1、武昌区武昌区 2021 届高三年级届高三年级 1 月质量检测月质量检测 数数 学学 注意事项：注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。是符合题目要求的。
2、1.已知集合 A=x|x2-3x-40,B=x|2x8,那么集合 AB= A.(3,+ ) B.-1,+ ) C.3,4 D.(3,4 2.已知 i是虚数单位，复数 2 1 i z i ,则复数 z在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知 tana=2,则1 cos2 sin2 A.2 B. 1 2 C.-2 D.- 1 2 4.甲、乙、丙、丁四位同学组成的数学学习小组进行了一次小组竞赛，共测试了 5 道题，每位 同学各题得分情况如下表： 下列说法正确的是 A.甲的平均得分比丙的平均得分高 B.乙的得分极差比丁的得分极差大 C.对于这 4位同学，
3、因为第 4题的平均得分比第 2题的平均得分高，所以第 4 题相关知识一定 比第 2 题相关知识掌握好 D.对于这 4位同学，第 3题得分的方差比第 5 题得分的方差小 5.物理学规定音量大小的单位是分贝（dB),对于一个强度为 1 的声波，其音量的大小 7 可由如 下公式计算： 0 10lg I I （其中 I.是人耳能听到声音的最低声波强度）。我们人类生活在一 个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于 40dB与 60dB 之间，飞机起飞时的音量约为 120dB,则 120dB声音的声波强度 I1是 40dB声音的声波强 度 I2的 A.3 倍 B.103倍
4、C.106倍 D.10倍 6.已知 4 3 2a , 2 5 4b 1 3 25c ,则 A.bca B.cab C.abc D.ba0,b0,且 a+b=1,则 A. 14 9 ab B.a2+b2 21 39 b C. 2 22 2 ab D.log2a+log2b -2 11.已知曲线 C 的方程为 22 1() 91 xy kR kk ,则 A.当 k=5时，曲线 C是半径为 2 的圆 B.当 k=0 时，曲线 C为双曲线，其渐近线方程为 y= 1 3 x C.存在实数 k,使得曲线 C是离心率为 2的双曲线 D.“k1”是“曲线 C为焦点在 x轴上的椭圆”的必要不充分条件 12.如图
5、所示，在凸四边形 ABCD中，对边 BC,AD 的延长线交于点 E,对边 AB,DC 的延长 线交于点 F,若,3( ,0)BCCE EDDA ABBF ,则 A. 31 44 EBEFEA B.= 1 4 C. 11 的最大值为 1 D. 4 9 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.二项式 6 1 (2)x x 的展开式中，常数项为 。（用数字作答） 14.已知过抛物线 y2=-2x 的焦点 F,且斜率为 3的直线与抛物线交于 A,B 两点，则 | | | AFBF AB = . 15.九章算术是古代中国的第一部自成体系的数
6、学专著，与古希腊欧几里得的几何原 本并称现代数学的两大源泉。九章算术卷五记载：“今有刍甍（音：),下广三 丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈。问积几何？”译文：今 有如图所示的屋脊状楔体 PQ-ABCD,下底面 ABCD 是矩形，假 设屋脊没有歪斜，即 PQ中点 R在底面 ABCD 上的投影为矩形 ABCD的中心点 O,PQ/AB,AB=4,AD=3,PQ=2,OR=1(长度单位： 丈）.则楔体 PQ-ABCD 的体积为 （体积单位：立方丈） 16.设函数 f(x)= x e x t(x+2lnx+ 3 x )恰有两个极值点，则实数 t的取值范围为 . 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6
7、 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10分） 在2a-b=2ccosB,S= 3 4 (a2+b2-c2), 3sin(A+B)=1+2 2 sin 2 C 这三个条件中任选一个，补充 在下面的横线处，然后解答问题。 在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,设 ABC的面积为 S,已知 . （1)求角 C 的值； （2)若 b=4,点 D在边 AB上，CD为 LACB 的平分线，CDB的面积为 2 3 3 ,求 a的值。 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 18.(12分）
8、已知an是等差列，a1=2,a3=6. （1)求an的通项公式； （2)设|( 2)100| n a n b ,求数列bn的前 10 项和 T10. 19.(12分） 在四棱锥 P-ABCD中，侧面 PAD底面 ABCD,底面 ABCD 为直角梯形，BC/AD, ADC=90 ,BC=CD= 1 2 AD=1,PA=PD,E,F分别为 AD,PC的中点 （1)求证：PA/平面 BEF; （2)若 PC与 AB所成角为 45 ,求二面角 F-BE-A 的余弦值 20.(12分） 设 P 是椭圆 C: 22 22 1(0) xy ab ab 1(ab0)上异于长轴顶点 A1, A2的任意一点，过
9、P 作 C的切线与分别过 A1,A2的切线交于 B1,B2两点，已知|A1A2|=4,椭圆 C的离心率为 1 2 . （1)求椭圆 C的方程； （2)以 B1B2为直径的圆是否过 x 轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果 不过定点，说明理由。 21.(12分） 公元 1651 年，法国一位著名的统计学家德梅赫（De mere)向另一位著名的数学家帕斯卡 （B.Pascal)提请了一一个问题，帕斯卡和费马（Fermat)讨论了这个问题，后来惠更斯 （C.Huygens)也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解 答。该问题如下： 设两名赌徒约定谁先赢
10、k(k1,kN*)局，谁便赢得全部赌注 a元每局甲赢的概率为 p(0p1),乙赢的概率为 1-p,且每局赌博相互独立在甲赢了 m(mk)局，乙赢了 n(n2a-3. 武昌区 2021 届高三年级 1 月质量检测 数学参考答案及评分细则 一、选择题一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B D D D C B 二二、选择题、选择题： 题号 9 10 11 12 答案 CD ABCD ABD ABD 三、填空题三、填空题： 13. 60 14. 2 1 15. 5 16. ) 4 e () 4 e 3 1 (, 四、解答题四、解答题： 17（10 分） 解：（1）若选：a
11、bBc 22 cos，则由正弦定理得 ，即2sincossin0BCB， sin0B ， 1 cos 2 C ，则 3 C （4 分） 若选： 222 43Sbac ，则 1 4sin3 2cos 2 baCbaC， 化简得tan3C ， 3 C （4分） 若选： 2 3sin2sin1 2 C AB，则有 3sin1 cos1CC ， 化简得 2sin2 6 C ，所以 62 C ，故 3 C . （4 分） （2）在ABC中， BCDACDABC SSS ， 所以，60sin 2 1 30sin 2 1 30sin 2 1 CBCACDCACDCB aCDCDa3 4 1 . 又 3 32
12、 4 1 CDaS CDB . 由，2 3 2 4 2 a a a 或 3 4 （舍）. 2a. （10 分） 18（12 分） 解：（1）设等差数列 n a的公差为d，由条件得 1 31 2 26 a aad ，解得 1 2 2 a d . 故2 n an. （4 分） (2)由(1)可知 1002 ,16 |2100| 2100,710 n n n n n b n ，其中*nN 故 n b的前10项和）（）（）（）（）（10021002210021002100 107621 10 T ）（）（ 1087621 2222222001994 21 212 21 212 200 4761 ）（
13、）（ .（12 分） 19（12 分） 解：（1）证明：连接AC交BE亍O，幵连接EC，FO， 1 / /, 2 BCAD BCAD，E为AD中点，AE/BC，且AE=BC. 四边形ABCE为平行四边形，O为AC中点， 又F为AD中点，/OFPA， ,OFBEF PABEF平面平面， PA/平面BEF. （4 分） （2）方法一：（综合法） 由BCDE为正方形可得22ECBC . 由ABCE为平行四边形可得EC/AB. PCE为PCAB与所成角，即 45PCE . PAPDEADPEAD为中点 . 侧面PAD 底面 ,ABCD侧面PAD底面,ABCDAD PE平面PAD， PEABCD 平面，
14、PEEC， 2PEEC . （8 分） 取PD中点M，连 ,ME MA . PADABCD面面，ADBEPADABCDAD且面面， BE平面PAD，MEAFBEA为的平面角. 又 311 ,1, 22 EMAEAM， 3 3 cos MEA . 所以二面角F BEA的余弦值为 3 3 （8 分） 方法二：（空间向量法）建议给分标准： 建系正确，设（求）点的坐标正确，2 分；利用线面角求出线段长正确，2 分； 求法向量正确，2 分； 求余弦幵给出结论正确，2 分 20（12 分） 解：（1）由题可知 12 | 24 1 2 A Aa c e a ，解得2,1ac，由 222 abc得 2 3b
15、， 椭圆C的方程为 22 1 43 xy . （4 分） （2）设 00 (,)P x y，由亍P是异亍长轴顶点 12 ,A A的任意一点，故切线斜率存在. 设过P的椭圆的切线为ykxb，联立方程 22 1 43 ykxb xy ， 得 222 (34)84120kxkbxb， 222 (8)4(34)(412)0kbkb ， 结合 00 22 00 1 43 ykxb xy ，解得过P点的切线方程为 0 00 33 4 x x y yy . 由亍分别过 12 ,A A的切线分别为2,2xx ， 解得 12 ,B B的坐标为 00 12 00 6363 ( 2,),(2,) 22 xx BB
16、yy . 在x轴上取点）（ 0 , tM，则）（ 0 0 1 2 36 2 y x tMB ,，）（ 0 0 2 2 36 2 y x tMB ,， 所以1 4 936 4 2 2 0 2 0 2 21 t y x tMBMB. 当1t时，0 21 MBMB. 所以，以 12 B B为直径的圆过x轴上的定点为 12 ( 1,0),(1,0)FF. （12 分） 21（12 分） 解：（1）设赌博再继续进行X局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢. 由题意知，最多再进行 4 局，甲乙必然有人赢得全部赌注. 当2X时，甲以 41 赢，所以 9 4 3 2 2 2 ）（Xp； 当3X时，甲以 42 赢
17、，所以 27 8 3 2 3 2 1 3 2 3 1 2 ）（CXp； 当4X时，甲以 43 赢，所以 27 4 3 2 3 1 1 3 2 4 211 3 ）（）（CXp. 所以，甲赢的概率为 9 8 27 24 27 4 27 8 9 4 . 所以，甲应分得的赌注为 216 9 8 243 元. （6 分） （2）设赌博继续进行X局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢. 当3X时，乙以以 42 赢， 3 13pXp； 当4X时，乙以以 43 赢， 33 1 3 1313ppPpCXp； 所以，乙赢得全部赌注的概率为 3 33 131131）（ppppPAP)(. 亍是甲赢得全部赌注的概率 3
18、 1311）（）（pppf. 求导， 223 1121133113）（）（）（）（）（）（ppppppf. 因为1 4 3 p，所以0）（pf，所以( )f p在 3 ,1) 4 p上单调递增， 亍是 256 243 4 3 min ）（）（fpf. 故乙赢的概率为05005080 256 13 256 243 1.，故事件A丌是小概率事件. （12 分） 22（12 分） 解解：（1）axxxf-ln)(， 11 ( )1 x fx xx . 当(0,1)x时，( )0fx，( )fx单调递增；当(1,)x时，( )0fx，( )fx单调递 减. 当1x 时，( )fx有极大值，(1)1fa
19、. 当1a 时，01 )(f，( )f x在(0,)上单调递减，此时( )f x无极值； 当1a 时，(1)10fa . 1111 1111 ln10 aaaa faaa eeee ， 易证，1x 时，2 x ex，所以，1a ， 20 aa feae， 故存在 12 ,x x，满足 1 12 1 01 a a xxe e ， 12 ()()0fxfx. 当 1 0,xx时， f x单调递减，当 12 ,xx x时， f x单调递增， 当 2, xx时， f x单调递减. ( )f x在 1 xx处有极小值，在 2 xx处有极大值 综上所述，当1a 时，( )f x没有极值点；当1a 时，(
20、)f x有 2 个极值点（6 分） （2）由（1）可知当且仅当1a 时( )f x有极小值 1 x和极大值 2 x， 21 10 xx. 先证先证：2 21 xx. 由 11 22 ln0 ln0 xxa xxa ，得 1122 lnlnxxxx，即1 lnln 12 12 xx xx . 下证 2lnln 12 12 12 xx xx xx ，即证 1 ) 1(2 ln 1 2 1 2 1 2 x x x x x x （以下略） 所以 2121 21 1 lnln2 xxxx xx ，所以 12 2xx. 因为 12 01xx ， 12 2xx，所以 112 2xxx. 因为 12 ,xx
21、x时，)(xf单调递增，所以 21 2ff xx， 所以 1211 )(2()f xf xf xxf. 再证再证： 12 ()()23f xf xa. 设 2,1(0)gfxxf xx，因为( )lnfxxxa， 所以xxxxfxfxg2-2)-ln(2-ln)2()()(， 所以 2 2 111 20 22 x gx xxxx ，故 gx在0,1上单调递增. 又 10 g ，所以0,1x时， 0g x， ( )2g xf xxf在0,1上单调递减. 所以0,1x时， 12 (1)23g xgfa. 所以 12111 ( )( )232f xf xf xxafg x. （12 分） 另法另法：
22、 (1) 证明： 21 2f xfx. 当1a 时, ( )f x有 2 个极值点 12 ,x x，且满足 12 01xx . 因为 12 01xx ，所以 1 21x. 因为当 2 1,xx时， f x单调递增，当 2, xx时， f x单调递减， 所以 2 f x为1 ，内的最大值，即 21 2f xfx （2）证明 12 2xx，只需证 21 21xx. 因为( )lnfxxxa单调递减，只需证 21 2fxx f . 又因为 12 ()()0fxfx，只需证 11 2fxx f ，即证 11 20ffxx. 令 ( )2h xfxxf，(0,1)x. 因为 1 ( )1fx x ， 1111 ( )11 2 220 2 h xfxxx xxxx f ， 所以 ( )2h xfxxf在(0,1)上单调递增，( )(1)0h xh. 所以 111 0( )2h xfxxf，因此， 12 2xx.
