1、第十八讲 因数与倍数 因数与倍数因数与倍数 1.1.公因数与最大公因数公因数与最大公因数 2.2.公倍数与最小公倍数公倍数与最小公倍数 3.3.互质的概念互质的概念 4.4.辗转相除法求最大公因数辗转相除法求最大公因数 5.5.最大公因数与最小公倍数性质最大公因数与最小公倍数性质 1.会求几个数的最大公因数与最小公倍数。 2.能用最大公因数与最小公倍数的性质解题。 例例1 1：用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？ 例例2 2：一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？ 例例3 3：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的 小段
2、，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？ 例例4 4： 加工某种机器零件， 要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件， 第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使 加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？ 例例5 5：一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶 A 饮料，每3人饮用一瓶 B 饮料，每4人饮用一瓶 C 饮料.问参加会餐的人数是多少人？ 例例6 6：一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米.要把它截成若干个同样大小的正方形， 纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问：这样的
3、正方形的边长是多少厘米？ 例例7 7：用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。 例例8 8：求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？ 例例9 9： 两个数的最大公约数是4， 最小公倍数是252， 其中一个数是28， 另一个数是多少？ 例例1010：求21672和11352的最小公倍数。 A A 1.两个自然数的最大公约数是 6，最小公倍数是 72。已知其中一个自然数是 18，求另一个 自然数。 2.两个自然数的最大公约数是 7，最小公倍数是 210。这两个自然数的和是 77，求这两个自 然数。 3.已知 a 与 b， a 与 c 的最大公约数分别是 12 和 15
4、， a， b， c 的最小公倍数是 120， 求 a， b， c。 4.已知两个自然数的和是 50，它们的最大公约数是 5，求这两个自然数。 5.已知两个自然数的积为 240，最小公倍数为 60，求这两个数。 B 6.用自然数 a 去除 498，450，414，得到相同的余数，a 最大是多少？ 7.现有三个自然数，它们的和是 1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？ 8.狐狸和袋鼠进行跳远比赛， 狐狸每次跳 4.5 米， 袋鼠每次跳 2.75 米， 它们每秒都只跳一次。 比赛途中，从起点开始，每隔 12.375 米设一个陷阱，当它们之中一个先掉进陷阱时，另一 个跳了多少米? 9
5、.用长 9 厘米、宽 6 厘米、高 4 厘米的长方体搭一个正方体，至少需要多少块这样的长方体 木块？ 10.加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成 8 个零件，第二 道工序每个工人每小时可完成 12 个， 第三道工序每个工人每小时可完成 16 个， 要使加工生 产均衡，三道工序至少各分配几个工人？ C C 11.一个两位数去除 251，得到的余数是 41.求这个两位数。 12.用一个自然数去除另一个整数， 商 40， 余数是 16.被除数、 除数、 商数与余数的和是 933， 求被除数和除数各是多少？ 13.某年的十月里有 5 个星期六，4 个星期日，问这年的 10
6、月 1 日是星期几？ 14. 3 月 18 日是星期日，从 3 月 17 日作为第一天开始往回数（即 3 月 16 日（第二天） ，15 日（第三天） ，）的第 1993 天是星期几？ 15.一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求适合此条件的最小数。 16.一个数除以 5 余 3，除以 6 余 4，除以 7 余 1，求适合条件的最小的自然数。 分析 “除以 5 余 3”即“加 2 后被 5 整除” ，同样“除以 6 余 4”即“加 2 后被 6 整除” 。 17.一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，求符合条件的最小自然数。 18.一个布袋中装有小
7、球若干个.如果每次取 3 个，最后剩 1 个；如果每次取 5 个或 7 个，最 后都剩 2 个.布袋中至少有小球多少个？ 19. 69、90 和 125 被某个正整数 N 除时，余数相同，试求 N 的最大值。 1.甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54，甲数是多少？乙数是多少？ 2.一块长方形地面， 长120米， 宽60米， 要在它的四周和四角种树， 每两棵之间的距离相等， 最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？ 3.已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31.求这两个自然数。 4.兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次.兄弟
8、三人 同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？ 5.将长25分米，宽20分米，高15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不能 有剩余，每个立方体的体积是多少？一共可锯多少块？ 6.一箱地雷， 每个地雷的重量相同， 且都是超过1的整千克数， 去掉箱子后地雷净重201千克， 拿出若干个地雷后，净重183千克.求一个地雷的重量？ 1. 将一个两位数的十位数字减去或加上它的个位数字，所得到的两个数都是 78 的大于 1 的约数。求这个两位数。 2. 有一个自然数，它的最小的两个约数之和是 4，最大的两个约数之和是 100，求这个自然 数。 3. 有一个自然数，它的最大的两个约数之和是
9、 123，求这个自然数。 4. 求只有 8 个约数但不大于 30 的所有自然数。 5. 100 以内约数个数最大的自然数有五个，它们分别是几？ 6. 一个学生做两个两位数乘法时，把其中的一个乘数的个位数字 9 误看成 7，得出的乘积 是 756，问：正确的乘积是多少？ 7. 一个数如果等于除它本身以外的所有约数之和， 则称此数为完全数。 已知 30 以内有两个 完全数，请将它们找出来。 8. a、b 两数的最大公约数是 12，已知 a 有 8 个约数，b 有 9 个约数，求 a 和 b。 9. 现有三个自然数，它们的和是 1111，这样的三个自然数的公约数最大可以得多少? 10. A，B 是两个奇数，它们的最大公约数是 3，求（A+B）和（A-B）的最大公约数。 11. 甲、乙两数的最大公约数是 37，两数的和是 444，这样的自然数有哪几组？ 12. 试用 2，3，4，5，6，7 六个数码组成两个三位数，使这两个三位数与 540 的最大公约 数尽可能大。
