1、18.2.218.2.2 菱形的性质菱形的性质 P55P55 学习目标学习目标 1.理解并掌握菱形的定义和性质理解并掌握菱形的定义和性质 2.会利用菱形的性质进行有关的论证和会利用菱形的性质进行有关的论证和 计算计算 AB=BC 四边形四边形ABCD是菱形是菱形 ABCD 四条相等的木条 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 （菱形的定义）（菱形的定义） 生活中的菱形生活中的菱形 下面我们一起来做一个菱形。下面我们一起来做一个菱形。 按照下图对折、再对折，然后沿图中的按照下图对折、再对折，然后沿图中的 虚线剪下，打开即可得到一个菱形。虚线剪下，打开即可得到一个菱
2、形。 已知四边形已知四边形ABCD是菱形是菱形 A B C D O 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1、图中有哪些相等的线段图中有哪些相等的线段？ 2 2、图中有哪些相等的角图中有哪些相等的角？ 3 3、图中有哪些等腰三角形图中有哪些等腰三角形？ 4 4、图中有哪些直角三角形图中有哪些直角三角形？ 5 5、菱形是轴对称图形吗菱形是轴对称图形吗？ 它有几条对称轴它有几条对称轴？分别是什么分别是什么？ 对称轴之间有什么关系对称轴之间有什么关系？ ( (同桌之间可以互相讨论同桌之间可以互相讨论) ) 已知四边形已知四边形ABCD是菱形是菱形 A B C D O 1 2 3 4 5 6 7 8 1
3、、相等的线段：相等的线段： OA=OC OB=OD AB=CD=AD=BC 已知四边形已知四边形ABCD是菱形是菱形 A B C D O 1 2 3 4 5 6 7 8 2、相等的角：、相等的角： BAD=BCD ABC =ADC AOB=BOC=COD=AOD =90 1=2=3=4 5=6=7=8 已知四边形已知四边形ABCD是菱形是菱形 A B C D O 1 2 3 4 5 6 7 8 3、等腰三角形有：、等腰三角形有： ABC BCD ACD ABD 已知四边形已知四边形ABCD是菱形是菱形 A B C D O 1 2 3 4 5 6 7 8 4、直角三角形有：、直角三角形有： Rt
4、AOB RtBOC RtCOD RtAOD 菱形的对角线把菱形分成菱形的对角线把菱形分成4 4个全等的直个全等的直 角三角形角三角形 已知四边形已知四边形ABCD是菱形是菱形 A B C D O 5、菱形是轴对称图形吗菱形是轴对称图形吗？ 它有几条对称轴它有几条对称轴？ 分别是什么分别是什么？ 对称轴之间有什么位置关系对称轴之间有什么位置关系? 菱形是轴对称图形菱形是轴对称图形 它有它有2 2条对称轴条对称轴 对称轴是对称轴是ACAC、BDBD所在的直线所在的直线 互相垂直互相垂直 判断：菱形的对角线就是它的对称轴判断：菱形的对角线就是它的对称轴 （）（） 命题：命题： 菱形的四条边都相等菱形
5、的四条边都相等 命题：命题：菱形的对角线互相垂直平分，菱形的对角线互相垂直平分， 并并 且每一条对角线平分一组对角。且每一条对角线平分一组对角。 试证明试证明 命题：命题： 菱形的四条边都相等。菱形的四条边都相等。 已知：如图已知：如图,四边四边ABCD是菱形是菱形 求证：求证：AB=BC=CD=AD 证明：证明：四边形四边形ABCD是菱形是菱形 AB=CD AD=BC (平行四边形的两组对边分别相等）平行四边形的两组对边分别相等） 且且AB=AD (菱形的定义）菱形的定义） AB=BC=CD=AD (等量代换）等量代换） A B C D 已知已知：菱形：菱形ABCDABCD的对角线的对角线A
6、CAC和和BDBD相交于点相交于点O O，如图所示如图所示。 证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形 A B C D O OB=ODOB=OD（对角线互相平分对角线互相平分） AO=AOAO=AO （公共边公共边） AOBAOBAODAOD （SSSSSS） AB=ADAB=AD ACBDACBD，ACAC平分平分BADBAD 同理：同理： ACAC平分平分BCD BCD ；BDBD平分平分ABCABC和和ADCADC 求证求证：ACBDACBD ； AC平分平分BAD和和BCD ；BD平分平分ABC和和ADC 命题：命题：菱形的两条对角线互相垂直，菱形的两条对角线互相垂直， 并
7、且每一条对角线平分一组对角。并且每一条对角线平分一组对角。 1=2 ,3=4 4 3 2 1 又又34=180 （邻补角） 3 =4 = 90 【菱形的周长和面积】【菱形的周长和面积】 菱形菱形是是特殊的平行四特殊的平行四 边形边形, 那么能否利用那么能否利用平行四边形平行四边形 面积公式面积公式计算菱形的面积计算菱形的面积 吗吗? S菱形ABCD=BC AE 想一想想一想:已知菱形的两条对角线的长，能求出它的面积吗已知菱形的两条对角线的长，能求出它的面积吗? 2 1 = SABD+SBCD = ACBD S菱形菱形ABCD 菱形的面积菱形的面积=底底高高=对角线乘积的一半对角线乘积的一半 A
8、 B C D O E C菱形ABCD = 4AB 由此可进一步推导得出：由此可进一步推导得出：对角线互相垂直的四边形对角线互相垂直的四边形 的面积都等于两条对角线乘积的一半的面积都等于两条对角线乘积的一半。 请你模仿菱形面积计算方法求下面的四边形的面积请你模仿菱形面积计算方法求下面的四边形的面积 已知，四边形ABCD的对角线相交于点O,ACBD， AC=8，BD=6，则四边形ABCD的面积= 。 O S四边形四边形ABCD = SACD+SABC = ACOD+ ACOB = AC(OD+OB ) = ACBD = 86 =24 24 P50 P50 例例3 3 如图，菱形花坛如图，菱形花坛A
9、BCDABCD的周长为的周长为20m20m， ABCABC6060，沿着菱形的对角线修建了两条小路，沿着菱形的对角线修建了两条小路 ACAC和和BDBD，求两条小路的长（结果保留小数点后两位），求两条小路的长（结果保留小数点后两位） 和花坛的面积（结果保留小数点后一位）。和花坛的面积（结果保留小数点后一位）。 解：解： 花坛花坛ABCD是菱形是菱形 ACBD, ABO = ABC = 60=30 2 1 2 1 在在RtAOB中，中，AO= AB = 20=10(m) 2 1 2 1 BO= = 17.32（m） 2222 1020 AOAB 花坛的两条小路长花坛的两条小路长 AC = 2AO
10、 = 20 (m) BD = 2BO = 34.64(m) 花坛的面积花坛的面积 = ACBD = 346.4 (m) ABCD S菱形 2 1 310 320 32020 2 1 P57练习练习 1、 四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，O是两条对角是两条对角 线的交点，线的交点，AB=5cm,AO=4cm,求两条对求两条对 角线角线AC和和BD 的长。的长。 2、菱形的两条对角线的长分别是、菱形的两条对角线的长分别是6cm 和和8cm，求菱形的周长和面积。，求菱形的周长和面积。 归纳总结：菱形的性质归纳总结：菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四菱形是特殊的平行四边形，具有平行四 边形的所有性质。边形的所有性质。 菱形的四条边都相等。菱形的四条边都相等。 菱形的两条对角线互相垂直，并且每条菱形的两条对角线互相垂直，并且每条 对角线平分一组对角。对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形，有菱形是轴对称图形，有2 2条对称轴，对条对称轴，对 角线所在的直线就是它的对称轴角线所在的直线就是它的对称轴 菱形的面积菱形的面积= =对角线乘积的一半。对角线乘积的一半。 菱形特有，平行四菱形特有，平行四 边形没有的性质边形没有的性质 大展身手大展身手 作业布置作业布置 P60 第第5题题 P61 第第11题题
