1、第三讲第三讲 二项式定理二项式定理(理理) 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 二项式定理 (ab)nC0nanC1nan 1bCk na nkbkCn nb n(nN ) 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数 Ckn(k 0,1,2，n)叫做_二项式系数_，式中的_Cknan kbk_叫做二项展开式的_通项_，用 T k1 表示，即通项为展开式的第_k1_项：Tk1_Cknan kbk_ 知识点二 二项展开式形式上的特点 (1)项数为_n1_ (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为_n_ (3)字母 a 按_降
2、幂_排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减小 1 直到零；字母 b 按_升 幂_排列，从第一项起，次数由零逐项增加 1 直到 n 知识点三 二项式系数的性质 (1)0kn 时，Ckn与 Cn k n 的关系是_CknCn k n _ (2)二项式系数先增后减，中间项最大 当 n 为偶数时，第n 21 项的二项式系数最大；当 n 为奇数时，第 n1 2 项和n3 2 项的二项 式系数最大 (3)各二项式系数的和： C0nC1nC2nCnn_2n_， C0nC2nC4nC1nC3nC5n _2n 1_ 归 纳 拓 展 1二项式定理中，通项公式 Tk1Cknan kbk是展开式的第 k1 项，不是第
3、 k 项 2(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在 Tk1Cknan kbk 中，Ckn是该 项的二项式系数，该项的系数还与 a，b 有关 (2)二项式系数的最值和增减性与指数 n 的奇偶性有关当 n 为偶数时，中间一项的二项 式系数最大；当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)Cknan kbk 是二项展开式的第 k 项( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项( ) (3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关( ) (4)(ab
4、)n的展开式第 k1 项的系数为 Cknan kbk( ) (5)(x1)n的展开式二项式系数和为2n( ) (6)在(1x)9的展开式中系数最大的项是第 5 项和第 6 项( ) 题组二 走进教材 2(P31例 2(2)若 x1 x n展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为( B ) A10 B20 C30 D120 解析 二项式系数之和 2n64，所以 n6，Tk1Ck6 x6 k (1 x) kCk 6x 62k，当 62k0， 即当 k3 时为常数项，T4C3620 3(P41B 组 T5)若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则 a0a2a4的值为( B ) A
5、9 B8 C7 D6 解析 令 x1，则 a0a1a2a3a40，令 x1，则 a0a1a2a3a416，两 式相加得 a0a2a48 题组三 走向高考 4(2020 新课标) x22 x 6的展开式中常数项是_240_(用数字作答) 解析 展开式的通项为 Tr1Cr6(x2)6 r 2 x r2rCr 6x 123r，令 123r0，解得 r4，故常 数项为 24C46240 5(2017 全国卷) 11 x2 (1x)6展开式中 x2的系数为( C ) A15 B20 C30 D35 解析 (1x)6展开式的通项Tr1Cr6xr， 所以 1 1 x2 (1x)6的展开式中x2的系数为1C2
6、6 1C4630，故选 C 考点突破 互动探究 考点一 二项展开式的通项公式的应用多维探究 角度 1 求二项展开式中的特定项或特定项的系数 例 1 (1)(2018 课标卷)(x22 x) 5的展开式中 x4的系数为( C ) A10 B20 C40 D80 (2)(2019 课标，4)(12x2)(1x)4的展开式中 x3的系数为( A ) A12 B16 C20 D24 (3)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为( C ) A10 B20 C30 D60 解析 (1)Tr1Cr5(x2)5 r 2 x rCr 52 rx103r， 当 103r4 时，解得 r2， 则 x4的系数为
7、C252240，选 C (2)(1x)4的二项展开式的通项为 Tk1Ck4xk(k0,1,2,3,4)， 故(12x2)(1x)4的展开式中 x3的系数为 C342C1412故选 A (3)(x2xy)5(x2x)y5， 含 y2的项为 T3C25(x2x)3 y2 其中(x2x)3中含 x5的项为 C13x4 xC13x5 所以 x5y2的系数为 C25C1330故选 C 另解：由乘法法则知 5 个因式中两个选 y 项，两个选 x2项，一个选 x 项乘即可，x5y2 的系数为 C25C1330 角度 2 二项展开式中的含参问题 例 2 (1)(2021 广东广州阶段测试) ax1 x 6的展
8、开式中的常数项为 160， 则 a 的值为 ( A ) A2 B2 C4 D4 (2)(2021 福建三明质检)若(3x2a) 2x1 x 5的展开式中 x3的系数为80，则 a_4_ (3)(2021 河北衡水中学模拟)已知二项式 2x 1 x n的展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系 数之比是 25，则 x3的系数为_240_ 解析 (1) ax1 x 6 的展开式的通项为 Tr1Cr6(ax)6 r 1 x r(1)rCr 6a 6rx62r，由题意 得C36a3160，解得 a2，故选 A (2) 2x1 x 5的展开式的通项为 T r1C r 5(2x) 5r 1 x r(1)r
9、 25r Cr 5x 52r， 则 323C2 5 a24C1580，解得 a4 (3)由题意得：C1nC2n25，解得 n6所以 Tr1Crn(2x)n r 1 x rCr 62 6r(1)rx63 2 r, 令 63 2r3，解得：r2所以 x 3的系数为 C2 62 62(1)2240 名师点拨 求二项展开式中的特定项或其系数，一般是化为通项公式后，令字母的指数符合要求(求 常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出 r，代回通项公式即可 变式训练 1 (1)(角度 1)(2018 浙江，14)二项式 3 x 1 2x 8的展开式的常数项是_7_ (2)(角度 2)(2021
10、福州模拟)设 n 为正整数， x 2 x3 n的展开式中仅有第 5 项的二项式系数 最大，则展开式中的常数项为( B ) A112 B112 C60 D60 (3)(角度 1)(2020 全国) xy 2 x (xy)5的展开式中 x3y3的系数为( C ) A5 B10 C15 D20 解析 (1)Tr1Cr8(3x)8 r 1 2x r1 2rC r 8x84r 3 ，由 84r0 得 r2，故常数项为 T3 1 22 C287 (2)依题意得，n8，所以展开式的通项 Tr1Cr8x8 r 2 x3 rCr 8x 84r(2)r，令 84r0， 解得 r2，所以展开式中的常数项为 T3C2
11、8(2)2112 (3)(xy)5的展开式的通项 Tr1Cr5x5 ryr， xy 2 x (xy)5的展开式中 x3y3的系数为 C35C1515，故选 C 考点二 二项式系数的性质与各项系数的和师生共研 例 3 (1)(2020 河北衡水中学模拟)已知二项式 2 x1 x n的展开式中， 二项式系数之 和等于 64，则展开式中常数项等于( A ) A240 B120 C48 D36 (2)(2021 河北邯郸模拟)在 x 3 x n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 64， 则 x3的系数为( C ) A15 B45 C135 D405 (3)(2021 辽宁省朝阳市质量检测)设(
12、1x2)(2x)4a0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3 a4(x1)4a5(x1)5a6(x1)6，则 a0a2a4a6_8_ 解析 (1)二项式 2 x1 x n的展开式中， 二项式系数之和等于 2n64，则 n6， 故展开式的通项公式为 Tr1Cr6 26 r x63r 2 ， 令63r 2 0，求得 r2，常数项为 C26 24240故选 A (2)由题意4 n 2n64，n6，Tr1C r 6x 6r 3 x r3rCr 6x63r 2 ，令 63r 2 3，r2,32C26135， 选 C (3)由题意，令 x2 得 a0a1a2a3a4a5a60， 令 x0 得 a0a1a
13、2a3a4a5a616， 两式相加得 2(a0a2a4a6)16， 所以 a0a2a4a68故答案为 8 引申在本例(3)中，(1)a0_2_； (2)a1a3a5_8_； (3)(a0a2a4a6)2(a1a3a5)2_0_； (4)a2_5_ 解析 记 f(x)(1x2)(2x)4， 则(1)a0f(1)2 (2)a1a3a5f2f0 2 016 2 8； (3)(a0a2a4a6)2(a1a3a5)2f(2) f(0)0； (4)令 x1t，则 xt1， a2为(t22t2)(1t)4展开式中 t2项的系数，又(1t)4的通项为 Cr4(t)r， a2C042(1)C142C245 名师
14、点拨 赋值法的应用 (1)形如(axb)n、(ax2bxc)m(a、b、cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋 值法，只需令 x1 即可 (2)对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 xy1 即可 (3)若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)， 奇数项系数之和为 a0a2a4f1f1 2 ， 偶数项系数之和为 a1a3a5f1f1 2 *又 f(x)a12a2x3a3x2nanxn 1， 所以 a12a23a3nanf(1) 变式训练 2 (1)(2021 湖北龙泉中学、 荆州中学、 宜昌一中联考)若(12x)2
15、 021a0a1xa2x2a3x3 a2 021x2 021(xR)，则下列结论中正确的个数为( C ) a01 a1a3a5a2 0213 2 0211 2 a0a2a4a2 0203 2 0211 2 a1 2 a2 22 a3 23 a2 021 22 0211 A1 B2 C3 D4 (2)(2020 湖南娄底期末)已知(x3a x) n的展开式中各项的二项式系数之和为 32， 且各项系数 和为 243，则展开式中 x7的系数为( C ) A20 B30 C40 D50 解析 (1)令 x0 得 a01，正确；令 x1 得 a0a1a2a3a2 0211，令 x1 得 a0a1a2a3
16、a2 02132 021，a1a3a5a2 0213 2 0211 2 ，不正 确；又 a0a2a2 0203 2 0211 2 ，正确；令 x1 2得 a0 a1 2 a2 22 a2 021 22 0210， a1 2 a2 22 a2 021 22 021a01正确，故选 C (2)因为(x3a x) n 的展开式中各项的二项式系数之和为 32，则 2n32，解得 n5，所以二 项式为(x3a x) 5因为 x3a x 5展开式各项系数和为 243，令 x1，代入可得(1a)524335， 解得 a2，所以二项式展开式的通项为 Tr1Cr5(x3)5 r 2 x r2r Cr 5x 15
17、4r，所以当展开式为 x7 时，即 x15 4rx7，解得 r2，则展开式的系数为 22 C2 541040故选 C 考点三,二项式定理的应用多维探究 例 4 角度 1 整除问题 (1)设 aZ，且 0a13，若 512 012a 能被 13 整除，则 a( D ) A0 B1 C11 D12 (2)(2021 安徽省安庆一中模拟)9C11092C210910C10 10除以 11 所得的余数为( A ) A0 B1 C2 D1 角度 2 近似计算 (3)1.028的近似值是_1.172_(精确到小数点后三位) 解析 (1)由于 51521，(521)2 012C02 012522 012C1
18、2 012522 011C2 011 2 01252 11， 又由于 13 整除 52，所以只需 13 整除 1a,0a13，aZ，所以 a12，故选 D (2)90C0109C11092C210910C10 101(19) 10110101(111)1011110 C110 119C210 118C910 11111110C110 119C210 118C910 11， 显然所得余数为 0， 故选 A (3)1.028(10.02)8C08C18 0.02C28 0.022C38 0.0231.172 引申若将本例(2)中“11”改为“8”，则余数为_7_ 解析 由题意原式10101(82)
19、101810C11089 2C9108 292101(810 C11089 2C9108 298 278)7余数为 7 名师点拨 1整除问题的解题思路 利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除问题和余数问题的 基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断 2求近似值的基本方法 利用二项式定理进行近似计算：当 n 不很大，|x|比较小时，(1x)n1nx 变式训练 3 (1)(2021 江西联考)190C110902C210903C3109010C10 10除以 88 的余数是( C ) A1 B87 C1 D87 (2)0.9986的近似值为_0.989_
20、(精确到 0.001) 解析 (1)190C110902C210903C3109010C10 10(190) 108910(881)10C0 1088 10 C110889C91088C10 1088k1(k 为正整数)，所以可知余数为 1 (2)0.9986(10.002)61C160.002C260.0022C360.0023C460.0024C560.0025C66 0.00261C160.002C260.00220.988 60.989 名师讲坛 素养提升 一、二项展开式中系数最大项的问题 例 5 已知 x 1 2 x n的展开式中前三项的系数成等差数列 求 n 的值； 求展开式中系数
21、最大的项 解析 由题设，得 C0n1 4C 2 n21 2C 1 n， 即 n29n80，解得 n8，n1(舍去) 设第 r1 项的系数最大，则 1 2rC r 8 1 2r 1Cr 1 8 ， 1 2rC r 8 1 2r 1Cr 1 8 . 即 1 8r 1 2r1， 1 2r 1 9r. 解得 r2 或 r3 所以系数最大的项为 T37x5，T47x7 2 名师点拨 求展开式中系数最大的项 如求(abx)n(a，bR)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系 数分别为 A1，A2，An1，且第 k 项系数最大，应用 AkAk1 AkAk1 从而解出 k 来，即得 变式训
22、练 4 (2020 山东省德州市高三上期末) 2x21 x 6 的展开式中，常数项为_60_；系数最大的项 是_240 x6_ 解析 2x21 x 6的展开式的通项为 Ck6 (2x2)6 k 1 x kCk 6 2 6k x123k， 令 123k0，得 k4，所以，展开式中的常数项为 C46 2260； 令 akCk6 26 k(kN，k6)， 令 anan1 anan1 ，即 Cn6 26 nCn1 6 27 n Cn6 26 nCn1 6 25 n ， 解得4 3n 7 3，nN，n2，因此，展开式中系数最大的项为 C 2 6 2 4 x6240 x6 二、一项或三项展开式问题 例 6
23、 (1)(2021 河南实验中学期中)若 x5a0a1(x2)a2(x2)2a5(x2)5， 则 a0( D ) A32 B2 C1 D32 (2)(2021 安徽合肥质检)在 x44 x 5的展开式中，x2的系数为_960_ 解析 (1)x52(x2)5a0a1(x2)a5(x2)5 Tr1Cr525 r(x2)4， a0T12532故选 D (2)解法一：(化为二项展开式问题) x44 x 5 x 2 x 10， Tr1Cr10( x)10 r 2 x r(2)rCr 10 x 5r， 令 5r2，r3，所求系数为(2)3C310960 解法二：(利用多项式乘法对括号中选取情况讨论) 5
24、个括号中的 2 个选 x,3 个选(4)，这样得到的 x2的系数为 C25 C33(4)3640； 5 个括号中 3 个选 x,1 个选4 x，1 个选4，这样得到的 x 2的系数为 C3 5C 1 24(4) 320； 所求系数为640320960 名师点拨 对一项或三项的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常 为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性 注：本题也可如下变形化为二项式求解： x44 x 5 x4 x 4 5 变式训练 5 (2021 广东汕头模拟)在(x2x2)5的展开式中，x3的系数为( C ) A40 B160 C120 D200 解析 (x2x2)5(x1)5(x2)5， x3的系数为 C25C55(2)5C35C45(2)4C45C35(2)3C55C25(2)2120 另解：(利用多项式乘法) C15C15(1)(2)3C35(1)3 (2)2120，故选 C
