1、第 1 页(共 19 页) 2021 年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(理科) (年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(理科) (3 月份)月份) 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 (5 分)已知集合 |13Axx, 2 |560Bx xx,则(AB ) A(1,3) B(1,6) C( 1,3) D 2 (5 分)若2( 1 x yi x i ,yR,i为虚数单位) ,则| (xyi ) A5 B5 C2 5 D20 3 (5 分
2、)已知x,y满足约束条件 0 4 1 xy xy x ,则2zxy的最小值为( ) A2 B1 C0 D1 4 (5 分) 新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器, 它包括了龠(yu)、 合、 升、斗、斛这五个容量单位每一个量又有详细的分铭,记录了各器的径、深、底面积和容 积根据铭文不但可以直接测得各个容量单位的量值,而且可以通过对径、深各个部位的测 量,得到精确的计算容积,从而推算出当时的标准尺度现根据铭文计算,当时制造容器时 所用的圆周率分别为 3.1547,3.1992,3.1498,3.2031,比径一周三的古率已有所进步,则 这 4 个数据的平均数与极差分别为( ) A3.
3、1767,0.0615 B3.1767,0.0533 C3.1745,0.0484 D3.1547,0.0533 5 (5 分)已知O的圆心是坐标原点O,且被直线250 xy截得的弦长为 4,则O的 方程为( ) A 22 4xy B 22 9xy C 22 8xy D 22 6xy 6 (5 分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2acb,且 222 sinsinsinsinsinABCAB ,则cos(B ) A 13 14 B 1 2 C 11 14 D 1 2 7 (5 分)已知数列 n a的前n项和为 n S,若 1 2a , 11 3(1,*) nnn SSannN
4、 ,则 4 (S ) A80 B86 C240 D243 第 2 页(共 19 页) 8 (5 分)已知( 2 ,) 2 , 1 cos() 65 ,则sin(2)( 3 ) A 6 5 B 2 6 5 C 4 6 25 D 4 6 25 9(5 分) 已知直线 1 l过抛物线 2 :4C yx的焦点F, 且与抛物线C在第一象限的交点为A, 点B在抛物线C的准线 2 l上,且 2. ABl若点A到直线BF的距离是2 3,则直线 1 l的斜率 是( ) A3 B 3 3 C3 D 3 3 10 (5 分)已知函数( )sin()(0f xAxA,0,|) 2 的图象如图所示,且( )f x 的图
5、象关于点 0 (x,0)对称,则 0 |x的最小值为( ) A 2 3 B 6 C 3 D 5 6 11 (5 分)已知函数( )f x是定义在R上的偶函数,对于任意xR,都有(4)( )f xf x, 且当0 x,2时, 2 ( )3f xx,若方程( )log(0,1) a f xx aa在区间(0,10)上有 5 个不 同的实数根,则实数a的取值范围为( ) A(0, 1 8 8 ,10) B(0, 1 6 2 ,10) C(0, 1) (6 8 , 10 D(0, 1) (6 2 ,10 12 (5 分) 在直角梯形ABCD中,/ /ABCD,ABAD,2AB ,3AD , 3 CAB
6、 , 点F是线段AB上的一点,M为直线BC上的动点,若2BCCE,AFAB,且 17 4 AE DF ,则MF DM的最大值为( ) A 1 4 B 63 64 C11 D 23 64 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分) 5 1 (2)x x 的展开式中x与 1 x的系数之比为 14 (5 分)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的 第 3 页(共 19 页) 游速可以表示为函数 3 1 log 2100 O v ,单位是/m s,其中O表示鱼的耗氧量的单位数当一 条鱼的耗氧量是 270
7、0 个单位时,它的游速是 /m s 15 (5 分)已知圆锥的体积为 2 2 3 ,其底面半径和母线长的比为1:3,则该圆锥内半径最 大的球的表面积为 16 (5 分)已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F,M是双曲线一 条渐近线上位于第二象限的一点, 1 0(MF OMO为坐标原点) , 若线段 1 MF交双曲线于点P, 且 21 | 3PFPFa,则双曲线的离心率为 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须
8、作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题: 共共 60 分分 17 (12 分)已知公差0d 的等差数列 n a的前n项和为 n S,且 2 5a , 1 a, 4 a, 13 a成等 比数列 (1)求数列 n a的通项公式; (2)求证数列 1 n S 的前n项和 3 4 n T 18 (12 分)如图所示的几何体中,ABE,BCE,DCE都是等腰直角三角形, ABAEDEDC,且BEDC,CEAB (1)求证:BE 平面DCE; (2)若F为线段BC的中点,求二面角FADE的余弦值 19 (12
9、分)甲、乙、丙三人,为了研究某地区高中男生的体重y(单位:)kg与身高x(单 位:)cm是否存在较好的线性关系,他们随机调查了 6 位高中男生身高和体重的数据,得到 如下表格: 身高/cm 160 166 172 173 173 182 体重/kg 44 50 55 55 56 64 根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程对应的直线的斜率为 0.89 第 4 页(共 19 页) (1)求y关于x的线性回归方程 ybxa; (2)从该地区大量高中男生中随机抽出 10 位男生,他们身高单位:)cm的数据绘制成如图 的茎叶图估计体重超过60kg的频率p,视频率为概率,从该地区大量高中男生中随 机
10、选出 2 人,记这 2 人中体重超过60kg的人数为X,求X的分布列及其数学期望(用(1) 中的回归方程估测这 10 位男生的体重) 20 (12 分)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率为 6 3 ,且过点( 3,1) (1)求椭圆E的标准方程; (2)过椭圆E右焦点的直线 1 l, 2 l互相垂直,且分别交椭圆E于A,B和C,D四点,求 |ABCD的最小值 21 (12 分)设函数 2 ( )()(0)f xxa xalnx a (1)讨论( )f x的单调性; (2)当0a 时,若( )f x的最小值为 0,证明: 222 231 (1)(*) 12 n ln
11、nnN n (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的题中任选一题作答如果多做,则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在直角坐标系xOy中,直线 1 C的参数方程为 1 ( 5 xt t yt 为参数) 以坐标原点 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 2 C的极坐标方程为 2 3 2cos2 (1)求直线 1 C的普通方程和曲线 2 C的直角坐标方程; (2)求曲线 2 C上的动点到直线 1 C距离的最大值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲
12、(10 分)分) 23已知函数( ) |1| 2|1|f xxx ()求不等式( ) 5f x 的解集; ()若不等式( )f xxm的解集为R,求m的取值范围 第 5 页(共 19 页) 2021 年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(理科) (年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(理科) (3 月份)月份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 (5 分)已知集合 |13Axx, 2 |560Bx
13、xx,则(AB ) A(1,3) B(1,6) C( 1,3) D 【解答】解:集合 |13Axx, 2 |560 |1Bx xxx x或6x , AB 故选:D 2 (5 分)若2( 1 x yi x i ,yR,i为虚数单位) ,则| (xyi ) A5 B5 C2 5 D20 【解答】解:2( 1 x yi x i ,yR,i为虚数单位) , (1)(2)2(2)xiyiyy i , 2xy,20y, 解得2y ,4x 则 22 |242 5xyi, 故选:C 3 (5 分)已知x,y满足约束条件 0 4 1 xy xy x ,则2zxy的最小值为( ) A2 B1 C0 D1 【解答】
14、解:由约束条件作出可行域如图, 第 6 页(共 19 页) 联立 1 4 x xy ,解得(1,3)A, 由2zxy,得2yxz,由图可知,当直线2yxz过A时, 直线在y轴上的截距最大,z有最小值为1 故选:B 4 (5 分) 新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器, 它包括了龠(yu)、 合、 升、斗、斛这五个容量单位每一个量又有详细的分铭,记录了各器的径、深、底面积和容 积根据铭文不但可以直接测得各个容量单位的量值,而且可以通过对径、深各个部位的测 量,得到精确的计算容积,从而推算出当时的标准尺度现根据铭文计算,当时制造容器时 所用的圆周率分别为 3.1547,3.1992,3
15、.1498,3.2031,比径一周三的古率已有所进步,则 这 4 个数据的平均数与极差分别为( ) A3.1767,0.0615 B3.1767,0.0533 C3.1745,0.0484 D3.1547,0.0533 【解答】解:由题意,这 4 个数据分别为 3.1547,3.1992,3.1498,3.2031, 这 4 个数据的平均数为 1 (3.15473.19923.14983.2031)3.1767 4 , 4 个数据中最大的时 3.2031,最小的为 3.1498, 极差为3.20313.14980.0533 故选:B 5 (5 分)已知O的圆心是坐标原点O,且被直线250 xy
16、截得的弦长为 4,则O的 方程为( ) A 22 4xy B 22 9xy C 22 8xy D 22 6xy 【解答】解:O的圆心是坐标原点O,且被直线250 xy截得的弦长为 4,设O的 方程为 222 xyr, 第 7 页(共 19 页) 则弦心距为 22 |2005| 5 21 d , 2 ( 5)(2) 22 r,解得 2 9r ,可得圆的标准方程为 22 9xy, 故选:B 6 (5 分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2acb,且 222 sinsinsinsinsinABCAB ,则cos(B ) A 13 14 B 1 2 C 11 14 D 1 2 【解答
17、】解:因为 222 sinsinsinsinsinABCAB , 所以 222 abcab , 所以 2 ()()ac acabb, 因为2acb, 所以 2 2 ()b acabb, 即 2 (32 )b acb, 因为0b , 所以32acb ,即23bca, 故 7 3 ca, 5 3 ba, 22 2 222 4925 11 99 cos 7 214 2 3 aa a acb B a ac a 故选:C 7 (5 分)已知数列 n a的前n项和为 n S,若 1 2a , 11 3(1,*) nnn SSannN ,则 4 (S ) A80 B86 C240 D243 【解答】解: 1
18、 2a , 11 3 nnn SSa , 当2n 时, 2111 348SSaa, 221 826aSS, 2 1 3 a a , 11 3 nnn SSa , 第 8 页(共 19 页) 1 3 nn aa , 数列 n a是以 2 为首项,以 3 为公比的等比数列, 4 4 2(1 3 ) 80 1 3 S 故选:A 8 (5 分)已知( 2 ,) 2 , 1 cos() 65 ,则sin(2)( 3 ) A 6 5 B 2 6 5 C 4 6 25 D 4 6 25 【解答】解:因为( 2 ,) 2 , 所以( 63 , 2 ) 3 , 又 11 cos()cos() 6532 , 所以
19、 6 是第一象限角,(0,) 62 , 所以 2 12 6 sin()1( ) 655 , 所以 2 614 6 sin(2)2sin()cos()2 3665525 故选:C 9(5 分) 已知直线 1 l过抛物线 2 :4C yx的焦点F, 且与抛物线C在第一象限的交点为A, 点B在抛物线C的准线 2 l上,且 2. ABl若点A到直线BF的距离是2 3,则直线 1 l的斜率 是( ) A3 B 3 3 C3 D 3 3 【解答】解:由题意可知,(1,0)F, 设 0 (A x, 0) y,则 0 ( 1,)By,直线NF的方程为 0 (1) 2 y yx ,即 00 20y xyy 第
20、9 页(共 19 页) 点A在抛物线C上, 2 00 4yx, 点M到直线NF的距离是2 3, 0000 2 0 |2| 2 3 4 x yyy y , 整理得 42 00 4192yy,解得 2 0 12y (负值舍) , 0 3x,即(3A,2 3), 故直线l的斜率是: 2 30 3 21 故选:A 10 (5 分)已知函数( )sin()(0f xAxA,0,|) 2 的图象如图所示,且( )f x 的图象关于点 0 (x,0)对称,则 0 |x的最小值为( ) A 2 3 B 6 C 3 D 5 6 【解答】解:函数( )sin()(0f xAxA,0,|) 2 的图象,可得2A,
21、3 211 463 ,1 集合五点法作图,1 32 , 6 ,( )2sin() 6 f xx 根据( )f x的图象关于点 0 (x,0)对称,可得 0 6 xk ,kZ, 则 0 |x的最小值为 6 ,此时,0k , 故选:B 11 (5 分)已知函数( )f x是定义在R上的偶函数,对于任意xR,都有(4)( )f xf x, 且当0 x,2时, 2 ( )3f xx,若方程( )log(0,1) a f xx aa在区间(0,10)上有 5 个不 同的实数根,则实数a的取值范围为( ) A(0, 1 8 8 ,10) B(0, 1 6 2 ,10) C(0, 1) (6 8 , 10
22、D(0, 1) (6 2 ,10 第 10 页(共 19 页) 【解答】解:函数( )f x是定义在R上的偶函数, 2x ,0时, 2 ( )3f xx, (4)( )f xf x,即函数( )f x的周期为 4, ( )f x的图像与函数logayx的图像,情况 当1a 时,根据在区间(0,10)上有 5 个不同的实数根,即有 5 个不同交点, 则logayx的图像高于点(10,1),低于点(6,1) 可得610a , 当01a时,则logayx的图像高于点(8, 3), 可得 1 2 a , 综上可得 1 0 2 a或610a , 故选:D 12 (5 分) 在直角梯形ABCD中,/ /A
23、BCD,ABAD,2AB ,3AD , 3 CAB , 点F是线段AB上的一点,M为直线BC上的动点,若2BCCE,AFAB,且 17 4 AE DF ,则MF DM的最大值为( ) A 1 4 B 63 64 C11 D 23 64 【解答】解:直角梯形ABCD中,/ /ABCD,ABAD, 则以A点为原点AB为x轴,AD为y轴建立如图所示的直角坐标系, 因为2AB ,3AD , 3 CAB , 所以(0,0)A,(2,0)B,(1, 3)C,(0, 3)D, 因为2BCCE,设( , )E m n, 第 11 页(共 19 页) 则( 1,3)2(1m,3)n , 所以 1 2 m , 3
24、 3 2 n ,所以 1 (2E, 3 3 ) 2 , 因为AFAB,所以(2 ,0)F, 所以 1 (2AE , 3 3 ) 2 ,(2 ,3)DF, 所以 917 24 AE DF ,解得 1 4 所以 1 (2F,0), 因为M为直线BC上的动点,设BMxBC, 则(2, 33)DMBMBDxBCBDxx , 3 ( 2 MFBFBMBFxBCx ,3 ) x, 所以 2 313 (2)()( 33)(3 )43 22 MF DMxxxxxx , 当 13 16 x 时,MF DM取得最大值为 23 64 故选:D 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5
25、分,共分,共 20 分分 13 (5 分) 5 1 (2)x x 的展开式中x与 1 x的系数之比为 2 【解答】解: 5 1 (2)x x 的展开式的通项公式为 55 2 15 ( 1)2 rrrr r TCx , 令521r,求得2r ,可得展开式中x的系数为 2 5 880C , 第 12 页(共 19 页) 令521r ,求得3r ,可得展开式中 1 x的系数为 3 5 440C, 故x与 1 x的系数之比为 80 2 40 , 故答案为:2 14 (5 分)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的 游速可以表示为函数 3 1 log 2100 O v ,单位
26、是/m s,其中O表示鱼的耗氧量的单位数当一 条鱼的耗氧量是 2700 个单位时,它的游速是 3 2 /m s 【解答】解:将2700O 代入可得 33 1270013 27 210022 vloglog, 故答案为: 3 2 15 (5 分)已知圆锥的体积为 2 2 3 ,其底面半径和母线长的比为1:3,则该圆锥内半径最 大的球的表面积为 2 【 解 答 】 解 : 设 内 切 球 的 半 径 为r, 则 利 用 轴 截 面 , 根 据 等 面 积 可 得 11 291(332) 22 r , 2 2 r , 该圆锥内切球的表面积为 2 1 442 2 r, 故答案为:2 16 (5 分)已
27、知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F,M是双曲线一 条渐近线上位于第二象限的一点, 1 0(MF OMO为坐标原点) , 若线段 1 MF交双曲线于点P, 且 21 | 3PFPFa,则双曲线的离心率为 2 【解答】解:由已知可得点M所在的渐近线方程为: b yx a , 又 1 0MF OM,则 1 MFOM,所以点 1( ,0)Fc到渐近线 b yx a 的距离为: 第 13 页(共 19 页) 1 2 2 | | 1 bc a MFb b a ,所以在直角三角形 1 OMF中, 1 1 1 | cos | MFb MFO OFc ,
28、因为 21 | 3PFPFa,且 21 | 2PFPFa, 所以 2 5 | 2 a PF , 1 | 2 a PF , 则在三角形 12 PFF中,由余弦定理可得: 222 1122 1 112 | cos 2| PFFFPF PFO PFFF ,即 222 5 ( )4() 22 22 2 aa c b a c c , 化简可得: 22 20aabb,解得ab或2b(舍去) , 所以ab, 则双曲线的离心率为 2 2 12 cb e aa , 故答案为:2 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题
29、为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题: 共共 60 分分 17 (12 分)已知公差0d 的等差数列 n a的前n项和为 n S,且 2 5a , 1 a, 4 a, 13 a成等 比数列 (1)求数列 n a的通项公式; (2)求证数列 1 n S 的前n项和 3 4 n T 【解答】解: (1) 1 a、 4 a、 13 a成等比数列, 2 41 13 aaa, 2 (52 )(5)(5 11 )ddd, 化为 2 20dd,0d , 解得2d , 52(
30、2)21 n ann 证明: (2) (321) (2) 2 n nn Sn n , 第 14 页(共 19 页) 111 11 () (2)22 n Sn nnn , 11111111111131113 (1)(1)() 2324352221242124 n T nnnnnn 18 (12 分)如图所示的几何体中,ABE,BCE,DCE都是等腰直角三角形, ABAEDEDC,且BEDC,CEAB (1)求证:BE 平面DCE; (2)若F为线段BC的中点,求二面角FADE的余弦值 【解答】 (1)证明:因为ABE,DCE是等腰直角三角形,ABAEDEDC, 所以90BAECDE ,所以ABE
31、DCE ,所以BECE, 又因为BCE是等腰直角三角形,所以90BEC,所以BECE, 因为BEDC,且DCCEC,DC,CE 平面DCE,所以BE 平面DCE; (2)解:由(1)同理可证,CE 平面ABE, 过点F作/ /FOCE交BD于点O,则FO 平面ABE, 连结AO,因为F为BC的中点,所以FO为BCE的中位线,所以O为BE的中点, 因为ABE为等腰直角三角形,所以AOBE, 因为PO 平面ABE,所以FOAO, 又FOBEO,FO 平面BCE,BE 平面BCE,所以AO 平面BCE, 建立空间直角坐标系如图所示, 设2ABAEDEDC, 则(0, 2,0), (0,0, 2),(
32、2, 2, 2), (2,0,0)FADE, 所以(0,2, 2)FA,(2,0, 2)FD , 设平面FAD的一个法向量为( , , )nx y z, 则有 0 0 n FA n FD ,即 220 220 yz xz , 第 15 页(共 19 页) 令1x ,则1y ,1z ,故(1,1,1)n , 同理可求出平面EAD的法向量为(1,1, 1)m , 所以 |1 1 11 |cos,| |333 n m n m n m , 所以二面角FADE的余弦值为 1 3 19 (12 分)甲、乙、丙三人,为了研究某地区高中男生的体重y(单位:)kg与身高x(单 位:)cm是否存在较好的线性关系,
33、他们随机调查了 6 位高中男生身高和体重的数据,得到 如下表格: 身高/cm 160 166 172 173 173 182 体重/kg 44 50 55 55 56 64 根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程对应的直线的斜率为 0.89 (1)求y关于x的线性回归方程 ybxa; (2)从该地区大量高中男生中随机抽出 10 位男生,他们身高单位:)cm的数据绘制成如图 的茎叶图估计体重超过60kg的频率p,视频率为概率,从该地区大量高中男生中随 机选出 2 人,记这 2 人中体重超过60kg的人数为X,求X的分布列及其数学期望(用(1) 中的回归方程估测这 10 位男生的体重) 【解答
34、】解: (1)依题意可知 0.89b , 171x ,54y , 540.89 17198.19aybx , 故y关于x的线性回归方程为0.8998.19yx (2)令0.8998.1960yx,得177.74x , 第 16 页(共 19 页) 故这 10 位男生的体重有 3 位体重超过60kg, X的可能取值为 0,1,2, 2 7 2 10 7 (0) 15 C P X C , 11 73 2 10 7 (1) 15 C C P X C , 2 3 2 10 1 (2) 15 C P X C , 则X的分布列为: X 0 1 2 P 7 15 7 15 1 15 7713 ()012 1
35、515155 E X 20 (12 分)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率为 6 3 ,且过点( 3,1) (1)求椭圆E的标准方程; (2)过椭圆E右焦点的直线 1 l, 2 l互相垂直,且分别交椭圆E于A,B和C,D四点,求 |ABCD的最小值 【解答】解: (1)由已知可得: 22 222 6 3 31 1 c a ab abc ,解得6,2ab,2c , 所以椭圆的标准方程为 22 1 62 xy ; (2)由(1)知椭圆的右焦点坐标为(2,0),设 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y, 3 (C x, 3) y, 4 (D x, 4) y
36、, 当直线 1 l的斜率为 0 时,| 22 6ABa,直线 2: 2lx ,此时 2 6 | 3 CD , 所以 8 6 | 3 ABCD; 当直线 1 l的斜率存在且不为 0,直线 1 l的方程可设为2(0)xmym,则直线 2 l的方程为: 1 2xy m , 第 17 页(共 19 页) 联立方程 22 2 1 62 xmy xy ,消去x整理可得: 22 (3)420mymy, 22 168(3)0mm恒成立,则 1212 22 42 , 33 m yyy y mm , 所以 22 222 1212 2222 1682 6(1) |1()41 (3)33 mm ABmyyy ym m
37、mm , 同理可得 2 2 2 2 1 2 61() 2 6(1) | 1 13 3() m m CD m m , 则 2222 2242 118 6(1) | 2 6() 3133103 mmm ABCD mmmm , 令 2 11mt ,则 2 2 2 2 8 68 68 6 | 442 344 3(1)4 t ABCD tt ttt , 当1t 时, 2 2 (1)4(3 t ,4,则 8 6 | 2 6,) 3 ABCD, 所以|ABCD的最小值为2 6 21 (12 分)设函数 2 ( )()(0)f xxa xalnx a (1)讨论( )f x的单调性; (2)当0a 时,若(
38、)f x的最小值为 0,证明: 222 231 (1)(*) 12 n ln nnN n 【解答】 (1)解:函数 2 ( )()f xxa xalnx的定义域为(0,), 2 2 ( )2() () 2 aa fxxaxxa xx , 当0a 时,当(0,) 2 a x时,( )0fx,( )f x在(0,) 2 a 上单调递减, 当(,) 2 a x 时,( )0fx,( )f x在(,) 2 a 上单调递增; 当0a 时,当(0, )xa时,( )0fx,( )f x在(0, )a上单调递减, 当( ,)xa时,( )0fx,( )f x在( ,)a 上单调递增; 故当0a 时,( )f
39、 x在(0,) 2 a 上单调递减,在(,) 2 a 上单调递增; 当0a 时,( )f x在(0, )a上单调递减,在( ,)a 上单调递增; (2)证明:由(1)知,( )f x的最小值为f(a) 2 0alna ,解得1a , 第 18 页(共 19 页) 于是当0 x 且1x 时,( )(1)f xx xlnxf(1)0, 下面用数学归纳法证明 222 231 (1)(*) 12 n ln nnN n , 当1n 时, 2 2 2 (1 1)2 1 lne,不等式成立; 假设(*)nk kN时,不等式成立,即 222 231 (1) 12 k ln k k , 当1nk时, 22222
40、 23122 (1) 12(1)(1) kkk ln k kkk 22 2222 (2)(2)(2)(1) 1(1)(1)1 kkkk ln klnln kkkln kkkk 2 222 (2)()(2) 111 kkk ln klnln k kkk ,不等式成立 由得 222 231 (1)(*) 12 n ln nnN n (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的题中任选一题作答如果多做,则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在直角坐标系xOy中,直线
41、 1 C的参数方程为 1 ( 5 xt t yt 为参数) 以坐标原点 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 2 C的极坐标方程为 2 3 2cos2 (1)求直线 1 C的普通方程和曲线 2 C的直角坐标方程; (2)求曲线 2 C上的动点到直线 1 C距离的最大值 【解答】 解:(1) 直线 1 C的参数方程为 1 ( 5 xt t yt 为参数) , 转换为普通方程为40 xy 曲线 2 C的极坐标方程为 2 3 2cos2 , 根据 cos sin x y ,转换为直角坐标方程为 2 2 1 3 y x ; (2)设曲线 2 2 1 3 y x 上的点(cos , 3sin )
42、, 利用点到直线的距离得 |2cos()4| |cos3sin4| 3 22 d , 当cos()1 3 时, 6 3 2 2 max d 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(10 分)分) 23已知函数( ) |1| 2|1|f xxx 第 19 页(共 19 页) ()求不等式( ) 5f x 的解集; ()若不等式( )f xxm的解集为R,求m的取值范围 【解答】解: ()由已知得 31,1 ( )3, 11 31,1. xx f xxx xx 剟 1 14 1 4 31 53 3 x x x xx ; 1111 11 3 52 xx x xx 剟剟 剟 剟 ; 11 21 31 52 xx x xx 剠 ; 44 |1| 11| 21| 2 33 xxxxxxxx 剟剟剟, 不等式( ) 5f x 的解集为 4 | 2 3 xx 剟 ()不等式( )f xxm解集为( )Rm f xx 恒成立, 设( )( )g xf xx,则 21,1 ( )3, 11 41,1. xx g xx xx 剟, 当1x 时,( )213g xx ; 当11x 剟时,( )3g x ; 当1x 时,( )413g xx ( )3 min g x ( )m g x 恒成立( )minm g x , 由3m ,得3m m的取值范围是 3,)