1、第二章 函数、导数及其应用 第一讲第一讲 函数及其表示函数及其表示 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 函数的概念及表示 1函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A， B 设 A，B 是两个_非空数集_ 设 A，B 是两个_非空集合_ 对应关系 f： AB 如果按照某种确定的对应关系 f， 使对 于集合 A 中的_任意_一个数 x，在 集合 B 中有_唯一_的数 f(x)和它对 应 如果按某一个确定的对应关系 f，使 对于集合 A 中的_任意_一个元素 x 在集合 B 中有_唯一_的元素 y 与之 对应 名称 称对应_f： AB_为从集合 A 到集合 B 的一个函数 称对应_f：AB
2、_为从集合 A 到集 合 B 的一个映射 记法 yf(x)，xA 对应 f：AB 是一个映射 2.函数 (1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射 (2)函数的三要素：_定义域、值域、对应法则_. (3)函数的表示法：_解析法、图象法、列表法_. (4)两个函数只有当_定义域和对应法则_都分别相同时，这两个函数才相同 知识点二 分段函数及应用 在一个函数的定义域中，对于自变量 x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函 数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数 归 纳 拓 展 1映射：(1)映射是函数的推广，函数是特殊的映射，A，B 为非空数集的映射就是函数； (2)映
3、射的两个特征： 第一，在 A 中取元素的任意性； 第二，在 B 中对应元素的唯一性； (3)映射问题允许多对一，但不允许一对多 2判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致 3分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 4与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有 1 个交点 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)f(x) 1 x4 3x是一个函数( ) (2)函数 f(x)的图象与直线 x1 的交点只有 1 个( ) (3)已知 f(x)m(xR)，则 f(m3)等于 m3.( ) (4)yln x2与 y2ln x 表
4、示同一函数( ) (5)f(x) x21，1x1， x3，x1或x1或x0 时，每一个 x 的值对应两个不同的 y 值，因此不是函数图象，中当 xx0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，中每一个 x 的值对应唯一的 y 值，因此是函 数图象 3(必修 1P24T4 改编)已知 f(x5)lg x，则 f(2)等于( D ) Alg 2 Blg 32 Clg 1 32 D1 5lg 2 解析 解法一：由题意知 x0，令 tx5，则 t0，xt 1 5 ， f(t)lg t 1 5 1 5lg t，即 f(x) 1 5lg x(x0)， f(2)1 5lg 2，故选 D 解法二：令 x52，则
5、x2 1 5 ，f(2)lg 2 1 5 1 5lg 2.故选 D 4(必修 1P25BT1 改编)函数 yf(x)的图象如图所示，那么 f(x)的定义域是_3,0 2,3_；值域是_1,5_；其中只与 x 的一个值对应的 y 值的范围是_1,2)(4,5_. 题组三 走向高考 5(2018 上海，16,5 分)设 D 是含数 1 的有限实数集，f(x)是定义在 D 上的函数，若 f(x) 的图象绕原点逆时针旋转 6后与原图象重合，则在以下各项中，f(1)的可能取值只能是( B ) A 3 B 3 2 C 3 3 D0 解析 A 选项，若 f(1) 3，将点(1， 3)依次旋转 6后可得到函数
6、图象上的一些点，由 图可知，当 x 1、 3、0 时，对应了两个 y 值，不符合函数定义，f(1) 3.同理，结合 图象分析 B、C、D 选项，只有 B 选项符合函数定义，故选 B 6(2015 陕西，5 分)设 f(x) 1 x，x0， 2x，x1)_. (2)已知 f x1 x x2x 2，则 f(x)_x22(x2 或 x2)_. (3)已知 f(x)是二次函数且 f(0)5，f(x1)f(x)x1，则 f(x)_1 2x 23 2x5_. (4)已知 f(x)满足 2f(x)f 1 x 3x，则 f(x)_2x1 x(x0)_. (5)已知 f(0)1，对任意的实数 x，y，都有 f(
7、xy)f(x)y(2xy1)，则 f(x)_x2x 1_. 解析 (1)令 t2 x1，则由 x0 知 2 x11，x 2 t1，所以由 f 2 x1 lg x，得 f(t)lg 2 t1(t1)，所以 f(x)lg 2 x1(x1) (2)因为 f x1 x x2x 2 x1 x 22， 且当 x0 时，x1 x2；当 x0 时，x 1 x2， 所以 f(x)x22(x2 或 x2) (3) 因为 f(x)是二次函数且 f(0)5， 所以设 f(x)ax2bx5(a0) 又因为 f(x1)f(x)x1， 所以 a(x1)2b(x1)5(ax2bx5)x1， 整理得(2a1)xab10，所以
8、2a10， ab10， 解得 a1 2，b 3 2，所以 f(x) 1 2x 23 2x5. (4)因为 2f(x)f 1 x 3x， 所以将 x 用1 x替换，得 2f 1 x f(x)3 x， 由解得 f(x)2x1 x(x0)， 即 f(x)的解析式是 f(x)2x1 x(x0) (5)令 x0，得 f(y)f(0)y(y1)1y2y， f(y)y2y1，即 f(x)x2x1. 名师点拨 求函数解析式的五种方法 变式训练 1 (1)已知 f(cos x)sin2x，则 f(x)_1x2，x1,1_. (2)已知 f(x)是二次函数，且 f(0)0，f(x1)f(x)x1，则 f(x)_1
9、 2x 21 2x(xR)_. (3)(理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)2f(x)若当 0 x1 时，f(x)x(1x)，则当 1x0 时，f(x)_xx1 2 _. (文)已知 f(x)满足 2f(x)f 1 x 3x，则 f(x)_2x1 x(x0)_. 解析 (1)(换元法)设 cos xt，t1,1， f(cos x)sin2x1cos2x， f(t)1t2，t1,1 即 f(x)1x2，x1,1 (2)设 f(x)ax2bxc(a0)， 由 f(0)0，知 c0，f(x)ax2bx(a0) 又由 f(x1)f(x)x1， 得 a(x1)2b(x1)ax2bxx1，
10、即 ax2(2ab)xabax2(b1)x1， 所以 2abb1， ab1， 解得 ab1 2. 所以 f(x)1 2x 21 2x(xR) (3)(理)(转换法)当1x0，则 0 x11， 故 f(x1)(x1)(1x1)x(x1)，又 f(x1)2f(x)， 所以当1x0 时，f(x)xx1 2 . (文)2f(x)f 1 x 3x， 把中的 x 换成1 x，得 2f 1 x f(x)3 x. 联立可得 2fxf 1 x 3x， 2f 1 x fx3 x， 解此方程组可得 f(x)2x1 x(x0) 考点二 分段函数及应用多维探究 角度 1 分段函数求值问题 例 3 (理)(2020 山西
11、太原期中)已知函数 f(x) 1 2 x，x2， fx1，x2， 则 f(log23) ( A ) A1 6 B3 C1 3 D6 (文)(2020 潮州期末)已知函数 f(x) log3xm1，x0， 1 2 022， x0 的图象经过点(3,0)， 则 f(f(2) ( B ) A2 022 B 1 2 022 C2 D1 解析 (理)解法一：函数 f(x) 1 2 x，x2， fx1，x2， f(log23)f(log231) 1 2 log231 1 2 log1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 6.故选 A 解法二：f()log2 3 f ()log231 f()log2 6
12、 1 2 log261 6.故选 A (文)因为函数 f(x)的图象过点(3,0)，所以 log3(3m)10，解得 m0，所以 f(2)log32 10，所以 f(f(2) 1 2 022，故选 B 角度 2 分段函数与方程的交汇问题 例 4 设函数 f(x) sinx2，1x0， ex 1，x0. 若 f(1)f(a)2，则 a_1 或 2 2 _. 解析 由于 f(1)e1 11，再根据 f(1)f(a)2 得 f(a)1.当 a0 时，f(a)ea11，解 得 a1；当1a0 时，f(a)sin(a2)1，解得 a21 22k，kZ.由1a0， 则满足 f(x1)0 且 2x0，即1x
13、0 时，f(x1)f(2x)显然成立； 当 x10 时，x1，此时 2x0，若 f(x1)2x，解得 x0， x1，x0. 若 f(a)f(1)0， 则实数 a 的值等于( A ) A3 B1 C1 D3 (文)(角度 2)已知函数 f(x) 3x1，x0， 则 f(2)_3_. (3)(理)(角度 3)(2020 湖南雅礼中学模拟)已知函数 f(x) log1 3 x，x0 2x，x0 若 f(a)1 2，则实数 a 的取值范围是_ 1， 3 3 _. (文)(角度 3)函数 f(x) 1 2x1，x0， 1 x，x0 时，由 f(a)f(1)0 得 2a20，无实数解；当 a0 时，由 f
14、(a) f(1)0 得 a120，解得 a3，满足条件，故选 A (文)由题意得，f 2 3 3 2 313， 所以 f f 2 3 f(3)93a6， 所以 a5，f(2) 4526. (2)f(2)f(1)1f(0)2cos( 20)2123. (3)(理)当 a0 时，令 2a1 2，解得10 时，令log1 3 a1 2，解得 0a 3 3 ， a(1,0 0， 3 3 ，即 a 1， 3 3 . (文)当 a0 时，由 f(a)1 2a1a，解得 a2，所以 a0；当 a0 时，由 f(a) 1 aa， 解得1a1 且 a0，所以1a0.综上所述，实数 a 的取值范围是1，) 名师讲
15、坛 素养提升 数学抽象函数新定义问题中的核心素养 例 6 设函数 f(x)的定义域为 D，若对任意的 xD，都存在 yD，使得 f(y)f(x) 成立，则称函数 f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数： f(x)x2；f(x) 1 x1；f(x)ln(2x3)； f(x)2x2 x；f(x)2sin x1. 其中是“美丽函数”的序号有_. 解析 由已知，在函数定义域内，对任意的 x 都存在着 y，使 x 所对应的函数值 f(x)与 y 所对应的函数值 f(y)互为相反数，即 f(y)f(x)故只有当函数的值域关于原点对称时才会满 足“美丽函数”的条件 中函数的值域为0，)，值域不关于原点
16、对称，故不符合题意；中函数的值域 为(，0)(0，)，值域关于原点对称，故符合题意；中函数的值域为(，)， 值域关于原点对称， 故符合题意； 中函数的值域为 R， 值域关于原点对称， 故符合题意； 中函数 f(x)2sin x1 的值域为3,1，不关于原点对称，故不符合题意 名师点拨 以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概 念，然后在快速理解的基础上，解决新问题 变式训练 3 定义 ab a b，a b0， a b，a b0，所以 f(2)2ln 22ln 2.因为1 2ln 1 21 ln x x 0 x1 ， f(2)f 1 2 2ln 2 ln 1 2 1 2 2ln 22ln 20.
