1、第五讲 递推与归纳 有时， 我们会遇上一些具有规律性的数学问题， 这就需要我们在解题时根据已知条件尽快地 去发现规律，并利用这一规律去解决问题。 例如：按规律填数：1，4，9，16，25， （） ，49，64； 分析：要在括号填上适当的数，就要正确判断出题目所呈现出的规律。若你仔细地观察这一 数列，就会发现这些数之间的规律： 先考虑相邻两个数之间的差，依次是 3，5，7，9，15；可以看到相邻两数的差从 3 开始呈现递增 2 的规律，所以括号里的数应是 25+11=36，再看 36+13=49 得到验证。 如果我们换一个角度去考虑，那么我们还可以发现，这数列的第一项是 1 的平方，第二项 是
2、2 的平方，第三项是 3 的平方，从这些事实中，发现规律是第 n 项是 n 的平方。 那么所求的是第六项是 62=36。 我们把相邻数之间的关系称为递归关系，有了递归关系可以利用前面的数求出后面的未知我们把相邻数之间的关系称为递归关系，有了递归关系可以利用前面的数求出后面的未知 数。像这种解题方法称为递推法。数。像这种解题方法称为递推法。 1. 理解递推法的概念。 2. 会用递推法解题 例例 1 1：999999999999 的乘积中有多少个数字是奇数？ 分析：分析：我们可以从最简单的 99 的乘积中有几个奇数着手寻找规律。 99=81，有 1 个奇数；9999=99（100-1）=9900-
3、99=9801，有 2 个奇数； 999999=999（1000-1）=999000-999=998001，有 3 个奇数； 从而可知，999999999999 的乘积中共有 10 个数字是奇数。 例例 2 2：如图所示：线段 AB 上共有 10 个点（包括两个端点）那么这条线段上一共有多少条不 同的线段？ 分析分析： 先从 AB 之间只有一个点开始， 在逐步增加 AB 之间的点数， 找出点和线段之间的规律。 我们可以采用列表的方法清楚的表示出点和线段数之间的规律。 AB 之间只有 1 个点：线段有 1+2=3 条。AB 之间只有 2 个点：线段有 1+2+3=6 条。 AB 之间只有 3 个
4、点：线段有 1+2+3+4=10 条。 AB 之间只有 4 个点：线段有 1+2+3+4+5=15 条。 不难发现，当 AB 之间有 8 个点时，线段有 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 条。 若再进一步研究可得出这样得规律，线段数=点数（点数-1）2。 例例 3 3：计算 1 3+23+33+43+53+63+73+83+93+103得值。 分析分析： 这是一道特殊的计算题， 当然我们可以采用分别求出每个数的立方是多少再求和计算 出这题的结果。 这样的计算工作量比较大， 是否可以采用其它较简便的方法计算呢？下 面我们就来研究这个问题。 1 3+23=（1+2）2； 13+23+33=
5、（1+2+3）2； 13+23+33+43=（1+2+3+4）2 ； 这样我们可以容易地得到 1 3+23+33+43+53+63+73+83+93+103 =（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）2 = 55 2= 3025 通过这个例题我们可以得到 1 3+23+33+n3=（1+2+3+n）2 例例 4 4：2000 个学生排成一行，依次从左到右编上 12000 号，然后从右到左按一、二报数， 报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的人离开队伍，按这个规律如 此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：最后留下的这个人原来的号码是多少？ 分析分析“我们通过前几次留在队伍中的学生的
6、编号找出规律。 第一次留下的学生编号是：2，4，6，8，10，； 都是 2 的倍数。即 2 1的倍数； 第二次留下的学生编号是：4，8，12，16，20，； 都是 4 的倍数，即 2 2的倍数； 第一次留下的学生编号是： 8， 16， 24， 32， 40， ； 都是 8 的倍数。 即 2 3的倍数； 由于 2 10=10242000211=2048；这样可知，最后留下学生的号码一定是 1024。 例例 5 5：圆周上两个点将圆周分为两半，在这两点上写上数 1；然后将两段半圆弧对分，在两 个分点上写上相邻两点上的数之和； 再把 4 段圆弧等分， 在分点上写上相邻两点上的数 之和，如此继续下去，
7、问第 6 步后，圆周上所有点上的之和是多少？ 分析分析：先可以采用作图尝试寻找规律。 10 个 9 10 个 9 10 个 9 10 个 9 A a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 B 第一步， 圆周上有两个点， 第二步有四个点， 第三步有八个点， 第四步有十六个点， ， 第六步有 32 个点。 因为问题是求圆周上所有数的和， 所以我们不必去考虑每一步具体增加了哪些数， 只须 知道每一步增加数的总和是多少。 第一步：圆周上有两个点，两个数的和是 1+1=2； 第二步：圆周上有四个点，四个数的和是 1+1+2+2=6；增加数之和恰好是第一步圆周上 所有数之和的 2 倍。 第三步：圆周
8、上有八个点，八个数的和是 1+1+2+2+3+3+3+3=18，增加数之和恰好是第 二步数圆周上所有数之和的 2 倍。 第四步：圆周上有十六个点，十六个数的和是 1+1+2+2+3+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5+5=54，增加 数之和恰好是第三步数圆周上所有数之和的 2 倍。 这样我们可以知道，圆周上所有数之和是前一步圆周上所有数之和的 3 倍。用递推法关 系表示。 设 an为第 n 步后得出的圆周上所有数之和，则 an=3an1利用此式可以得到： an=3an1=33an2=333an3=333a1 因为 a1=2，所以： an=333a1=3 （6-1）2=486。 例例 6 6
9、： 4 个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发 球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方式？ 分析分析：设第 n 次传球后，球又回到甲手中的传球方式有 an种。可以想象前 n-1 次传球，如 果每一次传球都任选其他三人中的一人进行传球， 即每次传球都有 3 种可能， 由乘法原 理，共有 333=3（种）传球方法。 这些传球方式并不是符合要求的， 它们可以分为两类， 一类是第 n-1 次恰好传到甲手中， 这有 an-1传法，它们不符合要求，因为这样第 n 次无法再把球传给甲；另一类是第 n-1 次传球，球不在甲手中，第 n 次持球人再
10、将球传给甲，有 an传法。根据加法原理，有 an-1+an=333=3 n-1。 由于甲是发球者，一次传球后球又回到甲手中的传球方式是不存在的，所以 a1=0。 利用递推关系可以得到 a2=3-0=3，a3=33-3=6，a4=333-6=21，a4=333 3-21=60。 这说明经过 5 次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有 60 种。 当然这题也可以利用列表法求解。 我们可以这样想，第 n 次传球后，球不在甲手中的传球方法，第 n+1 次传球后球就可能 回到甲手中，所以只需求出第四次传球后，球不在甲手中的传法共有多少种。 从图中可以看出经过四次传球后，球仍回到甲手中的传球方法共有 60
11、种。 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3 3 3 （n1）个 3 （n1）个 3 （n1）个 3 （n1）个 3 A A 1.100 条直线最多能把一个平面分成_个部分。 答案：答案：5051 2.熊大叔是一个卖烧饼的师傅,他用一个平底锅煎饼,他是这样煎饼的:每次只能放两个饼, 每个饼正反面都要煎,煎每一面都要 1 分钟,问他煎 10 个这样的饼需要_分钟。 答案：答案：10 3.上一段 11 阶楼梯,规定每一步只能上一级或两级,那么要登上第 11 级台阶有_种不同 的走法。 答案：答案：144 4.请先计算 1111,111111,11111111,你能根据以上结果,不经过计算而
12、直接写出 1111111111111111=_。 答案：答案：123456787654321 5.我们知道三角形的内角和是 180 度,长方形的内角和是 360 度,那么正十边形的内角和是 _度。度。 答案：答案：1440 B B 6.有一列数,第一个数是 0.第二个数是 100,从第三个数开始,每个数都是前两个数的平均数, 问第 2005 个数的整数部分是_。 答案：答案：66 7.小华过生日,邀请了班上的 16 名同学参加他的生日聚会,小华买了一个单层的大蛋糕,要 保证每个人都能吃到蛋糕,问至少要切_刀。 答案：答案：5 8.一对刚出生的雌雄小兔,在喂养两个月后就生下一对雌雄小兔,并且以后
13、每个月都能生一 对雌雄小兔,张大伯现在喂养一对雌雄小兔,一年后一共有_对小兔。 答案：答案：144 9.两个自然数的差是 5，它们的最小公倍数与最大公约数的差是 203，则这两个数的和是 _。答案：答案：29 10.两个自然数它们的最小公倍数是 60。那么它们的差有_种可能。 答案：答案：23 C C 11.一只猎狗正在追赶前方 20 米处的兔子，已知狗一跳前进 3 米，兔子一跳前进 2.1 米，狗 跳 3 次的时间兔子跳 4 次。兔子跑出_米远将被猎狗追上。 答案：答案：280 12.甲、乙二人分别从 A，B 两地同时出发，两人同向而行，甲 26 分钟赶上乙；两人相向而 行，6 分钟可相遇。
14、已知乙每分钟行 50 米，求 A，B 两地的距离是_米。 答案：答案：780 13.小轿车、面包车和大客车的速度分别为 60 千米/时、48 千米/时和 42 千米/时，小轿车 和大客车从甲地、 面包车从乙地同时相向出发， 面包车遇到小轿车后 30 分钟又遇到大客车。 问：甲、乙两地相距_千米远。 答案：答案：270 14.A、B 两辆汽车同时从甲、乙两站相对开出，两车第一次在距甲站 32 千米处相遇，相遇 后两车继续行驶，各自到达乙、甲两站后，立即沿原路返回，第二次在距甲站 64 千米处相 遇，甲、乙两站间相距_千米。 答案：答案：80 15.AB 两地相距 98 千米，甲从 A 地出发汽车
15、速度为 30 千米/时，乙从 B 地出发开车速度为 40 千米/时，问甲乙第三次迎面相遇距离 A 地_米远。 答答案：案：14 1.平面上有 10 条直线，这 10 条直线最多有多少个交点？ 答案：答案：4545 2.小明有 5 块水果糖，妈妈规定：每天只能吃一块或两块，小明吃完这 5 块糖有多少种不同 方法？ 答案：答案：8 8 3.小蜜蜂通过蜂巢房间，规定：只能从小号房间进入大号房间，问小蜜蜂由 1 号房间走到 8 号房间有多少种方法？（2007 年东直门中学试题） 答案：答案：2121 4.（21012）3=（ ）10 答案：答案：194194 5.11（a 2b2）= ba0 求 ba
16、0=（ ） 答案：答案：803803 6.求 123450 末尾有多少个连续的零？ 答案：答案：1212 1.下列数是按一定规律排列的。 3、8、15、24、35、48、63、，那么，它的第 36 个数是（ ） 。 答案：答案：这列数规律是第 n 个数是（n+1） 21。所以第 36 个数是（36+1）21=1368。 2.图中最上面的空格中应填（ ） 。 1 3 5 7 2 4 6 8 答案：答案：6161 3.3333333333 的乘积中有几个数字是奇数？ 答案：答案：1010 个个 4.把一张长 16 厘米、宽 8 厘米的长方形纸对折后裁成两半，再把其中的一张对折并裁成两 半，继续这样
17、裁下去，直到得到两个边长为 1 厘米的正方形纸片为止。一共需要裁 （ ）次。 答案：答案：每次裁一次面积减少一半，168=2 7，所以需要裁 7 次。 5.如图，从 A 点到 B 点，最短路线共有多少条？ 答案：答案：如图，共有 10 条最短路线。 6.将一根绳子连续对折 3 次，然后每隔一定长度剪一刀，共剪了 6 刀。这样原来的绳子被剪 成（ ）段。 答案：答案：考虑绳子被对折后形成的弯。 绳子对折 3 次，绳子共折成 8 段，其中弯有 7 个弯。 绳子被剪 6 刀，即每段绳子被剪成 7 段，这样绳子共被剪成 56 段，由于有 7 个弯，把两 段绳子连在一起，所以原来的绳子被剪成 567=4
18、9 段。 7.在一张四边形纸上共有 10 个点，如果把四边形的顶点算在一起，则一共有 14 个点。已知 这些点中的任意三个点都不在同一直线上。按照下面规定把这张纸片剪成一些三角形： 每个三角形的顶点都是这 14 个点中的 3 个； 每个三角形内都不再有这些点。 那么，这张四边形的纸最多可以剪出（ ）个三角形。 答案：答案：在 10 个点中任意取一点，与四边形的四个顶点构成 4 个三角形。再在剩下的 9 个点 中任意取一点，它必定落在某一个三角形中，只能与三角形的三个顶点构成三个三角形，即 10 个 3 增加 2 个三角形。以后各点情况都与此相同。除了第一点增加 4 个三角形外，其余各点都只 增
19、加 2 个三角形。所以共可以剪出 4+（101）2=22（个）三角形。 8.某公共汽车线路上共有 15 个车站（包括起点站和终点站） 。在每个站上车的人中，恰好在 以后各站下去一个。要使行驶过程中每位乘客都有座位，车上至少要备有多少个座位？ 答案：答案： 从表中可以看出车上人数最多是 56 人，所以车上至少要准备 56 个座位。 9.在平面内画五条直线和一个圆，最多能把平面分成多少部分？ 答案：答案：在平面内画五条直线和一个圆，最多能把平面分成 10+16=26 部分。 10.一个三位数， 如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字， 就称它 “吃 掉”后一个三位数，例如 543 吃掉 432。543 吃掉 543。但是 543 不能吃掉 534。那么能吃掉 587 的三位数共有多少个？ 答案：答案：有 5、6、7、8、9 五种选择，十位上有 8、9 两种选择，个位上有 7，8，9 三种选择， 所以共有 523=30（个）三位数。
