单选题一、单选题 1（2019 商丘市第一高级中学高二期中 （理
9、） ） 数列 n a的前 n 项和为 n S， 若 1 1 n a n n ， 则 9 S （ ） A1 B 1 10 C 9 10 D 1 30 【答案】C 【解析】 111 11 n a n nnn , 9 1111119 . 122391010 S. 故选：C 2 （2018 甘肃省武威十八中高二课时练习）化简 211 12222 22 nn n Snnn 的结 果是（ ） A 1 222 n n B 1 22 n n C2 2 n n D 1 22 n n 【答案】D 【解析】 Sn=n+（n1） 2+（n2） 22+22n2+2n1 2Sn=n 2+（n1） 22+（n2） 23+2
10、2n1+2n 式得；Sn=n（2+22+23+2n）=n+22n+1 Sn=n+（n1） 2+（n2） 22+22n2+2n1n+22n+1=2n+1n2 故答案为：D 3 （2020 江西省江西师大附中高三月考 （理） ） 数列 11111 1 ,3,5 ,7,(21), 248162n n 的前n项和 n S的 值等于（ ） A 2 1 1 2n n B 2 1 21 2n nn C 2 1 1 1 2n n D 2 1 1 2n nn 【答案】A 【解析】 11 (1 321)( 2 1 ) 24 n n nS 11 (1) (121) 22 1 2 1 2 n nn 2 1 1 2n
11、n , 故选：A 4 （2019 福建省莆田一中高三期中（文） ）等差数列 n a中， 4 9a ， 7 15a ，则数列( 1)n n a 的前 20 项和等于（ ） A-10 B-20 C10 D20 【答案】D 【解析】 74 315 96aad，解得2,d 1 3a ，所以 20 12341920 1 .1020 n i aaaaaaad ，故选 D 5 （2020 珠海市第二中学高一开学考试） 已知数列 n a且满足： 1 4 2 n n a a ， 且 1 4a ， 则 n S为数列 n a 的前n项和，则 2020= S（ ） A2019 B2021 C2022 D2023 【答
12、案】D 【解析】 由 1 4 2 n n a a ， 1 4a ， 所以 2 1 4 2 2 a a ， 3 2 4 1 2 a a ， 4 3 4 4 2 a a ， 所以数列 n a是以3为周期的数列， 3123 3Saaa， 所以 202031 =673S673 342023Sa . 故选：D 6 （2018 厦门市华侨中学高二期中） 已知等比数列 n a的前n项和为 n S， 若 36 7,63SS， 则数列 n na 的前n项和为（ ） A3(1)2 n n B3(1)2nn C1(1)2 n n D1(1)2nn 【答案】D 【解析】 当1q 时，不成立， 当1q 时， 3 1 6
13、 1 1 7 1 1 63 1 aq q aq q ，两式相除得 3 63 117 1163 q qq ，解得： 2q = ， 1 1a 即 11 1 2 nn n aa q ， 1 2n n n an ， 21 12 23 2.2n n sn ， 2 n s 21 1 22 2.1 22 nn nn ，两式相减得到： 21 122.22 nn n sn 1 2 2121 1 2 n nn nn ，所以1 1 2n n sn ，故选 D. 7 （2019 福建省厦门第六中学高二期中（理） ）已知数列满足 ， 则数列的最小值是 A25 B26 C27 D28 【答案】B 【解析】 因为数列中，所
14、以， ，上式相加，可得 ，所以，所以 ，当且仅当，即时，等式相等，故选 B 8 （2020 江苏省高二期中）设函数 2 21 x fx ，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得 54045fffff的值为（ ） A9 B11 C 9 2 D11 2 【答案】B 【解析】 2 21 x f x ， 2222 2 212121221 x xxx xx f xfx 2 12 22 2 2 211221 x x xxx ， 设 54045Sfffff， 则 54045Sfffff， 两式相加得 2115511 222Sff ，因此，11S . 故选：B. 二、多选题二、多选题 9 （2020 海南
15、省高三其他）已知数列 n a的首项为 4，且满足 * 1 2(1)0 nn nananN ，则（ ） A n a n 为等差数列 B n a为递增数列 C n a的前n项和 1 (1) 24 n n Sn D 1 2 n n a 的前n项和 2 2 n nn T 【答案】BD 【解析】 由 1 2(1)0 nn nana 得 1 2 1 nn aa nn ，所以 n a n 是以 1 1 4 1 a a为首项，2 为公比的 等比数列，故 A 错误；因为 11 4 22 nn n a n ，所以 1 2n n an ，显然递增，故 B 正确； 因为 231 1 22 22n n Sn ， 342
16、 21 22 22n n Sn ，所以 2312 1 2222 nn n Sn 2 2 21 2 2 1 2 n n n ，故 2 (1)24 n n Sn ， 故 C 错误；因为 1 11 2 22 n n nn an n ，所以 1 2 n n a 的前n项和 2 (1) 22 n nnnn T ， 故 D 正确. 故选：BD 10已知数列an为等差数列，首项为 1，公差为 2，数列bn为等比数列，首项为 1，公比为 2，设 n nb ca ， Tn为数列cn的前 n 项和，则当 Tn2019 时，n 的取值可以是下面选项中的（ ） A8 B9 C10 D11 【答案】AB 【解析】 由题
17、意，an1+2（n1）2n1， 1 2n n b ， n nb ca22n112n1，则数列cn为递增数列， 其前 n 项和 Tn（211）+（221）+（231）+（2n1） （21+22+2n）n 2 12 12 n n 2n+12n 当 n9 时，Tn10132019； 当 n10 时，Tn20362019 n 的取值可以是 8，9 故选：AB 11（2020 山东省高二期末） 已知数列 n a满足 1 1a ， * 1 23 n n n a anN a ， 则下列结论正确的有 （ ） A 1 3 n a 为等比数列 B n a的通项公式为 1 1 23 n n a C n a为递增数列
18、 D 1 n a 的前n项和 2 234 n n Tn 【答案】ABD 【解析】 因为 1 12 3 23 nn n n a aaa ，所以 1 11 32(3) nn aa ，又 1 1 340 a ， 所以 1 3 n a 是以 4 为首项，2 位公比的等比数列， 1 1 34 2n n a 即 1 1 23 n n a ， n a为递减数列， 1 n a 的前n项和 23112 (23)(23)(23)2(222 )3 nn n Tn 2 2 (1 2 ) 23 1 2 234 n n nn . 故选：ABD 12 （2019 江苏省苏州实验中学高二月考）已知等差数列 n a的首项为 1
19、，公差4d ，前 n 项和为 n S，则 下列结论成立的有( ) A数列 n S n 的前 10 项和为 100 B若 1, a 3, a m a成等比数列，则21m C若 1 1 16 25 n i ii aa ，则 n 的最小值为 6 D若 210mn aaaa，则 116 mn 的最小值为 25 12 【答案】AB 【解析】 由已知可得:43 n an, 2 2 n Snn, =21 n S n n ,则数列 n S n 为等差数列,则前 10 项和为 10 1 19 =100 2 .所以 A 正确; 1, a 3, a m a成等比数列,则 2 31 =, m aaa81 m a ,即
20、=4381 m am,解得21m故 B 正确; 因为 1 1111 = 4 4341 ii aann 所以 1 1 11111116 =1= 455494132451 n i ii nn n aan ,解 得6n ,故n的最小值为 7,故选项 C 错误;等差的性质可知12mn,所以 1161116116125 =116172 4 12121212 nm mn mnmnmn ,当且仅当 16 = nm mn 时,即 48 =4 5 nm 时取等号,因为 * ,m nN,所以 48 =4 5 nm 不成立,故选项 D 错误. 故选:AB. 三、填空题三、填空题 13 （2020 宁夏回族自治区银川
21、一中高三三模（理） ）等差数列 n a的前 n 项和为 n S， 34 310aS， 则 1 1 n k k S _. 【答案】 2 1 n n 【解析】 31 23aad， 41 4610Sad，故 1 1ad，故 1 2 n n n S ， 111 121112 22 1 1111 nnn kkk k n Sk kkknn . 故答案为： 2 1 n n . 14 （2020 全国高三月考（文） ）已知数列 n a满足： 1 1a ， 1 2n nn aa ，则数列 n a的前n项和 n S _. 【答案】 1 22 n n 【解析】 由已知， 1 2n nn aa ，当2n时， 21 1
22、21321 12 122221 12 n nn nnn aaaaaaaa ， 又 1 1a 满足上式，所以21 n n a ， 21 2 1 2 22222 1 2 n nn n Snnn . 故答案为： 1 22 n n 15 （2020 安徽省高三一模（理） ）已知数列 n a中， 1 1a ， * 1 2n nn a anN ，记 n S为 n a的前 n 项 和，则 2n S=_. 【答案】3 23 n 【解析】 因为 1 1a ， 12 2a a ，所以 2 2a .又 1 122 1 2 2 2n n n n nn nn aaa a aa ， 所以数列 n a的奇数项是以 1 a为
23、首项，2 为公比的等比数列，偶数项是以 2 a为首项，2 为公比的等比数列. 故 2 11 221 2 3 23 1 21 2 n nn n S . 故答案为：3 23 n . 16 （2020 山东省临沂第一中学高二期中）已知数列 n a满足 1 2a ， 1 1 1 n n a a ，设 n a的前n项和 为 n S，则 6 a _， 2017 S_ 【答案】1 1010 【解析】 由 1 2a ， 1 1 1 n n a a ，有 2 1 11 1 2 a a 34 23 11 11,12aa aa ， 则数列 n a是以 3 为周期的数列. 又 123 3 2 aaa，20173 67
24、2 1 所以 63 1aa ， 20171 3 6721010 2 Sa 故答案为：(1). 1 (2). 1010 四四、解答题、解答题 17 （2019 全国高一课时练习）设函数 9 93 x x f x ，计算 124022 402340234023 fff . 【答案】2011 【解析】 解：由已知 1 1 99 ( )(1) 9393 xx xx f xfx 9993 1 9393 99339 xx xxxx ， ( )(1)1f xfx， 设 124022 402340234023 Sfff 402240211 402340234023 Sfff 140222402140221 2
25、 402340234023402340234023 Sffffff 24022S， 2011S， 即 124022 2011 402340234023 fff 18 （2020 福建省高三其他（文） ）已知数列 n a为递减的等差数列， 1 a， 6 a为方程 2 9140 xx的两 根 （1）求 n a的通项公式； （2）设2n nn ba，求数列 n b的前 n 项和 【答案】 （1）8 n an ； （2） n S 2 1 15 22 2 n nn 【解析】 设等差数列 n a的公差为 d， 因为 1 a， 6 a为方程 2 9140 xx的两根，且数列 n a为递减的等差数列， 所以
26、1 6 7 2 a a ， 所以 61 27 1 6 16 1 aa d ， 所以 1 (1)7(1)8 n aandnn ， 即数列 n a的通项公式为8 n an （2）由（1）得8 n an ，所以82n n bn， 所以数列 n b的前 n 项和 2 76(8)222n n Sn (78)2(12 212 ) n nn 2 1 15 22 2 n nn 19 （2020 毕节市实验高级中学高一期中）已知数列 n a是等差数列,其前n项和为 n S, 33 1 6 2 aS. （1）求数列 n a的通项公式； （2）求和： 12 111 n SSS . 【答案】 （1）2 n an.（2
27、） 1 n n 【解析】 （1）设等差数列 n a的公差为 d,则有： 322 3124Saa, 32 642daa, 12 422aad, 所以数列 n a的通项公式为：22(1)2 n ann. （2）由（1）可知： (22 ) (1) 2 n nn Sn n , 1111 (1)1 n Sn nnn , 12 111111111 11 223111 n n SSSnnnn 20 （2020 合肥市第十一中学高一期中）数列 n b满足： 11 22, nnnnn bbbaa ，且 12 24aa ， . （1）证明数列2 n b 为等比数列； （2）求数列 n a的通项公式. 【答案】 （
28、1）证明见解析； （2） 1 22 n n an 【解析】 （1）由 1 22 nn bb ，得 1 2 2(2) nn bb 1 2 2 2 n n b b ，又 121 224baa 数列2 n b 是首项为 4，公比为 2 的等比数列. （2）由（1）知， 111 24 2222 nnn nn bb ，-， 由 1 1 22 n nnn aab ， 11 22(2) n nnn aabn ， 1 12 22(2) n nn aan ， ， 2 21 22aa， 23 22222(1) n n anL， 231 2 21 2222222222 21 nn n n annn L . 21 （
29、2020 合肥市第十一中学高一期中）已知等差数列 n a的前n项和 n S满足 35 6,15SS. （1）求 n a的通项公式； （2）设, 2 n n n a a b 求数列 n b的前n项和 n T. 【答案】 （） n an； （） 1 1 2 22 n nn n T 【解析】 （）设等差数列 n a的公差为d，首项为 1 a， 35 6,15SS 1 1 1 33 (3 1)6 2 1 55 (5 1)15 2 ad ad 即 1 1 2 23 ad ad ，解得 1 1 1 a d n a的通项公式为 1 (1)1 (1) 1 n aandnn （）由（）得 22 n n n an
30、 an b 231 1231 22222 n nn nn T 式两边同乘以 1 2 ，得 2341 11231 222222 n nn nn T -得 231 11111 222222 n nn n T 11 11 1 122 1 1 222 1 2 n n nn nn 1 1 2 22 n nn n T 22 （2011 安徽省高三一模（文） ）设奇函数对任意都有 求和的值； 数列满足：，数列是等差数列吗？请给予 证明； 【答案】解： （1） ， ； （2）是等差数列. 【解析】 （1），且 f（x）是奇函数 ，故 因为，所以 令，得，即 （2）令 又 两式相加 所以， 故， 又故数列an是等差数列
