1、【 ;百万教育资源文库 】 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（ 大纲卷 ） 文科数学 （必修 +选修 ） 答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】由正方形是特殊的菱形、特殊的矩形、特殊的平行四边形，矩形是特殊的平行四边形，可知集合 C是最小的，集合 A 是最大的，故选答案 B。 【提示】 利用 集合的概念，运用集合的包含关系 进行求解 。 【考点】交集及其运算 。 2.【答案】 A 【解析】因为 1x? 所以 10yx? ? ? 。由 1yx?得， 21xy? ，所以 2 1xy?，所以反函数为2 1( 0)y x x? ? ? ，选 A。 【提示】利用原函数反解 x
2、，再互换 xy， 得到结论，同时也考查了函数值域的求法。 【考点】反函数、 函数值域的求法 。 3.【答案】 C 【解析】函数 ( ) s in s in3 3 3xxfx ? ? ? ?，因为函数 ( ) sin 33xfx ?为偶函数，所以 32k? ，所以 3 3 ,2 kk? ? ? ? Z，又 0,2? ，所以当 0k? 时， 32? ，选 C。 【提示】 由 ? ?sin y A x ?的部分图像确定其解析式 【考点】 偶函数的概念 、 三角函数图像性质 和 正弦函数的奇偶性 。 4.【答案】 A 【解析】 因为 ? 为第二象限，所以 cos 0? ，即 2 4c o s 1 s
3、in 5? ? ? ? ?， 所以 3 4 2 4s i n 2 2 s i n c o s 2 5 5 2 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，选 A。 【提示】运用同角三角函数关系式以及正弦二倍角公式。 【考点】二倍角的正弦、同角三角函数间的基本关系 。 5.【答案】 C 【解析】椭圆的焦距为 4，所以 2 4 2cc?， 因为准线为 4x? ，所以椭圆的焦点在 x 轴上，且 2 4ac? ? ，【 ;百万教育资源文库 】 所以 2 48ac?， 2 2 2 8 4 4b a c? ? ? ? ?，所以椭圆的方程为 22184xy?，选 C。 【提示】通过准线方程确定焦点位置，然后借
4、助于焦距和准线求解参数 a b c， ， ，从而得到椭圆的方程。 【考点】椭圆的简单性质，椭圆的标准方程 。 6.【答案】 B 【解析】因为 11n n na S S?，所以由 12nnSa? 得， 12( )n n nS S S?，整理得 132nnSS? ，所以 1 32nnSS? ? ，所以数列 nS 是以 111Sa?为首项，公比 32q? 的等比数列，所以 132nnS?，选 B。 【提示】 利用 数列 的 前 n项 和 定义和 递推公式求通项公式 进行求解 。 【考点】 数列 的 前 n项 和 定义、 等比 数列的通项公式 。 7.【答案】 C 【解析】先排甲，有 4 种方法，剩余
5、 5 人全排列有 55 120A? 种，所以不同的演讲次序有 4 120 480?种，选C。 【提示】利用特殊元素优先安排的原则分步完成得到结论。 【考点】排列、组合及简单计数问题 。 8.【答案】 D 【解析】连结 AC BD， 交于点 O ，连结 OE ，因为 OE， 是中点，所以 1OE AC ，且112OE AC?，所以 1AC平面 BDE ，即直线 1AC 与平面 BED 的距离等于点 C 到平面 BED 的距离，过 C 做 CF OE? 于 F ，则 CF即为所求距离。因为底面边长为 2，高为 22，所以 22AC? ， 22OC CE?， ， 2OE? ，所以利用等积法得 1CF
6、? ，选 D。 【提示】 利用和 等积法求 出 点到面的距离 即可。 【考点】 正四棱柱的性质 9.【答案】 D 【解析】如图，在直角三角形中， 1 2 5C B C A A B? ? ?， ，则 25CD? ， 【 ;百万教育资源文库 】 所以 22 4445 5A D C A C D? ? ? ? ?，所以 45ADAB? ，即 4 4 4 4()5 5 5 5A D A B a b a b? ? ? ? ?，选 D。 【提示】 用 向量的加减法结合特殊直角三角形求解点 D 的位置。 【考点】 向量的加减法几何意义 。 10.【答案】 C 【解析】双曲线的方程为 22122xy?，所以 2
7、2a b c? ? ?， ，因为 122PF PF? ，所以点 P 在双曲线的右支上，则有 12 2 2 2PF PF a? ? ?，所以解得 212 2 4 2PF PF?， ，所以根据余弦定理得2212 ( 2 2 ) ( 4 2 ) 1 4 3c o s 42 2 2 4 2F P F ? ? ?，选 C。 【提示 】 首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。 【考点】 双曲线的定义的运用和性质 、 余弦定理 11.【答案】 D 【解析】 ln 1x?， 5211lo g 2 lo g 5 2y ? ? ?， 12 1eez ?， 1112 e?，所以 y z
8、 x? ，选 D。 【提示】用中间值 进行 大小 比较 。 【考点】 对数、指数 的 运算 。 12.【答案】 B 【解析】结合已知中的点 EF， 的位置，进行作图 ， 推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到 EA点时，需要碰撞 6 次即可。 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图像分析反射的次数即可。 【考点】 三角形相似知识的运用 第 卷 二、填空题 13.【答案】 7 【解析】二项展开式的通项为 8 8 21 8 81122kkk k k kkT C x C xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
9、? ? ?，令 8 2 2k?，解得 3k? ，所以33 2 248 1 72T C x x? ? ?，所以 2x 的系数为 7. 【提示】利用二项式系数相等，确定了 n的值，然后进一步借助通项公式，得到项的系数。 【考点】二项式定理 。 14.【答案】 1? 【解析】做出不等式所表示的区域如图，由 3z x y?得 3y x z?，平移直线 3yx? ，由图像可知当直线经过点 (0,1)C 时，直线 3y x z?的截距最大，此时 z 最小，最小值为 31z x y? ? ? 。 【提示】 先 正确作图，表示出区域，然后借助于直线平移法得到最值。 【考点】简单线性规划 。 15.【答案】 5
10、6 【解析】函数为 s in 3 c o s 2 s in 3y x x x? ? ? ?，当 02x? 时， 53 3 3x? ? ? ? ，由三角函数图像可知，当 32x?，即 56x? 时取得最大值，所以 56x? 。 【提示】首先化为单一三角函数，然后利用定义域求解角的范围，从而结合三角函数图像得到最值点。 【考点】三角函数的最值，两角和与差的正弦函数 。 16.【答案】 35 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 如图连接 1DF DF， ，则 DF AE ，所以 DF 与 1DF所成的角即为异面直线 所成的角，设边长为 2， 则1 5DF DF?，在三角形 1DDF 中1 5 5
11、4 3c o s 52 5 5D F D ? ? ?。 【提示】 用等 角定理找出异面直线所成角 或者 补角进行求解。 【考点】等 角定理 、 异面直线 所成的角的 概念 。 三、解答题 17.【答案】 由 A B C， ， 成等差数列及 180A B C? ? ? ?得 60B?， 120AC? ? ? 由 223b ac? 及正弦定理得 22 sin 3 sin cosB A C? 故 1sin sin 2AC? ， 1c o s ( ) = c o s c o s s i n s i n = c o s c o s 2A C A C A C A C? ? ? 即 11cos cos 22
12、AC? ? ?， cos cos =0AC cos =0A 或 cos =0C 所以 90A?或 30A? 【提示】先利用等差数列得到角 B ，然后利用正弦定理与三角求解运算得到答案。 【考点】数列与三角函数的综合 。 18.【答案】 （ 1） 解 ： 由224=3Sa得 1 2 23( ) 4a a a?，解得 2133aa?； 由335=3Sa得 1 2 3 33( ) 5a a a a? ? ?，解得3 1 23 ( ) 62a a a? ? ?（ 2） 解 ： 由题设知 1 1a? 当 1n? 时有 112133n n n n nnna S S a a? ? ? ?整理得111nnna
13、an ? ?于是 1 1a? ， 2131aa?【 ;百万教育资源文库 】 3242aa? 122nnnaan? ?111nnnaan ? ?将以上 n个等式两端分别相乘，整理得 ( 1)2n nna ?综上， ?na 的通项公式为 ( 1)2n nna ?【提示】 利用 数列的前 n项 和定义求出 2a ， 3a ， 再 用 递推公式 求 数列的通项公式。 【考点】数列递推式 。 19.【答案】 （ 1） 证 法一：因为底面 ABCD 为菱形，所以 BD AC ，又 PA 底面 ABCD ，所以 PC BD? 设 =AC BD F ，连接 EF 。因为 =2 2AC ， 2PA? ， 2PE
14、 EC? ， 故 232 3 = 23P C E C F C?， ， ，从而 66PC ACFC EC?， 因为 P C A C F C E P C AF C E C? ? ? ?， ，所以 FCE PCA ， 90FEC PAC? ? ? ?= 由此知 PC EF PC 与平面 BED 内两条相交直线 BD ， EF 都垂直，所以 PC 平面 BED 证法 二： 以 A 为坐标原点，射线 AC 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz? 设 (2 2 00)C , ， ( 2 0)Db, ， ( 2 0)Bb,- , (0,0, 2)P ， (0,0, 2)E ， ( 2
15、, ,0)Bb? 于是 2 2 2 2( 2 2 , 0 , 2 ) , , = ,3 3 3 3P A B E b D E b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ,从而 0PCBE? ， 0PC DE? ，故 PC BE PC DE ， 又 BE DE E? ，所以 PC 平面 BDE （ 2） 解法一： 在平面 PAB内过点 A 作 AG PB G ， 为垂足 因为二面角 A PB C?为 90? ，所以平面 PAB 平面 PBC 又平面 PAB P 平面 =PBCPB ，故 AG 平面 PBC ， AG BC BC 与平面 PAB内两条相交直线 PA A
16、G， 都垂直，故 BC 平面 PAB， 于是 BC AB ，所以底面 ABCD 为正方形， 222 = = 2 2A D P D P A A D?， 【 ;百万教育资源文库 】 设 D 到平面 PBC 的距离为 d 因为 AD BC ，且 AD? 平面 PBC ， BC? 平面 PBC ，故 AD 平面 PBC ， AD， 两点到平面 PBC 的距离相等，即 =2d AG? 设 PD 与平面 PBC 所成角为 ? ，则 1sin = = 2dPD? 所以 PD 与平面 PBC 所成角为 30? 解法二： (0 0,2)AP? ， ， ( 2 ,0)AB b?， 设 ( , , )m x y z
17、? 为平面 PAB 的法向量，则 0 =0m AP m AB? ， 即 2=0z 且 20x by? 令 xb? ，则 ( , 2,0)mb? 设 ( , , )n pqr? 为平面 PBC 的法向量，则 00n PC n BE?， ， 即 2 2 2 =0pr? ， 且 22033p bp r? ? ?， 令 1p? 则 2r? ， 2qb?， 21, , 2nb?因为 平 面 PAB 平 面 PBC ，故 0mn? ，即 2 0n b?，故 2b? ， 【 ;百万教育资源文库 】 于是 (1, 1, 2)n? ， =( 2 , 2 , 2)DP ? ， 1c o s , 2n D Pn D Pn D P? ? ?, 60n DP? ? ? ，因为平面 PD 与平面 PBC 所成角和 ,nDP?互余， 故 PD 与平面 PBC 所成角为 30? 【提示】从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解。 【考点】直线与平面垂直的判定，向量语言表述线面的垂直、平行关系 。 20.【答
