1、 第2课时 平面直角坐标系中的位似 R 九年级下册 O O y y x x A A(1,3)(1,3) B B(0,1)(0,1) C C(2,1)(2,1) 新课导入 直角坐标系中的直角坐标系中的 变换：变换： 平移 轴对称 旋转 5 5 规律 位似图形在直角 坐标系中又有什 么规律呢？ 学习目标：学习目标： (1)进一步熟悉位似的作图进一步熟悉位似的作图. (2)会用坐标的变化来表示图形的位似变换会用坐标的变化来表示图形的位似变换. (3)会根据位似图形上的点的坐标变化的规律，在坐标会根据位似图形上的点的坐标变化的规律，在坐标 系中画一个图形以原点为位似中心的位似图形系中画一个图形以原点为
2、位似中心的位似图形. 在直角坐标系中，画出线段在直角坐标系中，画出线段ABAB, ,其中其中A A(6 (6，3) 3)， B B(6(6，0). 0). 再以原点再以原点O O为位似中心，相似比为为位似中心，相似比为 ，把，把 线段线段ABAB缩小缩小. . 探索新知 知识点1 在直角坐标系中画出位似图形在直角坐标系中画出位似图形 1 3 O x y A(6,3) 5 B(6,0) 画出线段画出线段ABAB； 连接位似中心连接位似中心O O； 找找 的对应点的对应点. . A B 3 1 B A 还有满足条还有满足条 件的线段吗？件的线段吗？ 在直角坐标系中，在直角坐标系中，AOC AOC
3、的三个顶点的坐标分的三个顶点的坐标分 别为别为A A(4(4, ,4), 4), O O(0,0)(0,0)，C C(5(5, ,0).0).以点以点O O为位似中心，相似为位似中心，相似 比为比为2 2，将，将AOCAOC放大放大. . O x y 画出线段画出线段AOAO; ;C C 连接位似中心连接位似中心O O， 找到相似比为找到相似比为2 2的对的对 应点应点. . A(4,4) C(5,0) 5 5 经过经过位似变位似变 换换还可以得到其还可以得到其 他图形吗？他图形吗？ 当以原点为位似中心的两位似图形位当以原点为位似中心的两位似图形位 于于原点同侧原点同侧时，对应点的坐标有什么变
4、化？时，对应点的坐标有什么变化？ 探究1 (2,1) (2,0) 3 1 A(8,8) C(10,0) 2 规律：规律：在平面直角坐标系中，如果以原点为位在平面直角坐标系中，如果以原点为位 似中心，新图形与原图形的相似比为似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么当两图，那么当两图 形位于原点同侧时，与原图形上的点形位于原点同侧时，与原图形上的点(x , y)对应的位对应的位 似图形上的点的坐标是似图形上的点的坐标是 . （kx , ky） 探究2 当以原点为位似中心的两位似图形位当以原点为位似中心的两位似图形位 于于原点异侧原点异侧时，对应点的坐标有什么变化？时，对应点的坐标有什么变化？ (-
5、2,0) (-2,-1) 3 1 C(-10,0) 2- A(-8,-8) 规律：规律：在平面直角坐标系中，如果以原点为位在平面直角坐标系中，如果以原点为位 似中心，新图形与原图形的相似比为似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么当两图，那么当两图 形位于原点异侧时，与原图形上的点形位于原点异侧时，与原图形上的点(x , y)对应的位对应的位 似图形上的点的坐标是似图形上的点的坐标是 . （-kx , -ky） 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点 为位似中心，新图形与原图形的相似比为为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么，那么 与原图形上的点（与
6、原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点）对应的位似图形上的点 的坐标为的坐标为（kx，ky）或（）或（-kx，-ky）. 位似图形的坐标规律位似图形的坐标规律 典例精析 例例 如图，如图，ABO三个顶点的坐标分别为三个顶点的坐标分别为A（-2,4）, B（-2,0）, O（0,0）. 以原点以原点O为位似中心为位似中心, 画出一个画出一个 三角形三角形, 使它与使它与ABO的的 相似比为相似比为 . 3 2 x O y -2 -4 2 2 4 6 A B 分析分析: :由于要画的图形是三角形，由于要画的图形是三角形， 所以关键是确定它的各顶点坐标所以关键是确定它的各顶点坐标. .根据根据
7、前面总结的规律前面总结的规律, ,点点A A的对应点的对应点A A 的坐标的坐标 为为( (- -2 2 ,4 ,4 ），即），即( (- -3,6).3,6).类似地类似地, ,可以可以 确定其他顶点的坐标确定其他顶点的坐标. . x O y -2 2 2 4 6 A B 还可以得到其他还可以得到其他 图形吗？图形吗？ A(-3,6) B(-3,0) B 3 2 3 2 1. 1.如图表示如图表示AOBAOB和把它缩小后得到的和把它缩小后得到的OCDOCD， 求求AOBAOB与与CODCOD的相似比。的相似比。 解：相似比为解：相似比为OB:OD=5：2. A B 5 5 5 5 C D 练
8、习 2.如图，如图，ABO三个顶点的坐标分别为三个顶点的坐标分别为A(4,-5), B(6,0), O(0,0). 以原点以原点O为位似中心，把这个三角形为位似中心，把这个三角形 放大为原来的放大为原来的2倍，得到倍，得到ABO.写出写出ABO三三 个顶点的坐标个顶点的坐标. 6 -5 A B 6 -5 A B A A(4,(4,- -5), 5), B B(6,0)(6,0) A A(8,(8,- -10), 10), B B(12,0) (12,0) AA( (- -8,10), 8,10), BB( (- -12,0) 12,0) 至此，我们已经学习了平移、轴对称、旋转和至此，我们已经学
9、习了平移、轴对称、旋转和 位似等图形的变化方式位似等图形的变化方式.你能在下图所示的图案中找你能在下图所示的图案中找 到它们吗？到它们吗？ 平移、轴对称、旋转、位似变换的坐标变化规律平移、轴对称、旋转、位似变换的坐标变化规律 平移变换平移变换 轴对称变换轴对称变换 旋转变换旋转变换 位似变换位似变换 对应点的横坐标或纵坐标加上对应点的横坐标或纵坐标加上(或减去或减去)平移的单位长度平移的单位长度. 以以x 轴为对称轴轴为对称轴,则对应点的横坐标相等则对应点的横坐标相等,纵坐标互为相纵坐标互为相 反数反数;以以y 轴为对称轴轴为对称轴,则对应点的纵坐标相等则对应点的纵坐标相等,横坐标互横坐标互
10、为相反数为相反数. 一个图形绕原点旋转一个图形绕原点旋转180 ,则旋转前后两个图形对应则旋转前后两个图形对应 点的横坐标与纵坐标都互为相反数点的横坐标与纵坐标都互为相反数. 当以原点为位似中心时当以原点为位似中心时,变换前后两个图形对应点的横变换前后两个图形对应点的横 坐标、纵坐标之比的绝对值等于相似比坐标、纵坐标之比的绝对值等于相似比. 随堂演练 基础巩固基础巩固 1.某学习小组在讨论“变化的鱼”时某学习小组在讨论“变化的鱼”时, 知道大知道大 鱼与小鱼是位似图形鱼与小鱼是位似图形(如图所示如图所示), 则小鱼上的则小鱼上的 点点(a, b)对应大鱼上的点对应大鱼上的点( ) A.(-2a
11、, -2b) B.(-a, -2b) C.(-2b, -2a) D.(-2a, -b) A 2.ABC三个顶点坐标分别为三个顶点坐标分别为A(-2，-2)，B(-4，-2)， C(-6，-4)，以原点为位似中心，将，以原点为位似中心，将ABC放大后得放大后得 到的到的DEF与与ABC的相似比为的相似比为21，这时，这时DEF 中点中点D的坐标是的坐标是 . (-4，-4)或或(4，4) 综合应用综合应用 如图所示如图所示, 图中的小方格都是边长为图中的小方格都是边长为1的正方形的正方形, ABC与与ABC是以是以O为位似中心的位似图形为位似中心的位似图形, 它们它们 的顶点都在小正方形的顶点上
12、的顶点都在小正方形的顶点上. (1)画出位似中心点画出位似中心点O; (2)直接写出直接写出ABC与与ABC 的相似比的相似比; x y O 相似比为相似比为21 6 12 (3)以位似中心以位似中心O为坐标原点为坐标原点, 以格线所在直线以格线所在直线 为坐标轴建立平面直角坐标系为坐标轴建立平面直角坐标系, 画出画出ABC 关于点关于点O 中心对称的中心对称的ABC, 并直接写出并直接写出 ABC各顶点的坐标各顶点的坐标 x y O 6 12 A(6,0)， B(3，-2)， C(4，-4). 课堂小结 目前已经学了哪些变换？目前已经学了哪些变换？ 有什么区别与联系？有什么区别与联系？ 平移
13、、轴对平移、轴对 称、旋转称、旋转 还有还有 位似变换位似变换 位似与平移、轴对称、旋转三种变换的联位似与平移、轴对称、旋转三种变换的联 系和区别系和区别: : 联系联系: :位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换 的基本形式的基本形式; ; 区别区别: :平移、轴对称、旋转三种图形变换都是全平移、轴对称、旋转三种图形变换都是全 等变换等变换, ,而位似变换是相似而位似变换是相似( (扩大或缩小扩大或缩小) )变换变换 若若 以原点为位似中心；以原点为位似中心； 新图形与原图形的相似比为新图形与原图形的相似比为k； 原图形上的点（原图形上的点（x，y）；）；
14、则则对应的位似图形上的点的坐标为对应的位似图形上的点的坐标为 （kx，ky）或（）或（-kx，-ky）. 坐标系中的位似变换规律坐标系中的位似变换规律: : 教教 材材 习习 题题 27.3 1.如图，如果虚线图形与实线图形是位似图形，如图，如果虚线图形与实线图形是位似图形， 求它们的相似比并找出位似中心求它们的相似比并找出位似中心. 复习巩固复习巩固 2.如图，以点如图，以点P为位似中心，将五角星的边长为位似中心，将五角星的边长 缩小为原来的缩小为原来的 . 1 2 3.ABC三个顶点的坐标分别为三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，2)， C(6，4). 以原点以原点O为位似中心，将为
15、位似中心，将ABC缩小得到缩小得到 DEF，使，使DEF与与ABC对应边的比为对应边的比为1:2，这时，这时 DEF各个顶点的坐标分别是多少？各个顶点的坐标分别是多少？ D(1，1)，E(2，1)，F(3，2) D(-1，-1)，E(-2，-1)，F(-3，-2) 或或 4.如图，正方形如图，正方形EFGH，IJKL都是正方形都是正方形ABCD的位的位 似图形，点似图形，点P是位似中心是位似中心. （1）哪个图形与正方形）哪个图形与正方形ABCD的相似比为的相似比为3？ （2）正方形）正方形IJKL是正方形是正方形EFGH的位似图形吗？如的位似图形吗？如 果是，求相似比果是，求相似比. （3）
16、正方形）正方形EFGH与正方形与正方形ABCD 的相似比是多少？的相似比是多少？ 综合运用综合运用 3:2 2:1 5.如图，矩形如图，矩形AOBC各点的坐标分别为各点的坐标分别为A(0，3)，O(0， 0)，B(4，0)，C(4，3).以原点以原点O为位似中心，将这个为位似中心，将这个 矩形缩小为原来的矩形缩小为原来的 ，写出新矩形各顶点的坐标，写出新矩形各顶点的坐标. 1 2 A(0，1.5)，B(2，0)，C(2，1.5). 或或 A(0，-1.5)，B(-2，0)，C(-2，-1.5). 6.如图，图中的图案与“如图，图中的图案与“A”字图案”字图案(虚线图案虚线图案)相比，相比， 发生了什么变化？对应点的坐标之间有什么关系？发生了什么变化？对应点的坐标之间有什么关系？ （1）纵坐标不变，横）纵坐标不变，横 坐标扩大一倍坐标扩大一倍. （2）横坐标不变，纵坐）横坐标不变，纵坐 标扩大一倍标扩大一倍. 7.如图，以点如图，以点Q为位似中心，画出与矩形为位似中心，画出与矩形MNPQ的的 相似比为相似比为0.75的一个图形的一个图形. Q P M N N M P P N M 拓广探索拓广探索 1. 1.从课后习题中选取；从课后习题中选取； 2. 2.完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时的习题。 课后作业
