1、上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编三上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编三 1.1. （交附）已知（交附）已知a是正实数，则是正实数，则 a a 2 的最小值等于的最小值等于 。 （22，提示：均值不等式），提示：均值不等式） 2.2. （华二）有一个矩形（华二）有一个矩形ABCD，BCDC2 ，FE、为为AB边上，边上，DFDE、将将ADC 三等分，三等分， 则则 ABCD DEF S S . .（ 6 3 ） 3.3. （交附）满足方程：（交附）满足方程：1 24 nm 的正整数有序数对的的正整数有序数对的),(nm个数为个数为 。 解：解：1 24 nm ，mnmn24 ，042
2、nmmn， 8)2(4)2( nnm 8)2)(4( nm，nm、都是正整数，都是正整数，34 m，12 n 1 , 2 , 4 , 82 8 , 4 , 2 , 14 n m ，故正整数有序数对的，故正整数有序数对的),(nm个数为个数为4个。个。 4. （上中）对于各数互不相等的正整数组（上中）对于各数互不相等的正整数组),( 21n aaa（n是不小于是不小于2的正整数） ，如果在的正整数） ，如果在ji 时时 有有 ji aa ，则称，则称 i a与与 j a是该数组的一个“逆序” 。例如数组是该数组的一个“逆序” 。例如数组)1 , 3 , 4 , 2(中有逆序“中有逆序“1 , 2
3、” ， “” ， “3 , 4” ，” ， “14，” ， “” ， “13，” ，其逆序数为” ，其逆序数为4。现若各数互不相同的正整数组。现若各数互不相同的正整数组)( 654321 aaaaaa，的逆的逆 序数为序数为2，则，则)( 123456 aaaaaa，的逆序数是的逆序数是 。 解：如果在解：如果在ji 时有时有 ji aa ，则称，则称 i a与与 j a是该数组的一个“逆序” ；是该数组的一个“逆序” ； 如果在如果在ji 时有时有 ji aa ，则称，则称 i a与与 j a是该数组的一个“顺序” ；是该数组的一个“顺序” ； 则顺序数与逆序数的和为则顺序数与逆序数的和为
4、2 n C。 现若各数互不相同的正整数组现若各数互不相同的正整数组)( 654321 aaaaaa，的逆序数为的逆序数为2； 则则)( 123456 aaaaaa，的 逆 序 数 等 于的 逆 序 数 等 于)( 654321 aaaaaa，的 顺 序的 顺 序 数 ， 为数 ， 为 132 2 6 C。 5. （上中）若（上中）若n为正整数，则使得关于为正整数，则使得关于x的不等式的不等式 19 10 21 11 nx n 有唯一的整数解的有唯一的整数解的n的最大值的最大值 为为 。 解：解： 19 10 21 11 nx n ； 11 21 10 19 n nx ； 11 10 10 9
5、n x ； 10 1 11 1 n xn ； nxnn 10 1 11 1 原不等式有唯一整数解；原不等式有唯一整数解； 2 11 1 10 1 nn； 解得解得220 n， 取取220 n；2222020 x 21220 x 解得解得199 x。 故故n的最大值为的最大值为220。 6.6. （华二）如图所示，（华二）如图所示，C在以在以AB为直径的为直径的O上，上，BCOD/，AD是切线，延长是切线，延长DC、AB交交 于点于点E. . （1 1） 求证：求证：DE是切线；是切线； （2 2） 若若 3 2 DE CE ，求，求ABC cos的值。的值。 2 2 1 1 E E D D B
6、 B A A O O C C E E D D B B A A O O C C 证明： （证明： （1 1）连结）连结OC， C在以在以AB为直径的为直径的O上上 BCAC ，BCOD/， ACOD OD是是AC的垂直平分线的垂直平分线 DCDA ，OCOA 90OADOCD DE是切线；是切线； （2 2） 3 2 DE CE ，设，设aCE2 ，则，则aDE3 ，aDACD , , BCOD/ 3 2 ED EC EO BE ，设，设bBE2 ，则，则bEO3 ，bOBOA ，bEA4 EAEBEC 2 bba424 2 ，解得，解得ba2 ，bADOAOD3 22 3 3 2coscos
7、OD OA ABC. . 7.7. （复附）已知（复附）已知a为正实数，且关于为正实数，且关于x的方程的方程 231 1 2 1 2 xx ax xx 有且仅有一个实数根，有且仅有一个实数根， 求实数求实数a的取值范围。的取值范围。 解：解： 231 1 2 1 2 xx ax xx )1)(2()1)(2( 21 xx ax xx xx 2 1 32 x x axx ， 2 1 032 9124 2 x x x axxx ， 2 2 3 12 9 4 xx x xa 且 ， 当当 2 3 x时，时，012 9 4212 9 4 x x x xa当且仅当当且仅当 x x 9 4 即即 2 3
8、x时取等号。时取等号。 当当2 x时，时， 2 1 a， a为正实数为正实数 0 a且且 2 1 a。 8.8. （复附）如图，抛物线的顶点坐标是（复附）如图，抛物线的顶点坐标是) 8 9 , 2 5 ( ，且经过点，且经过点)14, 8(A。 （1 1） 求该抛物线的解析式；求该抛物线的解析式； （2 2） 设该抛物线与设该抛物线与y轴相交于点轴相交于点B，与，与x轴相交于轴相交于DC、两点（点两点（点C在点在点D的左边） ，求点的左边） ，求点 DCB、的坐标；的坐标； （3 3） 设点设点P是是x轴上的任意一点，分别连结轴上的任意一点，分别连结BCAC、. .比较比较PBPA 与与BCA
9、C 的大小关的大小关 系，说明理由。系，说明理由。 x x y y D D C C B B A A O O 解： （解： （1 1）设）设 8 9 ) 2 5 ( 2 xay)0( a，将，将)14, 8(代入，解得代入，解得 2 1 a 2 2 5 2 1 2 xxy （2 2）)4)(1( 2 1 xxy，故，故)2 , 0(B，)0 , 1(C，)0 , 4(D。 （3 3）作点）作点B关于关于x轴的对称点轴的对称点)2, 0( E，则，则2 8 )2(14 AE k, ,2 1 )2(0 CE k CEA、三点共线三点共线 又又BCACCEACAEPEPAPBPA BCACPBPA .
10、 . 9.9. （华二）定义（华二）定义,mincba表示实数表示实数cba，中的最小值，若中的最小值，若yx,是任意正实数，则是任意正实数，则 11 min x y y xM ，的最大值是的最大值是 解：设解：设 x y y x 1 , 1 , 中，最小的数为中，最小的数为t， E E F F D DB BC C A A 则则 x yt y t xt 1 1 ， x yt y t xt 1 1 11 ， x yt x y tt 1 111 ， t t 2 ，2 2 t，2 t。 10.10. （复附）锐角（复附）锐角ABC中，中，CFBEAD、分别为分别为ABACBC、边上的高，设边上的高，
11、设aBC ， bAC , ,cAB ，xBD ，yEC ，zAF 。 （1 1）用）用cba、表示表示x； （2 2）当）当cba、满足什么关系式，有满足什么关系式，有cbazyx )(2。 解：（解：（1 1） 22222 CDACBDABAD 2222 ACABCDBD 22 )(bcCDBDCDBD aCDBD a bc CDBD 22 a bca BD 2 222 x a bca 2 222 （或用余弦定理求或用余弦定理求ABD cos，再求，再求BD） （2 2）由（）由（1 1）得）得x a bca 2 222 ，同理可得，同理可得 b cab y 2 222 ， c acb z
12、2 222 。 cbazyx )(2 cba c acb b cba a bca ) 222 (2 222222222 cba c acb b cba a bca 222222222 cba c ab c b ca b a bc a 222222 0 222222 c ab b ca a bc 0)()()( 222222 ababcaacbcbc 0)()()( cbaaccbba（轮换式，令（轮换式，令ba ，原式，原式0 ） 0 cba 0)()( accbba ba 或或cb 或或ac 。 【备用】【备用】 1. 已知正整数已知正整数cba,满足满足022 2 cba，083 2 cb
13、a，求，求abc的最大值。的最大值。 解：解：022 2 cba，083 2 cba 消去消去c，整理得：，整理得：666)8( 22 aab 666 2 aa a为正整数为正整数 31 a 若若1 a，则，则59)8( 2 b，无正整数解，无正整数解 若若2 a，则，则40)8( 2 b，无正整数解，无正整数解 若若3 a，则，则9)8( 2 b，可得：，可得：11 b，5 b 若若11 b，则，则61 c，从而，从而201361113 abc 若若5 b，则，则13 c，从而，从而1951353 abc abc的最大值为的最大值为2013 2. 已知已知ba、均为整数， 且均为整数， 且b
14、a ， 已知方程， 已知方程04)(33 2 abxbax的两个根的两个根 、满足关系式满足关系式 )1)(1()1()1( ，试求所有的整点对，试求所有的整点对),(ba。 解：由题意得：解：由题意得： 3 4 )( 09309 22 ab ba baba )1)(1()1()1( 1 22 13)( 2 1)( 2 ba 1 ba 代入判别式因式分解得：代入判别式因式分解得：0)12)(32( bb，解得，解得 2 1 2 3 b b为整数为整数 1 b，0 0 a，1 ),(ba)1, 0( 或或)0 , 1( 3. 若直角三角形的边长若直角三角形的边长yx,都是质数，且使得代数式都是质
15、数，且使得代数式 y x12 及及 x y32 的值都是正整数，求此直角的值都是正整数，求此直角 三角形的三边长。三角形的三边长。 解： （解： （1）若）若yx ，则，则3 3 2 3 2 32 0 xxx y x y ，得，得1 32 x y 或或2 当当1 32 x y ，则，则32 yx，所以，所以 yy x5 4 12 ，解得，解得13, 5 xy 当当2 32 x y ，则，则322 yx，所以等式不成立，所以等式不成立 （2）若）若yx ，则，则 y x12 不是正整数，与已知矛盾不是正整数，与已知矛盾 （3）若）若yx ，则，则22 1 2 12 0 y x yy x y x ，得，得1 12 y x 12 xy xx y1 4 32 不可能是正整数，舍不可能是正整数，舍 综上可得：综上可得：13 x，5 y，此时直角三角形的第三边长为，此时直角三角形的第三边长为12或或194。
